UNIVERSITY OF NIŠ УНИВЕРЗИТЕТ У НИШУ ДИГИТАЛНИ РЕПОЗИТОРИЈУМ УНИВЕРЗИТЕТА У НИШУ DIGITAL REPOSITORY OF THE UNIVERSITY OF NIŠ

Транскрипт

1 УНИВЕРЗИТЕТ У НИШУ Универзитетска Библиотека "Никола Тесла" UNVERSY OF NŠ Uiveity Libay "Nioa ea" ДИГИТАЛНИ РЕПОЗИТОРИЈУМ УНИВЕРЗИТЕТА У НИШУ DGAL REPOSORY OF HE UNVERSY OF NŠ Библиотека Дисертације Ph.D. hee

2 UNVERZE U NŠU ELEKRONSK FAKULE m Nead N. Cvetović PRLOG MODELOVANJU UZEMLJVAČKH SSEMA U PRSUSVU POLUSFERČNE CLNDRČNE NEHOMOGENOS LA Dotoa dietacija Niš 8.

3

4 Mojim oditejima

5

6 PREDGOVOR Dotoe dietacije ugavom u ceii počitaju ii pegedaju amo oobe bio upućee u obat ojom e taav ad bavi. Sa duge tae pedgovo be iueta počitaju vi ojima ovaav tet dođe do uu. Zato ću ioititi ovaj poto da opišem to iade moje dotoe dietacije (be uažeja u u uotuče aaie) ieem deo vojih ičih amišjaja i ahvaim e pojediim oobama. Najpe ešto o tome ao je ve euo... Moj meto pofeo Pedag Račić i ja aadju mo apočei jauaa 5. godie. Pofeo Račić je a oovu vog itaživačog i patičog iutva ao i uvida u moj pethodi ad i ooti defiiao pve pobeme ojima je aše ajedičo itaživaje tebao da e bavi. U peiodu oji je uedio ao toga poitei u oeti eutati i pubiovao dvaaet adova baiaih a jima. Na oovu vega abojaog u jee 7. godie iitaiaa je i vaičo odeđea tema moje dotoe dietacije. Čijeica da mo i pofeo Račić i ja (vao u vom agu aavo) imai iutva u pou ojim e bavimo bia je u ajvećoj mei oašavajuća ooot. Sa duge tae oimooa pioda odoa meto-adidat oja podaumeva aadju u itovemeo upotavjeu hijeahiju ahteva ompomi čiji teet po ogici tvai pada više a tau adidata. Sažo am e tudio da voje potupe uadim a avedeom čijeicom. Ao eada i iam u potpuoti upeo u tome bia je to poedica mog tempeameta i ambicioog pitupa pobemu. Doa da to ije bio fatao po ajji cij jete oo što je iožeo u aedih gotovo to četdeet taica. U vaom učaju pofeo Račić je vojom pemošću da uoži voje veme i podei aje a mom aužio vu moju ahvaot i poštovaje. Piaću da eada ije bio jedotavo ipatiti toii etuijaam a pavi ači. Svom pofeou Dagutiu Mitiću ahvajujem e a tpjeju i bojim oiim avetima iožeim toom agovoa oje mo vodii toom poedje ti i po godie a veme iade dietacije. Zahvaot dugujem i šefu Katede a teoiju eetotehiu pofeou Savojubu Aeiću a epetau eiveu i ieu podšu. Pomoć pi pibavjaju iteatue atim aveti u vei iboa pubiacija u oje teba poati adove a objavjivaje ao i atad amo upute diuije o tučim pitajima četo u ajjem ihodu utiču a vaitet ada više ego što e to čii a pvi poged. Zato a adovojtvom hoću da abojim jude oji u a ei od abojaih ačia dai dopio vaitetu dietacije (edoed ije važa): aademi Gadimi Miovaović dopii ča SANU; pof. d Mae Zioowi i pof. d Hatmut Baue (obojica ehiči Uiveitet meau-nemača); pof. d va Yatchev i pof. d Kotadi Badiy (obojica ehiči Uiveitet Sofija-Bugaa); Duša Miošević pof. d Daga Kotić i d Nead Mihajović (iši đaci moji višedeceiji dugovi vi a ehičog Uiveiteta Ajdhove-Hoadija); pof. d Daga aić (Eetoi fautet u Nišu); pof. d Dagojub Poajac (moj duga i Voždove šoe ada a Džavom Uiveitetu Deave-SAD); pof. d Daga Poja (Fautet eetotehie tojatva i bodogadje u Spitu-Hvata); i pof. d Dagojub Deić (Gađevio-ahitetoi fautet u Nišu). Kažem hvaa i vojim oegama: Nebojši Raičeviću čije mi je poavaje baiče iteatue i više matematie uštedeo puo vemea; Vei Javo a atim i Miici Račić a fiao edigovaje egeih tetova; Dagai Živajević a pomoć toom pipeme adova u EX-u; i Mijai Peić ato što je počitaa pvu veiju ada i ipavia apue i pevide u ucaju. Ne aboavjam da je u jedom od adova oetuu egeog jeia uadia amaa Simoović moja pva pofeoa egeog jeia. Pomeuću i oegiice i oege i Laboatoije a teeomuiacije i epši deo moje Katede a teoiju eetotehiu u čije duštvo u paue u adu imae voj pavi miao ao i pijateje i Laboatoije a eetiče itaacije i ovetjeje Dagaa Vučovića Miodaga Stojaovića i i

7 Bojaa Đođevića a ojima am poveo puo vemea u pethodih eoio godia a da e ijedog teuta iam oetio ao got ii pidošica. Moj bat biaac Pepi (d Pedag Cvetović docet Pavog fauteta u Nišu) iščeivao je avšeta ove dietacije ito ao i ja. Njegova podša je uve bia poia oju je emoguće upiti i piviegija je poedovati je. Koačo piećam e vog poojog Pofeoa dugogodišjeg šefa Katede a teoiju eetotehiu Dagutia M. Veičovića pod čijim am metotvom uadio voj dipomi ad i magitau teu. Pofeo Veičović je čove od og am mogo aučio a ojim am aađivao peo devet godia i ooba oja je a mee otavia aža pečat ao u tučom tao i u oom običom judom miu. Voeo bih da je emejivo iutvo oje ad i dužeje a tavom ičošću oe ba deimičo ugađeo u adžaj teta pouđeog imeđu ovih oica. Na aju žeim da itaem da avšeta ovog poa i ipujeje važog cija a mee ičo pedtavjaju aj jedog i početa dugog puta u oviu epog aimaja ojim e bavim. U odou a oaj ojim am e do ada etao a tom ovom pavcu očeujem više iaova ahteva i odgovooti. Shodo toj čijeici i vojoj piodi adoao i a adošću tupam a jega. N. Cvetović ii

8 APSRAK Ramataje uticaja ehomogeoti poufeičog i ciidičog tipa a aateitie uemjivačih itema u vaitacioaom ežimu pedmet je itaživaja ove dotoe dietacije. Ovavi tipovi ehomogeoti iu etot u pai i od iteea je bio poučiti jihov uticaj a aateitie uemjivačih itema oji već ami po ebi pedtavjaju bita deo bojih tehičotehooših itema eetoeegetih potojeja teeomuiacioih itema ii itema a aštitu od atmofeih pažjeja. ao je u pethodim deceijama objavje ata boj adova oji e bavi aaiom uemjivačih itema adova oji u e bavii ciidičim ii poufeičim tipovima ehomogeoti poebo a ači ao što je to učijeo u ovoj dietaciji ije bio peviše u pubiacijama dotupim adidatu. Pimeom aičitih umeičih metoda odeđe je uticaj opiaih ehomogeoti a apodeu potecijaa i impedau uemjivačih itema. Ramatai u uemjivači itemi aičitih geometija pi čemu je aceat a aaii eaih uemjivačih tutua. Poaao je da uticaj aaiiaih tipova ehomogeoti potoji ai da e jegov tepe meja avio od tutue uemjivača. aođe ovaj uticaj ije iti a ve paamete oji aateišu uemjivači item. Kao dopio pimejiv u pai vajao bi itaći i aateiaciju uticaja emjovodog povodia a uemjivače iteme oji ije bio ujuče u aaie i itaživaja autoa adova oji u bii dotupi adidatu. Poaao e da ovaj uticaj ije beačaja ao a impedau tao i a apodeu potecijaa u ooii uemjeja. oom iade dietacije oja e bavi itaživajem patičog pobema iodii u e odeđei dopioi i a teoijom poju. ao je u adu pimeje ovi pibiži mode Giove fucije tačatog ivoa uuta/iva poupovode fee pedože od tae pofeoa Račića pi čemu je poteba a ovim modeom eutat pvih eutata oje je adidat otvaio a početu vojih itaživaja veaih a dietaciju. Pibiža mode a aaiu vetiae eetode meštee u ciidiču ehomogeot a odeđivaje uticaja betoog temeja a aateitie eetode pvi put je oišče u ovom adu. Koačo taođe ao teoiji dopio u dietaciji je poaaa i vea imeđu vaijacioog metoda i metoda edjih potecijaa i doaaa čijeica da je ovaj potoji amo poeba učaj vaijacioog metoda. Kjuče eči: Uemjivači item ehomogeot eetomageto poje umeiči metodi Giova fucija iii

9

10 ABSRAC he ifuece of the emi-pheicay ad cyidicay haped ihomogeeity o goudig ytem i quai-tatioay egime i aayed i thi Ph.D.hei. Such ihomogeeitie ae peet i pactice ad that i the eao fo impotace of etimatig thei ifuece o goudig ytem. hee ytem ae a igificat pat of may techica-techoogy ytem powe faciitie teecommuicatio ytem o ightig potectio ytem. Accodig to the autho` bet owedge ot too may of pape had emi-pheica o cyidica ihomogeeitie a a object of eeach epeciay with the appoach appied i thi pape athough thee have bee pety of wo pubihed i peviou decade deaig with goudig ytem aayi. Appyig vaiou umeica method the ifuece of aayed ihomogeeitie o potetia ditibutio i the goudig ytem viciity ad goudig impedace have bee detemied. Goudig ytem of diffeet geometie epeciay the oe eaied i the pactice have bee eeached. t ha bee how that thee i a igificat ifuece of aayed ihomogeitie. t eve deped o goudig ytem type ad it i ao diffeet fo diffeet goudig paamete. he aayi of the eathig coducto ifuece o goudig ca be emphaied a a pacticay appicabe cotibutio of the hei. A fa a the autho i awae thi matte ha bee uuay egected i peviouy pubihed pape. t ha bee how that thi ifuece ca be igificat o both goudig impedace ad potetia ditibutio i the viciity of the goudig. Duig the pepaatio of the hei ome theoetica cotibutio have ao bee achieved. he Gee` fuctio fo a poit ouce iide/outide the emi-coductig emi-phee popoed by pofeo Račić i appied i thi pape. he eceity fo geeatig thi mode i the outcome of the eay eut obtaied by hei` autho at the begiig of the hei` pepaatio. A appoximate mode fo aayig a vetica eectode i a cyidicay haped ihomogeeity ued fo detemiig the cocete foudatio appoximated by a cyide i fo the fit time appied i the pape. Fiay ao a a theoetica cotibutio a eatiohip betwee the vaiatioa ad the aveage potetia method i expaied i the pape ad it ha bee how that the ecod oe i oy a pecia cae of the vaiatioa method. Keywod: Goudig ytem ihomogeeity eectomagetic fied umeica method Gee` fuctio v

11

12 SADRŽAJ. UVOD. Liteatua 3. KVAZSACONARNO ELEKROMAGNENO POLJE 5. Maveove jedačie vaitacioaog eetomagetog poja 5. vođeje Giovih fucija 7.. Hecov dipo u homogeoj emji 7... Vetiai Hecov dipo... Hoiotai Hecov dipo Poivojo oijetiai Hecov dipo 4.. ačati tuji ivo u piutvu feiče ehomogeoti 4... Opi pobema 6... ačo ešeje-mode "Stato" Pibižo ešeje-mode "Veičović"...4 Pibižo ešeje -Mode "Račić" Aaia opiaih ešeja Poeđeje modea 8..3 ačati tuji ivo u piutvu poufeiče ehomogeoti ačati ivo iva poufeiče ehomogeoti ačati ivo uuta poufeiče ehomogeoti 34.3 Stutua EM poja i potecijaa Lieiči povodi u homogeoj emji Eetiči aa potecija Eetičo poje Mageto poje Lieiči povodi u piutvu poufeiče ehomogeoti Eetiči aa-potecija Eetičo poje Mageto poje Maiva počata eetoda u piutvu poufeiče ehomogeoti Eetiči aa-potecija 4.4 Liteatua 4 3. PREGLED KORŠĆENH NUMERČKH MEODA Metod momeata Gaeiov metod Metod podešavaja u tačama Metod odečaa Metod ceodomee apoimacije Vaijacioi metod Metod edjih potecijaa Metod evivaete eetode Liteatua UZEMLJVAČK SSEM U HOMOGENOJ ZEMLJ 5 4. Uamjea pava ieiča eetoda 5 vii

13 4.. Kotata tuja oticaja- Metod podešavaja u tačama Kotata tuja oticaja- Metod edjih potecijaa Metod odečaa Poioma apoimacija tuje Numeiči eutati Pteata uemjivača eetoda-uemjivači item tuba Numeiči eutati Uemjivači item ačije od taatih eetoda-aati uemjivač Vaijacioa fomua Fomiaje fucioaa Metod podešavaja u tačama Numeiči eutati Povoda fea i ieiči obuč Numeiči eutati Liteatua UZEMLJVAČK SSEM U PRSUSVU CLNDRČNE POLUPROVODNE NEHOMOGENOS LA Pocedua a defiiaje evivaetih paametaa a učaj ciidiče poupovode ehomogeoti Numeiči eutati 7 5. Uemjivači item tuba ivede a jedom pteatom eetodom Eetiči aa potecija Sitem itegaih jedačia Soptvee i međuobe impedae Numeiči eutati Uemjivači item tuba ivede a dve pteate eetode Eetiči aa potecija Sitem itegaih jedačia Numeiči eutati Sitem ieičih povodia Numeiči eutati Liteatua 9 6. UZEMLJVAČK SSEM U PRSUSVU POLUSFERČNE POLUPROVODNE NEHOMOGENOS LA 9 6. Uamjei ieiči povodi Odeđivaje impedae i aateiacija uamjee ieiče eetode Eetiči aa potecija Poioma apodea ogitudiae tuje-metod podešavaja u tačama Numeiči eutati Lieiča eetoda iva poupovode ehomogeoti Lieiča eetoda uuta poupovode ehomogeoti Lieiča eetoda oja podie poufeiču poupovodu ehomogeot Uemjivači item ačije od po jede ieiče eetode uuta i iva poufeiče ehomogeoti 98 viii

14 6.. Numeiči eutati Uamjei ieiči obuč u ooii ehomogeoti 6.3. Numeiči eutati 6.4 Uemjivači item ačije od ieiče eetode uuta poufeiče ehomogeoti i obuča iva poufeiče ehomogeoti Numeiči eutati Uamjea počata eetoda u ooii poufeiče ehomogeoti Odeđivaje eetičog aa potecijaa i impedae počate eetode Numeiči eutati Uemjivači item ačije od pave ieiče eetode uuta i počate eetode iva poufeiče ehomogeoti 6.6. Numeiči eutati 6.7 Sitem ieičih povodia iva poufeiče ehomogeoti Numeiči eutati Sitem ieičih povodia uuta poufeiče ehomogeoti Numeiči eutati Liteatua 6 7. ZAKLJUČAK 9 7. Liteatua 8. PRLOZ 3 e η α α b R 3 PRLOG - Ležadovi poiomi 3 PRLOG 3 - Uticaj eative dieetiče otate ta a vaitacioao EM poje 4 PRLOG 4 - Evivaeti poupeči avog taatog povodia 5 PRLOG 5 - Evivaeti poupeči tae ciidiče tae 5 PRLOG -Оdeđivaje itegaa J ( αρ) d α α b PRLOG 6 - Odeđivaje itegaa x m dx 6 a ax a x PRLOG 7 - Peciiji ia a odeđivaje tuje oticaja a aju ieičog povodia 7 PRLOG 8 - Potecija u ooii ieičog obuča opticaog tacioaom tujom 8 PRLOG 9 - Odeđivaje evivaetog poupečia povodia pavougaoog popečog peea 9 PRLOG - Odeđivaje evivaetog poupečia itema žičaih povodia 3 PRLOG - Lieiči povodi u piutvu ehomogeoti etoaog tipa 3 8. Liteatua 3 9. LERAURA 33 ix

15

16 . UVOD Uemjivači itemi pedtavjaju eiotavi deo aičitih tehičo-tehooših itema ujučujući imeđu otaih eetoeegeta potojeja teeomuiacioe iteme ao i iteme a aštitu od atmofeih pažjeja. Zato ije čudo da aaia i modeovaje ovih itema pedtavjaju obat iteeovaja veiog boja itaživača u peiodu dužem od jedog vea. taživaja čiji u to i eutati iožei u ovom adu imaa u a cij da daju dopio u ešavaju jede gupe pobema ove vte. Dugi i godia aaia uemjivačih itema je u ajvećem boju adova imaa vaitacioaa aate. oom pethode dve deceije pubiova je veii boj adova u ojima e aaia ieičih uemjivačih itema aiva a tv. ateom modeu i Zomefedovoj (Sommefed) fomuaciji tutue eetomagetog (EM) poja. Matematiči modei oišćei u ovim itaživajima fomiai u u petpotavu da e ehomogea emja apoimia ao homogea i iotopa edia poatih eetičih paametaa ii e ehomogeot ta modeuje a više homogeih i iotopih hoiotaih ii vetiao ožeih ojeva ([.]-[.3]). Jeda deo ada poveće je aaii uemjivačih itema fomiaih od jede ii više eetoda aičitih obia (ieiči počati poufeiči) mešteih u ehomogeoj emji apoimiaoj pomoću homogee i iotope edie. Pi tome u a ešavaje pomeutih pobema oišćei aičiti metodi i jihove ombiacije. Na pvom metu to je metod momeata (Momet method-mom ([.3])) i metod odečaa ao jegov pecijaa učaj ao i metod podešavaja u tačama (Poit Matchig Method-PMM) ([.4]-[.8]). U adu je oišće i vaijacioi metod ([.7]- [.8]) metod edjih potecijaa (metod Hove (Howe) ii Aveage Potetia Method-APM) ([.] [.9]-[.]) ao i metod evivaete eetode (MEE) ([.3]-[.5]). Poed uticaja ehomogeoti ta tadadog ojevitog ii etoaog tipa u adu u pimeom odgovaajućih modea aaiiai uemjivači itemi oji ujučuju i uticaj poupovode ehomogeoti poufeičog tipa. Ramatai u učajevi ada e uemjivači item ii jeda jegov deo aae uuta poufeiče ehomogeoti tа ao i pobemi od ojih e uemjivači item aai u jeoj ooii. Kaateiacija ovavih itema ima patiča ačaj a aaiu temejog uemjivača tuba čiji e temej tetia ao poufeiča ehomogeot ta ao i a modeovaje uemjivačih itema u ooii veiih baa ii jeea u čijoj e ooii uemjivači item aai. U gaičom učaju ada e poufea mata ideao povodom mode e može pimeiti i a aaiu uemjivačih itema u ooii ioa ii eevoaa čije do ima poufeiči obi. Od ačaja je agaiti da u aaia i modeovaje EM poja aičitih žičaih tutua (ieiče atee žičai aejači ieiči uemjivači peoi vodovi i d.) u piutvu ehomogeih poupovodih edia bii i još uve u pedmet iteeovaja i itaživaja autoa a Eetoog fauteta u Nišu (Kateda a teoiju eetotehiu i Kateda a idutiju eegetiu). Na ovaj ači pomatao ešavaje pobema čija aaia čii adžaj ovog ada pedtavja atava pomeutih itaživaja oja u šiem oviu pipadaju ečemu što pojedii od iuih i piatih oega aivaju "pom šoom eetomagetie". Pi fomiaju tutue ada težio e tome da e u ajvećoj mogućoj mei obebedi jegovo paćeje a što aši i jedotaviji ači. Sam tet je podeje a uupo 9 pogavja ujučujući a tutuu teta ove vte tadade eemete Uvod (Pogavje ) Zajuča (Pogavje 7) Pioge (Pogavje 8) i Liteatuu (Pogavje 9) do u oova teoija amataja i eutati iožei

17 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta u pogavjima -6. Pojedia pogavja podejea u pema potebi a više odgovaajuće oačeih pododejaa. Pi tome e pojedia amataja i aaie poavjaju u više avata u aičitim deovima teta što omogućava paćeje teta u vaom pogavju poaoob a eveiim bojem poivaja a adžaj pethodih pogavja. Raog a to je čijeica da je u adu pimeom više aičitih metoda aaiia e mai boj pobema pa bi peviše poivaja a pethodi tet od čitaoca po mišjeju adidata ahtevao i peviše apoa. Naavo u ve to adidat e tudio da očuva jeditveu tutuu teta. Sadžaj Pogavja čie oove jedačie vaitacioaog magetog poja i ivođeje Giovih (Gee) fucija a Hecov (Het) dipo u homogeoj iotopoj poupovodoj emji ([.6]) odoo tačati ivo u ooii feiče ehomogeoti. Od ačaja je agaiti da je u učaju dugopomeute Giove fucije poed tačog ešeja peuetog i [.7] i pibižog ešeja i efeeci [.] i [.8] pedožeo taođe pibižo ešeje ([.9]) oje je pateći eutat iicijaih itaživaja veaih a ovaj ad. Koišćejem pomeute dve Giove fucije odeđea je i Giova fucija a tačati tuji ivo u piutvu poufeiče ehomogeoti ta. Koačo a oovu pethodo odeđeih Giovih fucija opiaa je geeaa tutua EM poja ieičog povodia u homogeoj emji i u piutvu poufeiče ehomogeoti odoo počate eetode u meštee u ooii poufeiče ehomogeoti. Peged i opi metoda oišćeih a modeovaje i aateiaciju uemjivačih itema aaiiaih u adu peetovai u u Pogavju 3. Reutati dobijei aaiom oetih uemjivačih itema mešteih u homogeoj emji pedtavjaju adžaj Pogavja 4. Odeđee u impedae uemjivačih itema apodea tuje oticaja ao i apodea eetičog aa potecijaa a povšii ta. Aaiiai u uemjivači itemi fomiai od jedog ii više ieičih povodia apajaih ioovaim i/ii eioovaim povodiom. Poed ieičih povodia (ujučujući i otue eetode) pomatai u i uemjivači itemi oji ao atavi deo ujučuju i povodu poufeu. Na oovu iožeih eutata veifiovai u metodi pimejei u aijem tetu a aaiu uemjivačih itema u piutvu ciidiče odoo poufeiče ehomogeoti ta. Naedo peto pogavje povećeo je eutatima aaie uemjivačih itema u piutvu ciidiče poupovode ehomogeoti. Pi tome u opiai i patiči pobemi a čije e ešavaje mogu ioititi otvaei eutati. Na iča ači u šetoj gavi iožei u eutati dobijei modeovajem uticaja poufeiče poupovode ehomogeoti ta a oete uemjivače iteme. Kao i u pethodoj gavi odeđee u impedae uemjivačih itema apodea tuje oticaja i potecijaa a povšii ta. Koačo poed ajuča (Pogavje 7) i ompete iteatue avedee po abučom edoedu (Pogavje 9) u ad u ujučei i pioi (Pogavje 8) čiji adžaj po uveeju adidata omogućava jedotavije i aše aumevaje i paćeje oovog teta be eophodoti da bude ujuče u jegovu oovu tutuu. itog aoga a aju vaog pogavja po edoedu citiaja avedea je iteatua oišćea pi jegovoj iadi. Rad e atoji od 6 ia 49 fomua i 8 tabea. Sie i tabee umeiae u a vao pogavje poebo do u jedačie ao i eveii boj fuota umeiae a vai pododeja (dugi ivo) poebo. Fomue u umeiae i avođee u maim a efeece u edjim (ugatim) agadama. Svi eophodi poačui uađei u pomoću pogama apiaih u FORRAN-u. Koača viuea foma ada eutat je pimee aičitih veija pogama i pogamih paeta Micooft Wod CoeDRAW Adobe Acobat Mathematica i Micoca Oigi.

18 .Uvod. LERAURA [.] В. В. Бургсдорф А. И. Якобс Заземляющие устройства-електроустановок Енергоатомиздат Москва 987. [.] R. J. Hеppe Step potetia ad body cuet ea goud i two-aye eath EEE a. of PAS Vo. 98 No. 979 pp [.3] J. Nahma "Digita cacuatio of eathig ytem i o-uifom oii" Achiv fü Eetotechi Vo pp 9-4. [.4] P. D. Račić L. V. Stefaović Đ. R. Đođević "A ew mode of the vetica goud od i two-aye eath EEE a. o Magetic Vo. 8 No. 99 pp [.5] P. D. Račić L. V. Stefaović Đ. R. Đođević D. J. Gobović "A ew mode of the hoiota ie goud wie i two-aye eath" 9th Cof. o the Computatio of EM Fied COMPUMAG'93 Miami Foida USA Oct. 3 - Nov Poc. pp -3. [.6] P. D. Račić S. Z. Đoić Z. P. Stajić "Vetica goud od (VGR) i ihomogeeou eath of ectoa type" E. Lette Vo. 3 No pp [.7] P. D. Račić L. V. Stefaović Đ. R. Đođević "A impoved iea goudig ytem aayi i two-aye eath" EEE a. o Mag. Vo. 3 No pp [.8] P. D. Račić "A ew cocept fo iea goudig ytem aayi" Fouth t. Symp. of Appied Eectotatic ПEC 96 Niš Yugoavia May Poc. of Pape pp 3-6. [.9] P. D. Račić Z. P. Stajić "Počata uemjivača eetoda u ehomogeoj emji etoaog tipa" XX Simpoijum JUKO - CGRE '95 Secija -Vodovi i Potojeja Vjača Baja Jugoavija -7. Maj 995 Zboi adova t. R3-3/-8. [.] P. D. Račić Z. P. Stajić Đ. R. Đođević B. S. ošić "Aayi of iea goud eectode paced i vetica thee-aye eath" EEE a. o Magetic Vo. 3 No pp [.] P. D. Račić M. O. Veeiović Z. P. Stajić Đ. R. Đođević "Aayi of two couped goudig ytem: iea goudig ytem ad pate goud eectode" t. Symp. o Eectomagetic Compatibiity EMC '96 Roma tay Sept Poc. pp [.] M. Nieg Edugaage i Schichtböde Eectica Egieeig Vo. 8 No pp [.3] J. Haeie K.. Nioie. V. Lide "Eectotatic image theoy fo two aiotopic haf-pace" Eectica Egieeig Voume 88 5 pp -. [.4] R. F. Haigto Fied Computatio by Momet Method he Macmia Compay New Yo 969. [.5] R. Mita (Ed.) Compute echique fo Eectomagetic Pegamo Pe Oxfod-New Yo-ooto-Sidey-Bauchweig 973 pp 5-3. [.6] C. Baai Advaced Egieeig Eectomagetic Joh Wiey & So New Yo-Chichete-Bibae-ooto-Sigapoe 989 pp [.7] R. C. Botto J. Computatioa Method fo Eectomagetic ad Micowave Joh Wiey & So c. New Yo-Chichete-Bibae-ooto-Sigapoe 99 pp 3-9. [.8] M. N. O. Sadiu Numeica echique i Eectomagetic Secod Editio CRC Pe Boca Rato-Lodo-New Yo-Wahigto D.C. Chapte 5. [.9] V. A. Govoov Электрические и Магнитние полей Eegia 68 Mova. [.]. N. Giao M. P. Sama "Effect of two aye eath o the eectic fied ea HVDC eectode" Vo. PAS 9 No

19 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta [.] D. M. Veičović "Numeiči i pibiži metodi a ešavaje pobema eetotatie" Jugooveo avetovaje o tatičom eeticitetu ELEKROSAKA 78 otoba 978 Beogad Zboi adova t. -4. [.] H. Uhma (Ed.) D. M. Veičović K. Badiy R.D. Statcheva H. Baue Fudameta of Mode Eectomagetic fo Egieeig-extboo fo Gaduate Studet Pat : Static ad Statioay Eectica ad Magetic Fied echica Uiveity meau/gemay 5 pp [.3] D. M. Veičović "Equivaet eectode method" Scietific Review Begade 996 pp [.4] D. M. Veičović "he equivaet eectode method" 34. t. Sympoium heoetiche Eetotechi 6-3. Oct. 98 meau DDR Poc. Vo. pp 5-8. [.5] D. M. Veičović "Equivaet eectode method appicatio i ootatioa fied theoy" Fouth t. Symp. of Appied Eectotatic ПEC 96 Niš Yugoavia May Poc. of Pape pp 5-3. [.6] P. D. Račić "Oovi iai a iačuavaje tutue EM poja poivojo potavjeog Hecovog dipoa u ehomogeoj emji oja je apoimiaa a N homogeih i iotopih ojeva-vaitacioaa aaia" ehiči iveštaj EH-RP-EM-b Laboatoija a Eetiče itaacije i Ovetjeje Eetoi fautet Uiveitet u Nišu Jaua 998. [.7] J. A. Statto Eectomagetic theoy Mc Gow-Hi Boo Compay New Yo /Lodo 94 pp -5. [.8] D. M. Veičović "Gee' fuctio of pheica body" Euo Eectomagetic EUROEM '94 May 3 Jue Bodeaux Face Cof. Poc. Hp-9-4. [.9] P. D. Račić "A poit goud eectode i the peece of pheica goud ihomogeity: aayi of two appoximate coed fom outio fo eectica caa potetia" teatioa PhD Semia Computatioa Eectomagetic ad echica Appicatio Baja Lua Boia ad Heegovia Augut 8-Septembe 6 Poc. of Pape pp 3-3 dotupo a: 4

20 . KVAZSACONARNO ELEKROMAGNENO POLJE. МAKSVELOVE JEDNAČNE KVAZSACONARNOG ELEKROMAGNENOG POLJA Eetomageto (EM) poje je poebo fiičo taje edie u ooii aeetiaih tea povodia opticaih tujom i taih mageta oje e maifetuje u pojavi mehaiče ie a aeetiaa tea povodie opticae tujom i tae magete uete u poje ao i u pojavi iduovaog eetomagetog poja u teima oja e aae u poju pomejivom u vemeu odoo oja e eću o poto u ome potoji poje ([.]). Da bi e u potpuoti opiao eetomageto poje eophodo je odediti uupo šet vetoih veičia ([.]). o u: - veto jačie eetičog poja E ; - veto eetiče iducije D ; - veto jačie poaiacije P ; - veto jačie magetog poja H ; - veto magete iducije B ; i - veto gutie magetog mometa M. Pethodo abojae veičie poveuju dve otitutive vee D ε E P i (..) B μ H M (..) 9 ( ) gde u ε 36π 8.85 F/m i μ 4π H/m dieetiča otata odoo mageta poputjivot obodog potoa. Kao je uupa boj epoatih veičia šet poed dve goe avedee otitutive vee potuia je i u teoijoj fiici dobo poat item od četii Maveove (Maxwe) jedačie čiji je oai (difeecijai) obi ot H J t J g J od J ov J dp J dp (pva Maveova jedačia); (..3) ot E B t (duga Maveova jedačia); (..4) div B (teća Maveova jedačia); i (..5) div D ρ. (četvta Maveova jedačia) (..6) Redoed avođeja ije uopšteo uvoje tao da e u iteatui eću i dugačije pobojae Maveove jedačie. U iaima ( ) poed u pethodom tetu defiiaih veičia figuišu i oae a - veto gutie totae tuje J t ; - veto gutie tuje pojašje pobude J g ; 7 Ovo je po aju adidata ajčešće oišćea defiicija EM poja mada ei autoi možda i opavdao iotavjaju deo "... u ooii aeetiaih tea povodia opticaih tujom i taih mageta..." 5

21 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta - veto gutie oducioe tuje J od ; - veto gutie ovecioe tuje J ov ; - veto gutie tuje dieetičog pomeaja u obodom potou J dp ε E t ; - veto gutie tuje poaiacije J dp P t ; i - apemiu gutiu obodih aeetiaja ρ. aima (..-..6) teba pidužiti i jedačiu otiuiteta (Pvi Kihofov (Kichoff) ao) u oaom obiu div J t odoo div J ρ / t (..7) ao i oau fomu Omovog (Ohm) aoa J od σe (..8) gde je σ oaa a pecifiču povodot. U uovima vemei pomejive potopeiodiče pobude uže učetaoti ω mogu e uveti odgovaajuće ompee pedtavie pa jedačie (..-..8) a homogeu iotopu i ieau ediu dobijaju obi D ε E P εe (..9) B μ ( H M ) μh (..) ot H J t J g J od J ov J dp J dp jωd jωεe ; (..) ot E jωb jωμh ; (..) od div B ; (..3) div D ρ ; (..4) div J t ; i (..5) J od σe. (..6) U pethodim iaima ε i μ u oae a eetiču odoo magetu poputjivot edie. Uoio e adi o poupovodoj edii o oju itovemeo potiču oducioe tuje tuje poaiacije i tuje dieetičog pomeaja u obodom potou može e piati J J od J dp J dp σe jω( ε E P) σe jωd σe jωεe ( σ jωε) E σe (..7) gde je σ σ j ωε ompea pecifiča povodot. ao je u uovima potopeiodiče pobude moguće tetiati poupovodu ediu ao ideao povodu pi čemu e umeto pecifiče povodoti σ oiti ompea pecifiča povodot σ. Pi ešavaju pobema eetomagetog poja u iotopim ieaim i homogeim ediama uvode e fucije eetičog aa potecijaa ϕ i magetog veto potecijaa A. Pi tome e veto eetičog poja i magete iducije u ompeom domeu a potopeiodiču pobudu odeđuju a oovu aeda dva iaa E gad ϕ jωa i (..8) B ot A. (..9) U dajem tetu ompee veičie oim oaa a paamete edie eće biti podvačee. 6

22 . Kvaitacioao eetomageto poje Četo e umeto magetog veto potecijaa A oiti Hecov (Het) veto Π ([.3] t. 547) defiia ao Π μσ A. (..) Na oovu pethodog iaa i jedačie (..8) može e iveti jedačia E gad ϕ jωμσπ gadϕ γ Π (..) gde je γ jωμσ ompea otata potiaja. iaa (..) (..9) i (..) fomia e ia a odeđivaje vetoa jačie magetog poja H σ ot Π. (..) Smeom iaa (..-) u pvu Maveovu jedačiu (..) pi čemu e uima u obi da je ΔΠ gaddiv Π otot Π dobija e J t ΔΠ γ Π gad( ϕ divπ). (..3) σ Kada e ioiti Loecov (Loet) uov epeidoti potecijaa ϕ div Π (..4) jedačia (..3) dobija obi poat ao Hemhocova (Hemchot) difeecijaa jedačia a Hecov veto J t ΔΠ γ Π. (..5) σ U domeu idutijih fevecija je γ << pa e pobemi ojima e ovaj ad bavi u ajvećem boju učajeva mogu tetiati ao vaitacioai. Naped avedea Hemhocova difeecijaa jedačia (..5) tada dobija fomu J t ΔΠ (..6) σ do ia a eetičo poje (..) potaje E gad ϕ. (..7). ZVOĐENJE GRNOVH FUNKCJA Za aaiu uemjivačih itema oji u amatai u ovom adu eophodo je poavati Giove fucije a oete eetode iteme ujučujući i geometiju i paamete ooe edie. U tetu oji edi opiao je ivođeje i dati u iai a Giove fucije Hecovog dipoa u homogeoj emji odoo tačati tuji ivo mešte uuta/iva poupovode feiče ehomogeoti. Kombiacijom pethodo pomeutih iaa i vaitacioae teoije iova u avom ogedau ivede je i ia a Giovu fuciju tačatog ivoa mešteog uuta odoo iva poupovode poufeiče ehomogeoti... Hecov dipo u homogeoj emji Da bi e ivea Giova fucija a potecija Hecovog dipoa mešteog u homogeoj emji pomata e tuji eemet poivojo oijetiaog mometa p e( ) x xˆ y yˆ ˆ apaja tujom idutijih fevecija ([.4] [.5]). 7

23 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta σ ε μ σ ε μ y p e Stuji eemet mešte je u poivojoj tači u emji (S..). Rava dei poto a dva poupotoa. Poupoto defiia a je vaduh do je emja apavo poupoto defiia a. Zemja je u opštem učaju ehomogea i iotopa edia do je toom ove aaie tetiaa ao homogea iotopa edia paametaa σ ε μ S.. - Hecov dipo u homogeoj emji. σ σ jωε γ (jωμ σ) (pecifiča povodot dieetiča otata mageta poputjivot ompea pecifiča povodot i ompea otata potiaja epetivo) 3. de "" piduže je edii oja e aai iad ta (vaduh) tao da u jee aateitie opiae pomoću paametaa σ ε i μ. tegacijom itema Maveovih jedačia moguće je odediti eetičo E i i mageto poje H ij oje u edii oačeoj ideom i (-vaduh -emja) tvaa tuji eemet mešte u homogeoj emji (edia ) 4. Stutua vetoa eetičog i magetog poja ujučujući i eetiči aa potecija ϕ i i može e odediti i peo Hecovog vetoa pimeom defiicioih iaa (..) (..) i (..4) oji u oetom učaju dobijaju fomu Ei gadϕi jωμi σiπ i gaddivπ i γ Π i i (..) Hi σi ot Πi i (..) ϕ Π i. (..3) i div i Da bi e pimeii pethodi iai očigedo je eoophodo ajpe odediti Hecov veto Π i. Ovo je moguće učiiti itegacijom itema Hemhocovih difeecijaih jedačia Je ΔΠi γ Π i i δ i. (..4) σ U pethodom iau je: e ( Je p ) δ( ) δ( ) δ( x x ) δ( y y ) δ( ) -Diaova (Diac) potoa fucija (četo avaa i "deta" potoa fucija) i δ i -Koeeov (Koece) imbo ("Koeeova deta"). Nepoate otate oje e javjaju pi itegaciji jedačia (..4) odeđuju e i opštih gaičih uova oje ompoete Hecovog vetoa moaju da adovoje a povšii diotiuiteta (u ovom učaju ta). Ovi uovi hodo pidužeom oodiatom itemu a S.. imaju obi x Π η γ Π η / γ η x y (..5) Πη Π η σ σ η x y (..6) σ Π σπ i (..7) divπ divπ. (..8) 3 U efeecama [.4] i [.5] detajije je opiao ivođeje a učaj ehomogee emje apoimiae a uupo N homogeih ojeva pi čemu je ioišćea čijeica da e aateitie emje ugavom mejaju po dubii odoo da je jea ehomogeot fucija amo -oodiate oodiatog itema a S... 4 Ovaj ači obeežavaja idea biće i adaje oišće u tetu i poeada će e be epicitog oačavaja podaumevati da je vedot idea i. 8

24 . Kvaitacioao eetomageto poje U domeu idutijih fevecija oji je od iteea a obat ojom e ovaj ad bavi je γ i i pa e item Hemhocovih difeecijaih jedačia (..4) vodi a item Puaoovih (Poio) odoo Lapaovih (Lapace) difeecijaih jedačia pe ξ( ) ΔΠξi δ( ) δi ξ x y (..9) 4πσ gde je p e ξ( ) e ( )(ˆ ξˆ) d - pojecija tujog eemeta (čiji je me defiia otom ) a ξ ou ξ x y. Difeecijae jedačie date iaom (..9) ešavaju e u pomoć paa Fuijeovih (Foie) tafomacija α x α y f x y ~ j( α α x y ) ( ) f ( x y )e d α x d α y i (..) π ~ j( α x α y f ( α α π f x y x y x y ) ( )e ) d xd y (..) ~ gde je f ( α x α y ) ivea fucija fucije f ( x y ) u Heeovom (Hae) domeu. Kada e (..) pimei a potou δ fuciju dobija e pa je a oovu (..) δ( x y ) π ~ j( α x ( ) e x α y y δ α ) x α y δ( ) (..) π δ( - )e π j( α x ( x- x ) α y ( y- y )) aođe a oovu (..) ompoete Hecovog vetoa mogu e iaiti ao Π ξ i dα x dα y. (..3) ~ j( α x xα y y) ( x y ) Πξ i( α x α y )e dα x dα y ξ x y i. (..4) π Smeom (..3) i (..4) u item difeecijaih jedačia (..9) dobija e item ehomogeih odoo homogeih difeecijaih jedačia dugog eda a ompoete Hecovog vetoa u Heeovom domeu obia ~ α Π i( α x α y ) P δ( ) δ i ξ ξ ξ x y i (..5) pe ξ ( ) j( α x xα y y ) gde je Pξ e ξ x y i α α x α y. 4πσ Rešeje difeecijaih jedačia oje čie item opia pethodim iaom petpotavja e u edećoj fomi α α C e C e a i ~ Πξ i ~ > ~ > ~ > (..6) Π Π Π ξ ξ hom ξ pat a i ~ < ~ < ~ < Π Π Π ξ ξ hom ξ pat 9

25 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta gde oae "hom" i "pat" oačavaju homogei i patiuai deo ešeja epetivo. Homogei deo ešeja oji e pojavjuje u iau (..6) a i ima obi ~ > α α Πξ C C hom e a i (..7) ~ < α α Π C e C hom e a (..8) do je patiuai deo ešeja ξ α( ) α( ) [ e ] ~ > Pξ ξpat Pξ δ( )i[jα( )]d e jα α ~ < Pξ α( ) α( ) ξpat Pξ δ( )i[jα( )]d e e jα α Π a (..9) [ ] Π a. (..) Na oovu pethodih iaa potpui obi ešeja a i oji ujučuje i patiuai i homogei deo može e apiati u obiu ~ > Pξ α( ) α α Πξ e Ae Be a i (..) α ~ < Pξ α( ) α α Πξ e Ae Be a ξ x y (..) α gde u A A B i B ove otate. uova epeidoti Hecovog vetoa i jegovog ivoda po -oi ~ > ~ < Πξ Πξ Δ odoo (..3) Δ Δ ~ Π im Δ > ξ ~ Π im Δ Δ < ξ Δ P (..4) dobija e da je A A i B B pa e ešeje (..6) oačo dobija jeditvei obi ~ Pξ α peξ ( ) α α ~ j( αxxα y y ) Π ξi [ δi e Aξie Bξie ] fξi( α x α y )e gde je α 4πσ ~ f ξi ( α x α y δ ) i e α A α ξie α B α ξie. ξ (..5) U pethodom iau A ξ i i B ξ i i ξ x y u ove otate. uova da Hecov veto u vaduhu (edia i ) i u emji ( i ) a ± ima oaču vedot dobija e B ξ A ξ. Peotae otate itegacije odeđuju e i opštih gaičih uova ( ) oji u Heeovom domeu imaju opšti obi ~ ~ γ Π η γ Π η η x y (..6) ~ ~ Πη Πη σ σ η x y (..7) ~ ~ σ Π σπ i (..8) ~ ~ ~ ~ Π ~ ~ Π j αxπ x jα yπ y jαxπ x jα yπ y i. (..9)

26 . Kvaitacioao eetomageto poje Rešeja a otate itegacije očigedo u fucije paametaa edie pomejivih α x i α y. Čiioci j α x i j α y u Heeovom domeu mogu e pema (.4) ameiti ivodom x i y u potoim oodiatama pa e a oovu (.4) i (.5) može e piati p ( ) eξ ~ j[ α x ( xx ) α y ( y y )] Πξi( x y ) fξi( αx α y )e d αx d α y. (..3) 4πσ π Uvođejem u pethodi ia mea dobija e Π αx αcoβ α y αiβ taβ α y αx d αx d α y αd αdβ (..3) ρ ( x x ) xˆ ( y y ) yˆ ρ coδxˆ ρ i δyˆ i ta δ ( y y ) ( x ) x ( βδ) dβ p π eξ( j ) peξ( ) ~ jαρ ξ ξ ξ α α co i( x y ) f i( x y ) f i( ) πσ πσ e d 4 4 α π β π d π β jαρ Kao je ( ) ( βδ αρ co ) e α. (..3) J β po defiiciji Beeova (Bee) fucija pve vte utog eda oačo ešeje a ompoete Hecovog vetoa može apiati u obiu p ( ) eξ ~ Πξi ( ) ( ) d 4 fξi α αj αρ α ξ x y i. (..33) πσ α U tetu oji edi detao je opia potupa a odeđivaje otati oje figuišu u avijeoj fomi iaa (..33). Pi tome u odvojeo amatai vetiai (S..a) i hoiotai (S..b) Hecov dipo do u iai oji e odoe a poivojo oijetia dipo (S..c) fomiai upepoicijom dobijeih ešeja. e eη... Vetiai Hecov dipo ( p ( ) p ( ) η x y Na oovu pethodo iožee aaie opšte ešeje (..5) u učaju vetiaog Hecovog dipoa mešteog u tači defiiaoj vetoom poožaja x xˆ y yˆ ˆ (S..a) dobija obi 5 ~ P α d Π Ae i (..34) α ~ Π P α α e B e. (..35) α d ) a) b) c) S.. - Hecov dipo u homogeoj emji: a) vetiai; b) hoiotai; c) poivojo oijetia. 5 Upotebjava e difeecija ompoeti je e adi o tačatom ivou.

27 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta Pethodim iaima u ideu je dodato još jedo "" ao bi bio agašeo da e adi o -ompoeti oja potiče od vetiae -ompoete ivoa. Poed je potoji i -ompoeta Hecovog vetoa oja je poedica hoiotaih η- ompoeti η x y. Shodo tome eutujuća - ompoeta Hecovog vetoa u opštem učaju odeđuje e upepoicijom ovih ešeja što će biti detajije objašjeo aije piiom aaie uamjeog hoiotaog Hecovog dipoa u homogeoj emji. Kotate A i B odeđuju e i gaičih uova datih iaima (..8) i (..9) 6. ao e dobija σ α α A e e i (..36) σ σ α B e R σ σ σ σ α e. (..37) U iau (..36) odoo (..37) pojavjuju e oeficijet efeije R i tamiije defiiai ao σ σ R R. (..38) σ σ Kada e otate date iaima (..36) i (..37) mee u (..34) i (..35) a ovi u opšte ešeje (..33) dobija e d Π p e ( ) α( ) e J( αρ) d 4πσ α p e ( ) α α ( ) d Π e R e J( αρ) d 4πσ α ( x x ) ( y y ) gde je ρ. Koišćejem idetiteta ([.6] ia.4.39) α b e α iai (..39) i (..4) potaju pe ( ) d Π 4πσ d Π p e ( ) 4πσ ρ ( ) Oae i u pethoda dva iaa J ( αρ)d α ρ ( ) ρ ρ R ( ) b pe ( ) 4πσ α i (..39) α (..4) b R (..4) pe ( ) R 4πσ ρ ( ) ( x x ) ( y y ) ( ) i (..4). (..43) (..44) ρ ( ) ( x x ) ( y y ) ( ) (..45) obeežavaju atojaja vetiaog Hecovog dipoa (tača ( x y ) ) i jegovog ia u avom ogedau (tača ( x y ) ) od tače odeđivaja Hecovog vetoa (tača ( x y ) ) epetivo. 6 Kod gaičog uova (..9) teba voditi ačua o au iaa -' ada e taži ivod po.

28 . Kvaitacioao eetomageto poje e eη... Hoiotai Hecov dipo ( p ( ) p ( ) η x y Pomata e hoiotai Hecov dipo (S...b) mešte u tači defiiaoj vetoom poožaja x xˆ y yˆ ˆ. Pema opštem ešeju (..5) ada je pe ( ) odgovaajuća vetiaa -ompoeta taođe je jedaa ui. Međutim tada e bi bio moguće adovojiti gaiči uov (..9). Za adovojeje pomeutog uova eophodo je potojaje vetiae -ompoete Hecovog vetoa i u učaju hoiotaog dipoa čija je vetiaa ompoeta jedaa ui. Ova "eudaa" ompoeta objašjava e iduovaim tujama a advojoj povšii oje tvaa poje hoiotaog Hecovog dipoa. U adu a pethodom diuijom ompoete Hecovog vetoa petpotavjaju e u obiu ~ Pη α d Πη Aηe (..46) α ~ Pη α α Π η e Bη e (..47) α d ~ P α e i (..48) α η d Π η Aη ~ Pη α d Π η Bηe η x y. (..49) α Na oovu gaičih uova ( ) a epoate otate u iaima ( ) dobija e σ α A η ηe (..5) σ α B R e (..5) η η jαη α e i (..5) α σ γ A η η σ γ jαη α e η x y. (..53) α γ Bη η γ / U pethoda četii iaa γ (jωμi σi ) i pedtavja ompeu otatu potiaja a vaduh ( i ) odoo emju ( i ) do je oeficijet pethodo defiia ia- i om (..38). Sa R η i η oačei u oeficijeti efeije odoo tamiije a hoiotae ompoete odeđei a oovu iaa μ R η Rη η η x y μ μ μ η. (..54) Suceivom meom iaa ( ) u petpotavjea ešeja ( ) i ia (..33) dobija e p eη( ) σ α Πη ( ) d ηe J( αρ ) d α 4πσ σ α (..55) p eη( ) α α η ( ) d Π η e R e J( αρ ) d α 4πσ (..56) α ) 3

29 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta 4 d Π d Π peη( ) σ γ jαη α η ( ) η ( αρ ) πσ σ e J d 4 α α γ peη( ) γ jαη α η ( ) η ( αρ ) πσ e J d 4 α α γ Koišćejem idetiteta (..4) i jedaoti ([PRLOG ]) η α α b e α J ( αρ) dα [ ( b ρ b )] a ompoete Hecovog vetoa oačo e dobija peη( ) σ d Πη η 4πσ σ peη( ) d Πη Rη 4πσ pe ( ) η d γ σ η Π η 4πσ σ η γ pe ( ) η γ η Π η ( 4πσ η γ η α α i (..57) η x y. (..58) b R η x y (..59) (..6) (..6) [ ( )] [ )] d i (..6) η x y. (..63) Pi ivođeju pethodih iaa oišćea je čijeica da e j αη u Heeovom domeu meja ivodom η u potoom domeu η x y. Ratojaja i ao i u učaju vetiaog Hecovog dipoa pedtavjaju vetoe poožaja tače u ojoj e odeđuje Hecov veto u odou a dipo i jegovog i epetivo (iai (..44) i (..45)....3 Poivojo oijetiai Hecov dipo ( p ( ) ξ x y ) e ξ Uoio Hecov dipo ima i vetiau ( ) i hoiotau ( η x y ) ompoetu (S...c) hodo picipu upepoicije -ompoete Hecovog vetoa mogu e iaiti ao dπ dπ dπ dπ η dπ dπ η i (..64) η x y (..65) gde u dπ dπ η dπ i dπ η pedtavjei iaima (..4) (..6) (..43) i (..63) epetivo. Hoiotae ompoete ompoete dπ η i d Π η η x y date u iaima (..6) odoo (..6)... ačati tuji ivo u piutvu poupovode fee Shodo vti pobema ojima e ad bavi ao i pimejeim metodima od iteea je poavati Giovu fuciju a tačati ivo u piutvu poupovode fee. Sam pobem aateiacije uticaja fee ačijee od homogeog mateijaa a tutuu poja tačatog ivoa još od edie XX vea pedmet je itaživaja u aičitim obatima teoije fiie. Čijeica da e u adu aaiiai pobemi vaitacioaog eetomagetog poja uticaa je a ibo iteatue i pouđeih ešeja avedeih i diutovaih u tetu.

30 . Kvaitacioao eetomageto poje Za ešavaje pobema oji ujučuju feu ehomogeot adidatu u a apoagaju bii modei a odeđivaje uticaja feih povodih ([.7] [.8]) i dieetičih tea ([.9]-[.7]). Ao e adi o tatičom tacioaom ii vaitacioaom poju u adovima oji u bii dotupi adidatu tačim ešejem ovog pobema be iueta mataju e iai oje je poudio Stato (Statto) u ef. [.9] 94. godie. Pomeuto ešeje dobijeo je itegacijom Puaoove odoo Lapaove difeecijae jedačie a tačato aeetiaje mešteo u ooii fee ačijee od homogeog dieetia. Pi tome u u potpuoti adovojei gaiči uovi a potecija i omau ompoetu vetoa eetiče iducije. Koiteći dugačiju matematiču tehiu Lide (Lide) je u adu [.] dobio ešeje idetičo oom i [.9] do je pobem tačatog ivoa uuta dieetiče fee u fomi ičoj ešeju i [.9] iti auto ešio u [.]. Gotovo idetičo ešeje itog pobema dobijeo ešavajem Puaoove odoo Lapaove jedačie metodom vaijacije otati može e aći u [.]. U adu [.3] pedožeo ešeje dobijeo detajom aaiom i pimeom teoije iova ujučuje i beoače ume aičitim tehiama tafomiae u itegae oji e u opštem učaju e mogu odediti u atvoeom obiu. Pobem feiče ehomogeoti i tačatog opteećeja aaiia je i u efeecama [.4] i [.5] pi čemu je oišće Keviov fato iveije i uvede i oji odgovaa otiuaom iijom ivou. Dobijeo ešeje odgovaa oom i [.3]. Zajedičo a va abojaa ešeja je da je jihova pimea u aaii (ajčešće amataih) ieičih i počatih eetoda aičitih geometija opčaa a odeđivajem vedoti uma oje adže beoača boj čaova. Pomeuta čijeica pedtavja obija i četo ože pobem u pimei opiaih modea a aaiu eaih eetodih itema. Pibiži iai a potecija tačatog tujog ivoa mešteog iva odoo uuta homogee poupovode fee pedožei u u [.6] i [.7]. Rešeje je ajpe petpotavjeo u fomi oja ujučuje potecija ivoa i itema iova u feom ogedau pi čemu je u obi ueta i eutaot fee (uupo opteećeje fee (ii tuja oticaja a fee) jedaa je ui). U ovom obiu ešeje u potpuoti e adovojava gaiči uov a omau ompoetu vetoa gutie totae tuje pa je bog toga pošieo beoačom umom ičog obia ao i uma oja e pojavjuje u tačom ešeju i [.9]. Pimeom teoije Ležadovih (Legede) poioma odeđee u otate i abaa piuta uma a beoačim bojem čaova a pošiei obi opiaog ešeja pedtavje je u atvoeoj fomi. Na opiai ači fomiao pibižo ešeje adovojava gaiče uove a povšii fee ai e i Puaoovu odoo Lapaovu difeecijau jedačiu a potecija oje u adovojee amo deimičo. Koačo toom iade amog ada avijeo je i pedožeo još jedo pibižo ešeje a pobem tačatog tujog ivoa mešteog iva odoo uuta fee ačijee od homogeog poupovodog mateijaa ([.8]). Poaeći od tačog ešeja datog u [.9]-[.] i og u idvojei čaovi oji odgovaaju iovima u feom ogedau fomiai u u atvoeom obiu iai oji potpuo adovojavaju Puaoovu odoo Lapaovu difeecijau jedačiu ao i gaiči uov a potecija do je gaiči uov a omau ompoetu vetoa gutie totae tuje deimičo adovoje. U tetu oji edi detajije će biti aaiia mode oji je uvoje a tača i pedože u [.9] odoo [.] atim mode opia u [.6] i [.7] oji je oišće od amog početa itaživaja veaih a ovaj ad ao i mode edavo avije i iože u [.8]. Na oovu imea autoa citiaih adova u dajem tetu ovi modei biće avođei i oačavai ao modei "Stato" "Veičović" i "Račić" odoo "S" "V" i "R" mode epetivo. Od ačaja je apomeuti da je većia u pethodom tetu abojaih modea u ivoom obiu ivedea a tačato opteećeje i homogeu dieetiču feu. Kao e adi o tacioaom ežimu oišćejem fomaih aaogija imeđu eetotatičog poja i tacioaog tujog poja ([.3]) dobijei iai mogu e pimeiti i a tačati tuji ivo i feu oače pecifiče povodoti. Pi tome dieetičoj otati vetou eetiče iducije i aeetiaju tačatog i- 5

31 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta voa od eetotatičog poja u aaii tacioaog tujog poja odgovaaju pecifiča povodot veto gutie totae tuje i tuja tačatog ivoa epetivo. Svi pedožei iai mogu e pimeiti i u ompeom domeu u učaju vaitacioae potopeiodiče pobude ada je fea ačijea od homogeog poupovodog mateijaa pecifiče povodoti σ i dieetiče otate ε. Pi tome e u pedožea ešeja umeto pecifiče povodoti σ mešta ompea pecifiča povodot σ σ j ωε gde je ω uža učetaot potopeiodiče pobude. Modei "Veičović" i "Račić" u ao što je to već ečeo u ivoom obiu fomiai a ešavaje pobema vaitacioaog tujog poja.... Opi pobema Pomata e fea poupečia ačijea od ieaog iotopog i homogeog poupovodog mateijaa poatih eetičih paametaa σ ε εε i μ μ gde u σ -pecifiča povodot ε ε ε - pemitivot (dieetiča otata) i μ μ - pemeabiot. Sedia u ojoj je meštea fea je taođe ieaa iotopa i homogea paametaa σ ε εε i μ μ. Pobemu je piduže odgovaajući Deatov (Decate) odoo fei oodiati item a cetom mešteim u cetu fee. Poožaj tačate eetode (tača P ) defiia je vetoom pi čemu eetoda može da bude meštea iva ( > ) S..3a ii uuta fee ( < ) S..3b. Eetoda e peo ioovaog povodia apaja potopeiodičom tujom jačie i ie uže učetaoti ω (vaitacioai ežim). Na Sici.3 e može videti da je u oba učaja ˆ što e utiče a opštot amataja. ača P u ojoj e odeđuje eetiči aa potecija može biti meštea uuta ii iva fee i je poožaj defiiše veto. Poožaj ia tačatog ivoa u feom ogedau (tača P S..3) odeđe je vetoom ˆ gde je Keviov (Kevi) fato iveije a feo ogedao. Ratojaje tače P od tače P odoo P oačeo je vetoima i epetivo. Na itoj ici uočava e da je u oetom učaju coθ i coθ gde u i θ oodiate pidužeog feog oodiatog itema. σ ε μ P' ' σ ε μ P" P' σ ε μ P" " x σ ε μ ' P x y y a) b) S..3 - ačati tuji ivo: a) iva poupovode fee; b) uuta poupovode fee. Kao što je to učijeo i u učaju Hecovog dipoa u homogeoj emji (odeja..) a / σ σi j ωεi γ (jωμi σi ) i edom u oačei ompea pecifiča povodot i i i 6

32 . Kvaitacioao eetomageto poje ompea otata potiaja ta ( i ) odoo fee ( i ). Sa γ γ biće obeeže ompei ide efacije. aođe će u tetu oji edi biti oišćee i oae a oeficijete efeije R i tamiije 7 defiiae ao S/V/R ij σ σ R R. (..66) σ σ Na ači aaoga oom u odeju.. potecija će biti oače a dva idea od ojih pvi defiiše ediu u ojoj e aai tača P do je dugi odgovaa edii u ojoj e aai tačati ivo tj. tača P. ao e potecija u i -toj edii oji potiče od ivoa mešteog u j -toj edii oačava ao ϕ i j. Goji ide pojavjuje e u tetu po potebi i defiiše mode oišće a odeđivaje Giove fucije a eetiči aa potecija ("Stato"-S "Veičović"-V i "Račić"-R).... ačo ešeje-mode "Stato" a) ačati ivo iva poupovode fee Potecija u itemu a S..3a adovojava Puaoovu (a > ϕ ) odoo Lapaovu difeecijau jedačiu (a < ϕ ). Uimajući u obi čijeicu da e adi o pobemu aijao imetičom u odou a - ou u pidužeom feom oodiatom itemu ove jedačie imaju obi ϕ δ ϕ ( ) δ( θ) i θ > i (..67) i θ θ θ πσ i θ ϕ ϕ i θ i θ θ θ <. (..68) U iau (..67) a δ je obeežea Diaova (Diac) "deta" fucija. Pimeom metoda advajaja pomejivih ([.3] t. 6-65) opšte ešeje avedeih difeecijaih jedačia petpotavjeo je u obiu ϕ [ ( B )] i i i P (coθ) A i (..69) gde je P (coθ) Ležadov poiom -tog tepea pve vte. oom ešavaja opiaog pobema oiti e Ležadova difeecijaa jedačia ([.6] ia 8..) P (coθ) i θ ( )i θp (coθ) (..7) θ θ i jedaot ([.6] iai i 8.4.) π m P (coθ) Pm (coθ)i θdθ (..7) m. Potecija iva fee ( > ) odeđuje e upepoicijom potecijaa pimaog ivoa i potecijaa iduovaog opteećeja a advojoj povšii oji je petpotavje u geeaoj fomi datoj iaom (..69). Potecija uuta fee ( < ) adovojava Lapaovu jedačiu i jegova opšta foma odgovaa iau (..58). Kada e u pethodo avedee petpotave u aaiu uju- 7 Nadaje će u iagaju biti iotavjea oaa "" u ideu oeficijeata. 7

33 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta či i uov da potecija moa da ima oaču vedot u oodiatom početu ( ) odoo tačama u beoačoti ( ) a potecija iva odoo uuta fee dobija e ϕ C P (coθ) 4πσ > i (..7) ϕ P (coθ) D <. (..73) Nepoate otate C D... odeđuju e i gaičih uova a epeidot potecijaa i omae -ompoete vetoa gutie totae tuje a povšii fee ( ) Za ϕ ϕ σ ( ) ϕ ( ) i (..74) ϕ σ je odo < pa je a oovu avoja (8..) i PRLOGA P θ θ co ( ) ( )co Smeom pethodog iaa u (..7) gaiči uovi ( ) potaju C P ( θ) θ θ co P (co ) D P (co ) 4πσ Koačo e a otate ( ) C. (..75) ( coθ) P ( coθ) σ (coθ) σ (coθ 4π ) P D P C D... dobija. (..76) i (..77). (..78) ( σ σ ) C P (coθ) i (..79) 4πσ σ ( ) σ ( ) σ P (coθ) D.... (..8) 4πσ σ ( ) σ Sada e potecija po modeu "Stato" može iaiti u obiu ϕ σ σ S ( ) P θ (co ) > i (..8) 4πσ σ σ ( ) ( ) ϕ ( ) σ S P (coθ) σ σ ( ) <. (..8) ai ( ) biće peetovai u fomi oja će u dajem tetu omogućiti jedotavije poeđeje a duga dva pibiža modea ([.8]) ϕ R S R P 4πσ ( ) ( co θ) > i (..83) ϕ S R R πσ ' ' 4 P ( co θ) <. (..84) 8

34 . Kvaitacioao eetomageto poje Piiom tafomacije iaa ( ) u ( ) oišće je idetitet P ( x) ([.3]). Koeficijeti efeije R i tamiije oji figuišu u pethode dve fomue već aije u defiiai iaom (..66) do oaa "S" aocia a mode "Stato". b) ačati ivo uuta poupovode fee Pobem tačatog ivoa uuta poupovode fee (S..3b) moguće je ešiti a ači aaoga pocedui pimejeoj a učaj ada e ivo aai iva fee opiaoj u pethodom tetu. Potecija uuta i iva fee ada adovojava Lapaovu i Puaoovu jedačiu epetivo tj. ϕ ϕ i θ i θ θ θ ϕ i θ θ ϕ i θ θ πσ > i (..85) δ( ) δ( θ) i θ <. (..86) gde je ao i u pethodom učaju δ oaa a Diaovu "deta" fuciju. Opšte ešeje opet ima fomu datu iaom (..69). Sada e potecija uuta fee ( < ) odeđuje upepoicijom potecijaa pimaog ivoa (mešteog uuta fee) i potecijaa iduovaog opteećeja a advojoj povšii čiji je obi dat iaom (..69). Potecija u tačama iva fee ( > ) adovojava Lapaovu jedačiu i hodo pethodoj aaii jegova opšta foma odgovaa iau (..69). Uimajući u obi eophodot da potecija u vim tačama ima oaču vedot iai a potecija iva odoo uuta fee imaju obi C ϕ P (coθ) > i (..87) ϕ D P (coθ) 4πσ Kao i u učaju tačatog ivoa mešteog iva fee epoate otate <. (..88) C D... odeđuju e i gaičih uova a epeidot potecijaa i omae ompoete vetoa gutie totae tuje a povšii fee Sada je a ϕ ϕ σ ( ) ϕ ( ) i (..89) ϕ σ. (..9) odo maji od jediice pa e oovu avoja (8..) i PRLOGA dobija P ( coθ). (..9) coθ ( ) ( )coθ U ovom učaju i gaičih uova dobijaju e jedačie C P θ ( θ) θ (co ) P co (co ) D P 4πσ i (..9) σ ( ) C ( ) P θ ( θ) σ θ (co ) P co (co ) D P 4π Na oovu pethoda dva iaa otate C D... odeđee u u obiu. (..93) 9

35 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta ( ) C P (coθ) i (..94) π σ ( ) σ 4 ( )( σ σ) D P (coθ).... (..95) 4πσ σ ( ) σ Potecija po modeu "Stato" a item a S..3b ada je ϕ ( ) S P (coθ) 4π σ ( ) σ ϕ S 4πσ ( )( σ σ) ( ) σ ( ) σ > i (..96) P (coθ ) <. (..97) itog aoga i a ači aaoga oom u učaju aaie itema a S..3a pethode dve jedačie peueđee u u obi ϕ S R R P 4πσ ' ( co θ) ( ) S R R ϕ R πσ P 4 Koeficijeti efeije R i tamiije i defiiai u iaom (..66)....3 Pibižo ešeje-mode "Veičović" a) ačati ivo iva poupovode fee > i (..98) ( coθ). (..99) U adovima [.6] i [.7] Giova fucija a potecija tačatog tujog ivoa mešteog iva poupovode fee S..3a petpotavjea je u obiu gde u C C ϕ > i (..) 4πσ C ϕ 3 C4 coθ i coθ. < (..) Kotate u iaima (..) i (..) odeđuju e i gaičih uova a potecija (..74) i omau ompoetu vetoa gutie totae tuje (..75). Kao je a ( ) gaiči uov a potecija može e apiati u fomi C C 4πσ uova eutaoti poupovode fee dobija e C pa e ijedačavajem oeficijeata u (..) dobija C C 3 C. (..) 4 (..3) C i (..4) 4 C

36 . Kvaitacioao eetomageto poje 4πσ C C. (..5) Ao je << odo teži jediici pa je u tači θ im im tj. 3 im ϕ ( C θ ) 3 (..6) Gaiča vedot (..6) odgovaa vedoti potecijaa u pomataoj tači dobijeom pimeom teoeme ia u modifiovaom avom ogedau ([.7]) σ ϕ( θ ) σ σ 4πσ π Na bai pethode aaie i (..6) i (..7) dobija e ( σ σ ). (..7) C 3. (..8) π( σ σ ) Smeom pethodog iaa u (..5) odeđei u oeficijeti oeficijet C i C C (..3) σ σ C C (..9) 4πσ σ σ do je a oovu (..4) C σ σ C4. (..) 4πσ σ σ Koačo iai a potecija e u ovom oau mogu e apiati u obiu σ σ ϕ > i (..) 4πσ σ σ ϕ σ σ σ πσ σ σ σ σ 4 <. (..) U pethodoj aaii ioišće je amo gaiči uov a potecija (..74). Da bi bio adovoje i dugi gaiči uov a omau ompoetu vetoa gutie totae tuje (..75) pethodim iaima dodaje e ieaa ombiacija fucija oje ujučuju i Ležadove poiome P (coθ). Fucije ovog tipa e iače pojavjuju u opštem ešeju Puaoove i Lapaove jedačie u feom oodiatom itemu što je viđeo i u aaii modea "Stato" odeja... Petpotavjee fome iaa a potecija ada u gde je ( coθ) σ σ ϕ A P co 4πσ σ σ ϕ A 4πσ σ σ σ σ σ σ σ P ( θ) ( coθ) > i (..3) <. (..4) P Ležadov poiom pve vte. Nepoati oeficijeti A... odeđuju e i jedačie fomiae a oovu gaičog uova a omau ompoetu vetoa gutie totae tuje (..75) i iaa a potecija (..3) i (..4) u tačama a povšii fee. Nao ivšeih jedotavih agebaih tafomacija ova jedačia može e iaiti u obiu

37 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta A P ( coθ) 4π σ σ ( ) σ σ. (..5) Pimeom avoja (..76) u oišćeje jedaoti P ( x) pethodi ia potaje ( σ σ ) σ σ A P ( coθ) P ( coθ). (..6) 4π Upoeđivajem eve i dee tae iaa (..6) a oeficijete 4π ( σ σ ) A dobija e σ σ A.... (..7) Smeom (..7) u ( ) iai a potecija potaju ( ) ( ) σ σ σ σ ϕ P coθ 4πσ σ σ π 4 σ σ ( ) ( ) σ σ σ σ σ ϕ P coθ 4πσ σ σ σ σ π σ σ 4 gde je u pethodom tetu aije defiia Keviov fato iveije. Kada e avoj (8..6) i PRLOGA pimei a ume u iaima a potecija oe dobijaju atvoeu fomu ( ) θ θ co co P θ co ( p < ) i (..) > i (..8) < (..9) ( ) θ θ co co P θ co ( p < ). (..) Sa p je oače agumet u avoju (8..6) [PRLOG ] a učajeve ada ada e o pimejuje a ume (..) odoo (..). Smeom u pethode dve fomue iaa a odoo coθ i coθ (..) pibiži iai a potecija po modeu "Veičović" oačo dobijaju obi ( ) V σ σ σ σ σ θ co ϕ > i (..3) 4πσ σ σ ( σ σ ) σ ( σ σ ) V σ σ σ coθ ϕ <. (..4) 4πσ σ σ σ σ ( σ σ ) Ueđei a ači iča oom a oji je to učijeo piiom aaie modea "Stato" ovi iai dobijaju obi V θ R co ϕ R > i (..5) 4πσ

38 . Kvaitacioao eetomageto poje V R R coθ ϕ <. (..6) 4πσ Oaa "V" ao što je to već ečeo oačava da e adi o iaima oji aateišu mode "Veičović". b) ačati ivo uuta poupovode fee Pocedua aaoga ooj oja je pimejea u učaju tačatog ivoa mešteog iva fee ("V" mode) može e fomuiati i ioititi a odeđivaje Giove fucije tačatog tujog ivoa oji e aai uuta poupovode fee. Sada e potecija tačatog tujog ivoa mešteog uuta poupovode fee S..3b petpotavjea je u obiu C C ϕ > i (..7) C C 3 ϕ 4 4πσ <. (..8) Kao i u pethodom iagaju i defiiai u iaom (..) do u gaiči uovi a potecija i omau ompoetu vetoa gutie totae tuje ϕ ( ) ϕ ( ) i (..9) ϕ ϕ σ σ. (..3) gaičog uova a potecija (..9) u oišćeje uova da je a povšii fee (a ) ( ) dobija e C C C3 C4. (..3) 4πσ Nao ijedačavaja oeficijeata u (..3) je 4πσ C i (..3) 4 C C Uupa tuja o feu je što a poedicu ima uov 3 C. (..33) C C. (..34) 4πσ U učaju da je << važi da pa je u tači θ ipuje uov im im tj. im ϕ ( C θ ). (..35) Gaiča vedot data pethodim iaom odgovaa vedoti potecijaa u pomataoj tači dobijeom pimeom teoeme ia u modifiovaom avom ogedau ([.7]) ϕ( σ θ ) σ σ 4πσ π ( σ σ ). (..36) Na bai pethode aaie i iaa ( ) odeđei u oeficijeti u iaima ( ) 3

39 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta C C (..37) π( σ σ ) σ σ C (..38) 4πσ σ σ C 3 4πσ σ σ σ σ σ Smeom obaaca ( ) u ( ) dobija e σ σ σ σ ϕ 4πσ σ σ σ σ σ ϕ σ i (..39) 4. (..4) 4πσ σ σ > i (..4) σ σ σ σ σ <. (..4) 4πσ σ σ σ σ σ Kao i u učaju tačatog ivoa va fee da bi e adovojio gaiči uov (..3) iai a potecija pošiei u ieaom ombiacijom fucija itog obia ao i u iaima ( ). Sada je σ σ σ σ ϕ A P co 4πσ σ σ σ σ σ ( θ) > i (..43) σ σ σ σ σ ϕ A P ( coθ) <. (..44) 4πσ σ σ σ σ σ Jedačia fomiaa a oovu gaičog uova a omau ompoetu totae tuje (..3) i ivšeih tafomacija je σ σ ( ) ( ) A θ P co. (..45) 4π σ σ Pimeom avoja (..76) u oišćeje jedaoti P ( x) pethodi ia potaje ( σ σ ) σ σ A P ( co θ) P ( coθ). (..46) 4π Upoeđivajem eve i dee tae iaa (..46) a oeficijete ( σ σ ) A dobija e σ σ A.... (..47) 4π Smeom (..47) u ( ) iai a potecija potaju ϕ σ σ σ σ π σ σ σ ( σ σ ) ( σ σ ) P co 4 ( θ) > i (..48) ϕ σ σ σ σ σ σ π σ σ ( σ σ ) σ ( σ σ ) ( σ σ ) 4 P ( coθ) <. (..49) 4

40 . Kvaitacioao eetomageto poje Kao i u pethodom učaju a oače je Keviov fato iveije. Pimeom avoja (8..6) ([PRLOG ]) a ume u gojim iaima a potecija oe u atvoeom obiu potaju ( ) θ θ co co P θ co ( p < ) i (..5) ( ) θ θ co co P θ co ( p < ) (.5) gde je p agumet u avoju (8..6) i PRLOGA a učajeve ada e o pimejuje a ume i iaa (..48) i (..49). Smeom (..) u pethode dve fomue oači obi pibižih iaa a potecija po modeu "Veičović" ada je tačati ivo uuta fee ( ) V σ σ σ σ σ σ coθ ϕ > i (..5) 4πσ σ σ σ σ ( σ σ ) ϕ ( σ σ ) σ σ ( σ σ ) ( σ σ ) ( ) ( ) σ σ coθ σ σ σ σ σ <.(..53) 4πσ σ σ Kada e dobijei iai pedtave u obiu ičom fomi iaa ( ) dobija e V R R coθ ϕ > i (..54) 4πσ V ϕ 4πσ R R R coθ V a) ačati ivo iva poupovode fee...4 Pibižo ešeje-mode "Račić" <. (..55) Da bi e odedio pibižo ešeje u atvoeom obiu a Giovu fuciju tačatog ivoa mešteog iva poupovode fee S..3a u [.8] euo e od geeaih iaa po modeu "Stato" ( ) peueđeih u fomu oja odgovaa obiu iaa ( ) ϕ πσ C B B P co 4 ϕ D A A P ( co θ) 4πσ ( θ) > i (..56) < (..57) gde u C D A i B... epoate otate. Gaiči uov a potecija (..74) a povšii fee ( ( ) ) eutia jedačiom C B P jedačavajem oeficijeata eve i dee tae u (..58) dobija e ( co θ) D A P ( co θ). (..58) C D i (..59) 5

41 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta 6 A... (..6) B Aaiom iaa a potecija (..56) i iaa a potecija po modeu "Stato" ( ) može e ajučiti da je C R odoo D C R. Ao je gaiči uov a gutiu totae tuje (..75) pibižo adovoje ([.9] 8 ) važi da je A B R. Kotate B... hodo pethodoj aaii i gaičom uovu (..75) odeđuju e i uova R P (coθ) (coθ ) BP (..6) odae je R B A (i jedačie (..6)). (..6) Smeom pethodog iaa u petpotavjee iae a potecija po modeu "Račić" ( ) dobija e (u oišćeje Keviovog fatoa ) ϕ πσ R R P co 4 ( θ) > i (..63) ϕ ( θ) R R P co <. (..64) 4πσ U jedačiama ( ) javjaju e ume oje u u atvoeom obiu odeđee iaima (..) i (..) epetivo pa iai a Giovu fuciju po modeu "Račić" dobijaju obi R R θ θ ϕ πσ R co co > i (..65) 4 ϕ 4πσ R R co θ co θ R odoo meom iaa (..) a i R R ϕ πσ R 4 coθ ϕ 4πσ R R coθ R b) ačati ivo uuta poupovode fee < (..66) > i (..67) <. (..68) Pimeom pocedue iče ooj oja je pimejea a aaiu itema a S..3a piiom ivođeja iaa a potecija po modeu "Račić" može e odediti pibiža Giova fucija tačatog ivoa mešteog uuta poupovode fee S..3b. ao e ada eće od fomua oje imaju obi iča fomi iaa ( ) (mode "Stato") ϕ C B B P co 4πσ ( θ) > i (..69) 8 U adu [.8] ova efeeca citiaa je ao pime ešavaja ožeih pobema EM poja pimeom metoda deimičog adovojeja gaičih uova.

42 . Kvaitacioao eetomageto poje ϕ πσ D A A 4 B... epoate o- gde u ao i u učaju ivoa oji e aai iva fee C D A i tate. Na oovu gaičog uova a potecija a povšii fee ( om (..9) fomia e jedačia P ( co θ) (..7) ) ovoga puta datog ia- C B P ( co θ) D A P ( co θ). (..7) jedačavajem oeficijeata u gojem iau dobija e C i (..7) D A... (..73) B Aaiom iaa (..7) i iaa a potecija po modeu "Stato" (..99) može e ajučiti da je C a atim a oovu (..7) D R. Na ači iča oome u pethodoj tači da bi e pibižo adovojio gaiči uov a gutiu totae tuje (..3) važi A B R. Kotate A... hodo pethodoj aaii i gaičom uovu (..3) odeđuju e i iaa odae je R P (coθ) A P (coθ) (..74) R A B (i jedačie (..73)). (..75) Smeom (..75) i A B R u jedačie ( ) dobija e (u oišćeje Keviovog fatoa ) ϕ R R P co 4πσ ( θ) ϕ πσ R R R 4 P > i (..76) ( co θ). < (..77) U jedačiama ( ) javjaju e ume oje u u atvoeom obiu odeđee iaima (..5) i (..5) epetivo pa oačo iai a Giovu fuciju po modeu "Račić" (u oišćeje jedačia (..) dobijaju obi ϕ R ϕ R θ ( R co ) R 4πσ R R R θ ( co ) 4πσ > i (..78) <. (..79) 7

43 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta...5 Aaia opiaih ešeja Na oovu aaie opiaih ešeja "Stato" "Veičović" i "Račić" može e ajučiti ([.8]): Rešeja "Veičović" i "Račić" u pibiža ai a aiu od tačog ešeja "Stato" data u u atvoeoj fomi što čii jihovu pimeu a ešavaje ožeijih pobema jedotavijom. Pibiži modei "Veičović" i "Račić" u veoma iči i aiuju e amo u fatou ojim e moži ogaitama fucija u iaima a potecija iva fee. Mode "Veičović" adovojava gaiče uove a potecija i omau ompoetu vetoa gutie totae tuje ai amo pibižo adovojava Puaoovu t.j. Lapaovu jedačiu. Rešeje "Račić" potpuo adovojava Puaoovu odoo Lapaovu jedačiu i gaiči uov a potecija do je gaiči uov a veto gutie totae tuje amo deimičo adovoje. ai a potecija po modeu "Račić" mogu e iveti a oovu tačog ešeja (mode "Stato") ada je ipuje uov da je <<. o a poedicu ima maje odtupaje modea "Račić" u odou a mode "Stato" a. <...6 Poeđeje modea Na S..4 i.5 piaaa je omaiovaa apodea potecijaa odeđeog pimeom obaaca "S" "V" i "R" modea a pavcima defiiaim vedotima uga θ ( ) ada e tačati ivo aai a atojaju '.m. Pi tome je m σ.s/m ε ε i p σ σ. (S..4) odoo p (S..5). Potecija je omaiova vedošću otate U 4πσ. Na iča ači apodea potecijaa a itim pavcima ada je ivo mešte uuta fee a atojaju '.9m piaaa je a S..6 a p. odoo S..7 a p. Vedoti otaih paametaa ite u ao i vedoti paametaa a S Kao što je već ečeo boje agaje a tačim ešejem potoji a učaj ada je <. aođe e uočava da je odtupaje pibižih modea "Račić" u odou a tačo ešeje "Stato" maje ego odtupaje eutata dobijeog pimeom modea "Veičović". 9 U PRLOGU 3 objašjeo je ašto u piaai amo gafici oji e odoe a eai deo potecijaa. 8

44 . Kvaitacioao eetomageto poje 6 Re{ϕ/U } 5 4 θ σ. S/m p. ε ε m '. m.5 Re{ϕ/U }. θ3 σ. S/m p. ε ε m '. m 3 "V" "R" "S" [m] Re{ϕ/U } θ θ6 σ. S/m p. ε ε m '. m "V" "R" "S" [m] Re{ϕ/U } θ "V" "R" "S" [m] Re{ϕ/U } θ 3 θ9 σ. S/m p. ε ε m '. m "V" "R" "S" [m] θ 9. Re{ϕ/U }.75 θ35 σ. S/m p. ε ε m '. m.75 θ8 σ. S/m p. ε ε m '. m.5 "V" "R" "S".5 "V" "R" "S".5.5 [m] θ 35 [m] θ 8 S..4 - Rapodea potecijaa a aičitim pavcima ada e tačati tuji ivo aai va fee S..3a a p.. 9

45 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta Re{ϕ/U } θ σ. S/m p ε ε m '. m "V" "R" "S" [m] Re{ϕ/U }. θ θ6 σ. S/m p ε ε m '. m.5 Re{ϕ/U } θ3 σ. S/m p ε ε m '. m "V" "R" "S" [m] Re{ϕ/U } θ 3 θ9 σ. S/m p ε ε m '. m.75.5 "V" "R" "S".6.4 "V" "R" "S".5 [m] Re{ϕ/U } θ 6 θ35 σ. S/m p ε ε m '. m...75 [m] Re{ϕ/U } θ 9 θ8 σ. S/m p ε ε m '. m.5 "V" "R" "S".5 "V" "R" "S".5.5 [m] θ 35 [m] θ 8 S..5 - Rapodea potecijaa a aičitim pavcima ada e tačati tuji ivo aai va fee S..3a a p. 3

46 . Kvaitacioao eetomageto poje 4 Re{ϕ/U } θ σ. S/m p. ε ε m '.9 m "V" "R" "S" [m] Re{ϕ/U } θ θ6 σ. S/m p. ε ε m '.9 m "V" "R" "S" [m] θ 6.4 Re{ϕ/U } θ3 σ. S/m p. ε ε m '.9 m "V" "R" "S". [m] Re{ϕ/U } θ 3 θ9 σ. S/m p. ε ε m '.9 m "V" "R" "S". [m] θ Re{ϕ/U } θ35 σ. S/m p. ε ε m '.9 m. Re{ϕ/U }.75 θ8 σ. S/m p. ε ε m '.9 m.5.5 "V" "R" "S" [m] θ "V" "R" "S" [m] θ 8 S..6 - Rapodea potecijaa a aičitim pavcima ada e tačati tuji ivo aai uuta fee S..3b a p.. 3

47 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta Re{ϕ/U } 8 θ σ. S/m p ε ε m '.9 m 6 Re{ϕ/U } θ3 σ. S/m p ε ε m '.9 m 6 4 "V" "R" "S" 4 "V" "R" "S" [m] θ [m] θ 3 3. Re{ϕ/U }.5. θ6 σ. S/m p ε ε m '.9 m. Re{ϕ/U }.5 θ9 σ. S/m p ε ε m '.9 m.5..5 "V" "R" "S" [m] Re{ϕ/U } θ 6 θ35 σ. S/m p ε ε m '.9 m..5 "V" "R" "S" [m] Re{ϕ/U } θ 9 θ8 σ. S/m p ε ε m '.9 m..5 "V" "R" "S"..5 "V" "R" "S" [m] θ 35 [m] θ 8 S..7 - Rapodea potecijaa a aičitim pavcima ada e tačati tuji ivo aai uuta fee S..3b a p. 3

48 . Kvaitacioao eetomageto poje..3 ačati tuji ivo u piutvu poupovode poufeiče ehomogeoti Pimeom modifiovaih teoema ia u avom i feom ogedau a vaitacioai ežim fomia je mode a odeđivaje Giove fucije tačatog ivoa mešteog iva ii uuta poufeiče ehomogeoti ([.]). Pi tome e amata emja paametaa σ ε μ μ čija e ehomogeot modeuje homogeom poufeom čiji u paameti σ ε μ μ...3. ačati ivo iva poufeiče ehomogeoti Na S..8a-b piaa je tačati tuji ivo mešte u ooii poufeiče ehomogeoti (tača P ' ) i deo itema iova a odeđivaje potecijaa (tača P ) iva ( > ϕ ) odoo uuta ehomogeoti ( < ϕ ) epetivo. Nao pimee teoeme ia u avom poupovodom ogedau i tačatog ivoa tuje aai e imetičo u odou a povšiu ta i jegova tuja je R gde je R oeficijet efeije R ( σ σ ) ( σ σ ). Odeđivaje uticaja poufeiče ehomogeoti vodi e a oišćeje eog od modea a Giovu fuciju tačatog ivoa iva feiče poupovode ehomogeoti. σ ε μ R σ ε μ R α i i i α i y σ ε μ σ ε μ " i α ' P' P x y σ ε μ σ ε μ a) ϕ b) ϕ S..8 - ačati tuji ivo iva ehomogeoti - deo itema iova a odeđivaje potecijaa: a) iva poupovodie fee; b) uuta poupovode fee. majući u vidu opiau aaiu iai a potecija itema a S..8 po "S" modeu u oišćeje iaa ( ) fomiai u u obiu ϕ S 4πσ R 4πσ R R i R R ( ) ( ) P P ( coα) ( coα ) i P ' α P' > i (..8) x ϕ S 4πσ R 4πσ R i R ' ' R R ' ' P P ( co α) ( coα ) i. <. (..8) 33

49 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta Po modeu "Veičović" ( ) u ovom učaju (S..8) Giova fucija je V coα 4 R ϕ R πσ > i (..8) R coα 4 πσ R i i R i i ϕ V 4πσ R 4πσ i R R R R coα coαi Koačo a mode "Račić" ( ) iai a potecija u obia ϕ R 4πσ R 4πσ R R i R R i i coα coαi <. (..83) i > i (..84) R R R coα ϕ 4πσ <. (..85) R R R α co i i 4πσ i U pethodim iaima ( ) je co α ( ) i coαi i ( i ) gde je i veto poožaja ia R u odou a oodiati početa pi čemu je i i. Dužie atojaja oačeih a S..8 u coα coα i coαi coα i i. i..3. ačati ivo uuta poufeiče ehomogeoti Na S..9a-b piaa je tačati tuji ivo mešte uuta poufeiče ehomogeoti (tača P ' ) i deo itema iova a odeđivaje potecijaa (tača P ) iva ( > ϕ ) odoo uuta ehomogeoti ( < ϕ ) epetivo. Kao i u učaju ada e ivo aaio iva poufeiče ehomogeoti pimeom teoije iova u avom poupovodom ogedau i tačatog ivoa tuje aai e imetičo u odou a povšiu ta i jegova tuja je R gde je je R ( σ σ ) ( σ σ ) oeficijet efeije. Modeovaje uticaja poufeiče ehomogeoti vodi e a pimeu jede od Giovih fucija a tačati ivo uuta poupovode fee ("Stato" "Veičović" ii "Račić"). U aedim iaima je ao i u pethodom učaju co α ( ) coαi i ( i ) ( i je veto poožaja ia tačatog ivoa R ) coα coα i coαi i i coαi. Po "S" modeu ( ) iai a potecija u 34

50 . Kvaitacioao eetomageto poje S R ϕ R 4πσ R R R 4πσ i ' ' P P ( co α) ( co α ) i > i (..86) ϕ S 4πσ R 4πσ i R R R i R R R ( ) ( ) P P ( coα) ( coα ) i <. (..87) σ ε μ y σ ε μ R ' P' P' i α i α P x σ ε μ y σ ε μ R ' P' P' i P i α i α x σ ε μ σ ε μ " a) ϕ b) ϕ S..9 - ačati tuji ivo uuta iva ehomogeoti - deo itema iova a odeđivaje potecijaa: a) iva poupovodie fee; b) uuta poupovode fee. Mode "Veičović" ( ) daje V R R coα ϕ 4πσ > i (..88) R coα R R i i 4πσ i V ϕ R 4πσ R R 4πσ i i R R R R Koačo po modeu "Račić" ( ) je ϕ R ( ) R 4πσ 4πσ i R R R R coα coαi coαi i i coα <. (..89) > i (..9) 35

51 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta ϕ R ( ) R 4πσ 4πσ i R R i R R R R coα coαi i <. (..9).3 SRUKURA ELEKROMAGNENOG POLJA POENCJALA U tetu oji edi opiaa je tutua eetomagetog poja odeđea a oovu iaa a Giove fucije ivedeih u odeju.. Aaiiae u geometije čije amataje pedtavja oovu a ešavaje pobema amataih u adu..3. Lieiči povodi u homogeoj emji S.. - Lieiči povodi u homogeoj emji. Pomata e povodi dužie (imeđu tačaa A i B) mešte u homogeoj emji poatih paametaa σ ε i μ μ S... tegacijom iaa ( ) i ( ) po pomejivoj u gaicama [ ] mogu e odediti eutujuće ompoete Hecovog vetoa u ooii povodia ([.5]). Logitudiaa tuja duž oe povodia oačea je a (). Kao je μ μ i jedačie (..54) a oeficijete efeije i tamiije dobija e R η R η i η η. U aedim iaima a i oačea u atojaja tujog eemeta odoo jegovog ia od tače u ojoj e odeđuje Hecov veto i mogu e iaiti ao ( ) ( ) ( ) ( x x ) ( y y ) ( ) i x x y y gde je x x ( ) y y ( ) i (). Pi tome u vetoi poožaja tujog eemeta i jegovog ia x xˆ y yˆ ˆ odoo x xˆ y yˆ ˆ epetiv- o. Shodo oaama oišćeim u aijem tetu veičie oje opiuju tutuu poja biće ideiae a "" i ""a tače oje e aae u vaduhu odoo emji epetivo. Kada e opiaa pocedua pimei a jedačiu (..46) dobija e Π η < 4πσ ( )( ˆ ηˆ ) d η x y. (.3.) Na iča ači i iaa (..6) i (..4) dobijaju e iai a Π η η x y i Π. Kao je Π Π Π Π (jedačia..64) dobija e x y R <.(.3.) 4πσ η x y η ( ) Π ( ˆ ηˆ ) R [ ( )] ( ˆ ˆ ) d ai ( ) defiišu tutuu Hecovog vetoa u vaduhu a item a S... Aaogo tome može e odediti i tutua Hecovog vetoa u emji. Kada e a opiai ači ivši itegacija iaa (..6) dobija e 36

52 . Kvaitacioao eetomageto poje Π η > 4πσ ( )( ˆ ηˆ ) d η x y. (.3.3) Nao itegacije iaa (..63) i (..43) i jihovom meom u jedačiu (..65) dobija e R ( ) ( ˆ ) [ ( )] ( ) ηˆ ˆ R πσ ˆ d >. (.3.4) 4 x y η η Π.3.. Eetiči aa potecija Eetiči aa potecija može e odediti a oovu Hecovog vetoa i (..3) Π xi Π y i Π i ϕi divπ i i. (.3.5) x y Ramataje oje će biti opiao u tetu oji edi omogućava eđivaje iaa a potecija u jedotavijoj fomi. Ao e a A x xˆ A y A yˆ Aˆ oači veto poožaja tače A S.. iteiteti vetoa i mogu e iaiti ao ˆ ( x x ( ˆ xˆ)) ( y y (ˆ yˆ)) ( ( ˆ ˆ i (.3.6) A A A A )) ˆ ( x x ( ˆ xˆ)) ( y y (ˆ yˆ)) ( ( ˆ A A A ˆ )). (.3.7) Na oovu pethodih iaa je ( ˆ xˆ) ( ˆ yˆ) ( ˆ ˆ) i (.3.8) x y ( ˆ xˆ) ( ˆ yˆ) ( ˆ ˆ). (.3.9) x y Kada e iai ( ) mee u (.3.5) i ioite vee ( ) a potecija u vaduhu e dobija R ( ) ( ) ( ) ϕ πσ d πσ d <. (.3.) 4 4 Na iča ači meom iaa ( ) u (.3.5) fomia e ia a potecija u emji ϕ 4πσ 4πσ R ( ) R d R ( ) ( ) d >. (.3.) U pethodim iaima a ( ) ( ) oačea je poduža gutia tuje oticaja a povšie ieičog povodia..3.. Eetičo poje Kao je to već aije objašjeo u oviu odeja.. tutua eetičog poja u učaju vaitacioaog ežima ( γ i << i ) može e odediti a oovu iaa (..) Ei Exixˆ E yiyˆ Eiˆ gadϕi i. (.3.) 37

53 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta 38 Pimeom pethode jedačie a (.3.) a ompoete eetičog poja u vaduhu dobija e ( ) ( ) πσ x x E x d 4 < (.3.3) ( ) ( ) πσ y y E y d 4 < i (.3.4) ( ) ( ) πσ E d 4 <. (.3.5) Sičo tome i (.3.) i (.3.) odeđuju e ompoete eetičog poja u emji ( ) ( ) πσ x x E x d R R 4 > (.3.6) ( ) ( ) πσ y y E y d R R 4 > i (.3.7) ( ) ( ) πσ E d R R 4 >. (.3.8).3..3 Mageto poje Mageto poje odeđuje e i jedačie (..) ot ˆ ˆ ˆ i i i y i xi i H y H x H H Π σ i. (.3.9) Pimeom pethode jedačie a veto Π čije u ompoete odeđee iaima ( ) a ompoete magetog poja u vaduhu ( < ) dobija e ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) d ˆ ˆ R ˆ ˆ R ˆ ˆ 4 y y y H y x y x η η π Π Π σ η (.3.) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) i d R ˆ ˆ R ˆ ˆ ˆ ˆ 4 x x x H y x x y η η π Π Π σ η (.3.) ( ) ( ) ( ). d ˆ ˆ ˆ ˆ 4 x y y x y x H x y π Π Π σ (.3.) Kada e odeđuje tutua magetog poja u emji ( i u iau (.3.9)) i jedačia a ompoete vetoa Π ( ) ( > ) dobija e

54 . Kvaitacioao eetomageto poje 4π 4π y ( ) ( ˆ ηˆ ) R [ ( )] ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ y) d η x y H H x x η y σ Π y Π y R ( ) ( ˆ xˆ ) ( ˆ ηˆ ) R [ ( )] ( ˆ ˆ ) d i η x y σ Π x η Π x R (.3.3) (.3.4) H σ Π y Π x x y 4π ( ) ( ˆ yˆ ) ( ˆ xˆ ) d. x y (.3.5).3. Lieiči povodi u piutvu poufeiče ehomogeoti.3.. Eetiči aa-potecija U ovom odeju opiaa je pimea Giovih fucija a tačati ivo mešte uuta odoo iva poupovode poufeiče ehomogeoti a aaiu ieičih povodia. Pi tome e uvode oae a Giove fucije S/V/R S/V/R G ( ) ϕ ( ) / i j (.3.6) ij ij gde je ϕ S/V/R ij ( ) i j jeda od fucija adatih iaima ( ) do goji ide ao i u pethodim amatajima defiiše pimejei mode ("S" "V" ii "R"). R ( ' ) R ( ' ) i σ ε μ σ σ ε μ ε μ y ' a ( ' ) i P ' x σ ε μ y σ ε μ σ ε μ P ' ( ' ) ' x a) ϕ b) ϕ S..- Liiji povodi iva ehomogeoti i tača u ojoj e odeđuje potecija: a) iva poupovode fee; b) uuta poupovode fee. ao u učaju ieičog povodia dužie u ooii poufeiče ehomogeoti S.. potecija u ooii eetode iva poufee pomoću iaa (..8-mode "S") (..8- mode "V") i (..84-mode "R") može e iaiti ao S/V/R ϕ ( ) d ( ) G ( ) (.3.7) 39

55 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta do je potecija uuta ehomogeoti po modeima "S""V" i "R" (iai (..8) (..83) (..85)) S/V/R ϕ ( ) d ( ) G ( ). (.3.8) U pethodim iaima je d ( ) ot ( ) d gde je ( ) ( ) (.3.9) ot poduža gutia tuje oticaja a povodia. Na iča ači amata e i ieiči povodi oji e aai uuta poufee S... ada je potecija iva poufee a oovu (..86) (..88) i (..9) S/V/R ϕ ( ) d ( ) G ( ) (.3.3) do je u poufei (jedačie (..87) (..89) i (..9)) S/V/R ϕ ( ) d ( ) G ( ). (.3.3) Kao i u pethodom učaju je d ( ) ( ) d ot gde je ot poduža gutia tuje oticaja a povodia do je dužia povodia. R ( ' ) R ( ' ) σ ε μ σ ε μ σ ε μ y ' ' ( ' ) i P x σ σ ε μ ε μ σ ε μ y ' ' i ( ' ) P x 4 a) ϕ b) ϕ S.. - Liiji povodi uuta ehomogeoti i tača u ojoj e odeđuje potecija: a) iva poupovode fee; b) uuta poupovode fee..3.. Eetičo poje Eetičo poje odeđuje e i iaa a potecija ( ) i ( ) pi čemu e amata vaitacioai ežim S/V/R S/V/R S/V/R S/V/R S/V/R E E xˆ E yˆ E ˆ gadϕ i j. (.3.3) ij ij ij ij Na ovaj ači ompoete eetičog poja mogu e u opštoj fomi iaiti ao S/V/R ϕij ( ) S/V/R E ( xij d ( ) Gij ( )) (.3.33) x x S/V/R ϕij ( ) S/V/R E ( yij d ( ) Gij ( )) i (.3.34) y y S/V/R ϕij ( ) S/V/R E ( ij d ( ) Gij ( )). (.3.35) ij

56 . Kvaitacioao eetomageto poje.3..3 Mageto poje Da bi e odedia tutua vetoa magetog poja eophodo je uceivom pimeom Loecovog uova ϕ div Π i iaa H σ ot Π odediti ompoete Hecovog vetoa Π odoo vetoa magetog poja H..3.3 Maiva počata eetoda u piutvu poufeiče ehomogeoti Metodoogija opiaa u pethodom tetu može e pimeiti i a aaiu pobema odeđivaja potecijaa u ooii počate eetode meštee u ooii poupovode poufeiče ehomogeoti (S.3). Ramata je amo učaj počate eetode oja e aai iva poufee ao ačaja a pobeme aaiiae u oviu ada. R d ( ' ) R d ( ' ) σ ε μ σ ε μ y i P x σ ε μ y σ ε μ P i x σ ε μ ' d ( ) ' σ ε μ ' d ( ) ' a) S ϕ b) ϕ S..3- Počata eetoda iva ehomogeoti i tača u ojoj e odeđuje potecija iva (a) i uuta (b) poupovode fee Eetiči aa-potecija Potecija u ooii počate eetode odeđuje e a oovu iaa ičih jedačiama (.3.7) i (..8) pimejeih a aaiu ieiče eetode amo što e u oetom učaju itegacija vši po povšii počate eetode S pa je opšti obi iaa a potecija S/V/R ϕi ( ) d ( ) Gi( ) i (.3.36) S gde je d ( ) J ( ) d S tuja oticaja a eemeta povšie eetode d S. Eetičo poje odeđuje e a uobičaje ači a vaitacioai ežim S/V/R S/V/R S/V/R S/V/R S/V/R E ˆ ˆ i Ei x Ei y Ei ˆ gadϕi i (.3.37) do e veto magetog poja odeđuje ombiacijom Loecovog uova a potecija (..4) i jedačie (..)..4 LERAURA [.] D. M. Veičović Eetomagetia-Pva Svea idaje Eetoi fautet u Nišu 999. [.] J. C. Maxwe A eatie o Eectity ad Magetim Macmia ad Co. Pubihe to the Uiveity of Oxfod 873. [.3] J. V. Suuta Eetomagetia Gađevia jiga Beogad 989 t. 58. S 4

57 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta [.4] P. D. Račić "A ew cocept fo iea goudig ytem aayi" Fouth t. Symp. of Appied Eectotatic ПEC 96 Niš Yugoavia May Poc. of Pape pp 3-6. [.5] P. D. Račić "Oovi ia a iačuavaje tutue EM poja poivojo potavjeog Hecovog dipoa u ehomogeoj emji oja je apoimiaa a N homogeih i iotopih ojeva-vaitacioaa aaia" ehiči iveštaj EH-RP-EM-b Laboatoija a Eetiče itaacije i Ovetjeje Eetoi fautet Uiveitet u Nišu Jaua 998. [.6] M. Abamowit. A. Stegu Hadboo of Mathematica Fuctio with Fomua Gaph ad Mathematica abe Dove Pubicatio c. New Yo 8 th Pitig Govemet Pitig Office th Pitig 97 pp 487. [.7] L. Haaam N. Saaji "Stöug de Potetiaveteiug de tombechicte Edeiche duch Eeichüße" Achiv fü Eetotechi Vo. 68 No. 985 pp [.8] E. Boidy "Soutio of Some Eectotatic Potetia Pobem vovig Spheica Coducto: A Dua Seie Appoach" EEE a. o EMC Vo. 9 No. 987 pp 3-4. [.9] J. A. Statto Eectomagetic theoy Mc Gow-Hi Boo Compay New Yo /Lodo 94 pp -5. [.]. V. Lide "Eectotatic image theoy fo the dieectic phee" Radio Sci. Vo. 7 No. 99 pp -8. [.] J. C-E. Ste. V. Lide "Eectotatic image theoy fo the dieectic phee with a itea ouce" Micowave ad optica techoogy ette Vo 5 No. Octobe 99 pp [.] D M. Veičović: Metodi a poaču eetotatičih poja Kjiga pva Sti-Podvi Niš 98 t t.. [.3] L. Haaam "Agemeie Löug de Radwetpobem fü eie Kuge duch tegatio de ugetöte eegede Fede" Achiv fü Eetotechi Vo. 54 No pp [.4] K. Reiß "Kaftwiuge ud Bahuve i eiem Eetomechaiche Kuge-Putadug-Sytem" Achiv fü Eetotechi Vo pp 4-5. [.5] K. Reiß "Defomatio de Potetiafede eie Putadug duch eie ugefömige Mateia homogeität" Achiv fü Eetotechi Vo. 74 No. 99 pp [.6] D. M. Veičović "Gee' fuctio of pheica body" Euo Eectomagetic EUROEM '94 May 3 Jue Bodeaux Face Cof. Poc. Hp-9-4. [.7] H. Uhma (Ed.) D. M. Veičović K. Badiy R. D. Statcheva H. Baue Fudameta of Mode Eectomagetic fo Egieeig-extboo fo Gaduate Studet Pat : Static ad Statioay Eectica ad Magetic Fied echica Uiveity meau/gemay 5 pp pp -8 pp 9 pp 9-3. [.8] P. D. Račić "A poit goud eectode i the peece of pheica goud ihomogeity: aayi of two appoximate coed fom outio fo eectica caa potetia" teatioa PhD Semia Computatioa Eectomagetic ad echica Appicatio Baja Lua Boia ad Heegovia Augut 8-Septembe 6 Poc. of Pape pp 3-3 dotupo a: [.9] Г. А. Лавров А. С. Кнйазев Приземние и Подземние Антенй: Теорийа и Практика Антенн Размесхцхенникх Вблизи Поверкхности Земли Советское Радио Москва 965. [.] N. N. Cvetović P. D. Račić "he poit goud eectode i viciity of the emi-pheica ihomogeity" Sebia Joua of Eectica Egieeig Vo. No. Nov. 5 pp

58 3. PREGLED KORŠĆENH MEODA Kata pia umeičih metoda oišćeih u adu a aaiu i ešavaje pobema biće iože u ovom deu teta. Detaja opi pimee metoda a amataje oetih pobema peetova je u aijim pogavjima. 3. МEOD MOMENAA Metod momeata (Method of Momet-MoM ([3.])) pedtavja geeai metod a ešavaje ehomogeih jedačia obia PF G (3..) gde je P opeato difeecijae itegae ii difeecijao-itegae piode G je fucija defiiaa poatom pobudom do je F epoata fucija oju je potebo odediti. Najveći boj pobema u teoiji poja može e veti a obi (3..) što metod čii ačajim u oviu ove obati teoije fiie ([3.3]). U ovom adu metod momeata pimeje je a ešavaje itegaih jedačia odoo a učaj ada je P itegai opeato što je i aog da će u tetu oji edi biti opiaa pimea metoda momeata a ešavaje ove vte pobema. Pimea amataog metoda a ešavaje itegaih jedačia u teoiji eetomagetih poja podaumeva vođeje pobema a pobem itema N ieaih agebaih jedačia gde je N boj epoatih ajčešće oeficijeata u odgovaajuće iabaoj fuciji apodee tuje. Ova pocedua iutovaa je u dajem tetu ([3.4]). Pomata e povodo teo opticao tujom povšie gutie J. Uov da je tagecijaa ompoeta vetoa eetičog poja a povšii povodia jedaa ui opiuje e iaom i i E E tj. E E (3..) ta ta i gde je E ta tagecijaa ompoeta poja oje tvaa tuja J do je E ta tagecijaa ompoeta poja oju tvaa ivo mešte u poivojoj tači potoa uuta ii iva tea. U dajem i opiu pocedue oaa "ta" biće iotavjea pa ia (3..) ima obi E E. Uvođejem opeatoa L op Lop ( J ) E (3..3) može e oišćejem ocepta ieaih vetoih potoa apiati opeatoa jedačia L ta ta i op ( J ) E. (3..4) gde je L op opeato oji ima aičit obi i piodu a oete pobeme E i je poata fucija pobude do je J odgovaajuća fucija odiva oju je eophodo odediti. U petpotavu da po- Ovaj metod pedtavja eada e aiva idietim metodom gaičih eemeata ("diect bouday eemet method") ii metod fudametaog ešeja ("Method of fudameta outio") ([3.]). Oae u gojem ideu veae u ijučivo a ovo pogavje i e teba ih mešati a oaama oišćeim u pethodom pogavju ("S"-mode "Stato"). 43

59 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta toji jedo i amo jedo ešeje a adatu pobudu E i može e defiiati i ivei opeato L op tao da je i Lop ( E ) J. (3..5) Uov o jeditveoti ešeja dovodi do ajuča da opeato L op pedtavja apavo peiavaje "jeda a jeda" upa vedoti a odiv J a up vedoti pobude fucije E i u defiiaom domeu. Da bi e odedio dome i vta opeatoa četo je eophodo defiiati aau veičiu avau uutašji poivod ("ie poduct") J E oja e odeđuje itegacijom poivoda JE po amataoj povšii (dae L op će e u dajem tetu matati itegaim opeatoom). U [3.4] ova veičia je defiiaa tao da u adovojei uovi J E E J (3..6) α J βj E α J E β J E (3..7) * * J a J J > i J a J J. (3..8) Dae pocedua a odeđivaje odiva podaumeva četii oaa:. Ravoj epoate fucije odiva u pomataom domeu u pomoć odabaih baih fucija;. bo odgovaajućeg uutašjeg poivoda i defiiaje težiih fucija; 3. Fomiaje itema ieaih jedačia a oovu uutašjeg poivoda; i 4. Rešavaje obaovaog itema ieaih jedačia. Pethodo abojai oaci biće detajije aaiiai u tetu oji edi. 3.. Gaeiov (Gaei) metod Fucija odiva a amataoj povšii petpotavja e u obiu ume J N J (3..9) gde u N epoati oeficijeti a J N iabae bae fucije u domeu u om je defiia opeato L op. ao e meom pethodog iaa u (3..4) pi čemu e oiti ieaa pioda L op dobija N i Lop ( J ) E. (3..9) Nao iboa težiih fucija W m... fomia e uutašji poivod m N W L W E m op ( J ) m i. (3..) bo težiih fucija oje adovojavaju uov W m J m m N jete defiišuća aateitia tv. Gaeiovog metoda. ada pethodi ia potaje N J L J E m op ( J ) Odeđivajem uutašjeg poivoda fomia e matiča jedačia m i. (3..) 44

60 3. Peged oišćeih metoda 45 i N i i N N N N N E J E J E J J L J J L J J L J J L J J L J J L J ) ( ) (... ) ( ) (... ) ( ) ( op op op op op op (3..) odoo u ompatijoj fomi [ ][ ] [ ] V Z. (3..3) U jedačii (3..3) eemeti matica [ ] Z [ ] i [ ] V pedtavjaju geeaiae impedae tuje i apoe epetivo ([3.4]). Sada e ao odeđivaja ivee matice [ ] Z a oovu [ ] [ ] [ ] V Z (3..4) odeđuju eemeti matice [ ] odoo oeficijeti N. 3.. Metod podešavaja u tačama Metod podešavaja u tačama (Poit Matchig Method-PMM) omogućava pibižo odeđivaje eemeata matice [ ] Z u iau (3..3) ) ( m op m J L J Z tao što e uov adat jedačiom (3..) adovojava amo u pojediim tačama a pomataoj povšii. Na taj ači eophodo je všiti amo ou itegaciju oju ahteva am opeato op L. Jedačia (3..) tao dobija obi δ δ δ δ δ δ δ δ δ i N N i i N N N N N E E E J L J L J L J L J L J L ) (... ) ( ) (... ) ( ) ( ) ( ) (... ) ( ) ( ) ( ) (... ) ( ) ( ) ( ) ( op op op op op op. (3..5) U pethodoj jedačii je atojaje od ee efeete tače (ajčešće oodiatog početa) do je N atojaje tače u ojoj e adovojava adati uov od ite tače. Sa ) ( δ oačea je Diaova deta fucija. Doji idei u oaama pobude i E N oačavaju da e podešavaje vši u tačama... N epetivo. U pai e poaao da e adovojavajem adatog uova u dovojo veiom boju tačaa potiže adovojavajuća tačot. o aočito važi a tače udajee od domea a čijoj e povšii adovojava gaiči uov. Veća oetjivot javja e od odeđivaja veičia u ooii amatae povšie ai geeao uevši metod momeata poaao e ao dovojo efiaa i pecia metod oji e može pimeiti a aaiu i ešavaje veiog boja pobema Metod odečaa Umeto apoimacije a ceom domeu eada je jedotavije apoimiati odiv tao da a jedom deu povšie petpotavja da je odiv otata. Ovaav pitup oji aateiše metod odečaa omogućava ešavaje pobema be pethodog poavaja očeivae piode

61 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta odiva. Patičo ada e dome podei a N egmeata baa fucija a bio ojoj tači povšie P tada e može piaati ao P egmeta J N. (3..6) P egmeta U iteatui e goja fucija četo aiva impua ("pue") fucija i pimejea je i a ešavaje oetih pobema aaiiaih u ovom adu. Poed fucije (3..6) može e od metoda odečaa oititi i tougaoa ("tiage") apoimacija atim apoimacija iečee iuoide ("piecewie iuoid") i aubjee oiuoide ("tucated coie") ([3.5]) vadata itepoacija ([3.4]) itd Metod ceodomee apoimacije Ceodomea ("Etie-domai") apoimacija podaumeva da e odiv J apoimia pomoću odgovaajuće iabaih baih fucija J N a ceom domeu a ome e adovojava adati gaiči uov (ia (3..9)). bo baih fucija vea je a oetu piodu pobema. ao je u učaju ceodomee apoimacije pimejee a aaiu pobema u ovom adu oišćea poioma apoimacija tuje N J ( x) x (3..7) do e u [3.4] a ešavaje pobema dipo atee pedažu edeće fome odiva: ( πx ) co( 3π )... J ( x) co x. (Fuijeova (Fouie)) (3..8) J x) ( x) ( x) ( x).... (Čebiševjeva (Chebyhev)) (3..9) ( J ( x) x x... (Maoeova (Macaui)) i (3..) 3 J x) P ( x) P ( x) P ( x)... (Ležadova (Legede)). (3..) ( 3 4 U pethodim iaima x je geeaiaa oodiata oja avii od piode pobema do u P (x) i (x) Ležadovi poiomi pve vte i Čebiševjevi poiomi epetivo VARJACON MEOD Rešavaje pobema u teoiji poja gotovo eiotavo podaumeva i ešavaje pacijaih difeecijaih jedačia čiji je opšti obi L op ( f ) g (3..) gde je f epoata fucija op L je difeecijai opeato do je g ehomogei ča. Umeto dietog ešavaja jedačie (3..) vaijacioi metod pobem vodi a odeđivaje fucije oja daje miimau vedot itegaa fomiaog toom aaie odoo ešava vaijacioi pobem ([3.4]). U fiičom miu pomeuti itega amea je aici imeđu tažee fucije i adatog gaičog uova. et oji edi adži ata pia metoda a agaom a oe aateitie metoda oje doae do iažaja od pimee a oete pobeme aaiiae u ovom adu. Pvi i oovi oa u pimei vaijacioog metoda pedtavja fomiaje fucioaa oji e u iteatui eada aiva "fucija fucije" ([3.4]). Kao što vedoti pomejive odgovaa vedot fucije tao i fucioa vaoj fuciji pidužuje odgovaajuću boju vedot. Ništa maje važa dugi oa je odeđivaje fucija a oje fucioa potiže maimau i miimau vedot ao i fucije a oju fucioa ima tau vedot ("adde"(edo) fucija) odoo da bude tacioaa ([3.6]).

62 3. Peged oišćeih metoda U vei a pethodim tetom od ačaja je agaiti da veičie oje e javjaju u teoiji eetomagetih poja četo adovojavaju uov da ei od fucioaa oji u oeiai a jima imaju miimau vedot. ao a pime eetotatiči aa-potecija ima apodeu oja odgovaa miimaoj vedoti eegije eetotatičog poja. Sagaot vaijacioog picipa i Maveovih jedačia detajo je aaiiaa u [3.7]-[3.8]. U ovom adu e a tažeje fucije oja fucioa čii pibižo tacioaim oiti Reji-Ricov (Rayeigh-Rit) metod ([3.6]) aova a ideji da e fucija apoimia ieaom ombiacijom poatih fucija i da e oačo ešeje dobije odeđivajem paametaa u petpotavjeoj ieaoj fomi. Paameti e odeđuju po pocedui oja podaumeva mejivaje ieae ombiacije u fucioa i difeeciaje po vaom paametu poaob. 3.. Metod edjih potecijaa Metod edjih potecijaa (Aveage Potetia Method-APM) poat i ao metod Hove (Howe) veoma je jedotava i adovojavajuće tača metod a ešavaje pobema tacioaih i vaitacioaih eetomagetih poja ([3.9]-[3.]). Metod pedtavja poeba učaj vaijacioog metoda što će biti poaao u aijem tetu u oviu aaie oetog pobema ešeog u adu. Pimea metoda iutovaa je a učaju P eetode poivojog obia povšie S meštee u homogeu ediu pecifiče povodoti σ σ S. 3.. Potecija eetode je U. Metod je ϕu aova a petpotavci da je gutia tuje oticaja a povšie pomatae eetode taa pa P S je jea povšia gutia J / S taa gde je uupa tuja oja otiče a eetode. U O ovu petpotavu potecija u tači P čiji je poožaj defiia vetoom ' je S Uamjea eetoda. J d S d ϕ( ) πσ S. (3..) 4 S 4πσ Na ovaj ači odeđe potecija e adovojva uov evipotecijaoti eetode pa je potecija tače a povšii eetode P (poožaja defiiaog vetoom ) aičit od petpotavjee vedoti potecijaa U odoo d S ϕ( ) U S. (3..3) 4πσ S Da bi e ubažia ačijea geša pibiža vedot potecijaa eetode odeđuje e ao edja vedot potecijaa datog iaom (3..3) po povšii eetode (potecija e "oedjava") U pa je pibiža otpoot eetode S ϕ( )d S S U R S S SS S d S d S 4πσ d S d S 4πσ SS S (3..4). (3..5) 47

63 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta 3.3 MEOD EKVVALENNE ELEKRODE Metod evivaete eetode (MEE) je umeiči metod avije a Eetoom fautetu u Nišu ameje pibižom poačuu potecijaih poja teoije fiie ujučujući i vaitacioao eetomageto poje ([3.]- [3.4]). Pedožei metod aova je a ideji da e eetoda poivojog obia "amei evivaetim itemom atavjeim od oačog boja tv. evivaetih eetoda" ([3.]). ao e aaia pomataog eetodog itema vodi a ešavaje većeg boja aše ešivih pobema. Obi dimeije i poožaj evivaetih eetoda odeđuju e tao da u potpuoti amee po- σ matai eetodi item. Zavio od geometije S pobema a čije e ešavaje pimejuje MEE evi- ϕu N vaeta eetoda može da bude ava ii ovaa taa ao e adi o papaaeim pobemima fea a e P ao e metod pimejuje a todimeioae pobeme ii taa tooidaa taa u učaju aijao i- metičih itema. Evivaete eetode e meštaju po povšii povodia pi čemu je poupeči evivaete eetode jeda evivaetom poupeči- O S Pimea MEE. u dea eetode oji oeta evivaeta eetoda amejuje. Sitem ieaih jedačia u ojem u epooate veičie tuje oticaja evivaetih eetoda fomia e i uova da u potecija i tuja oticaja evivaete eetode jedai potecijau odoo tuji oticaja a dea povšie eetode amejeog evivaetom eetodom. Pimea metoda iutovaa je be uticaja a opštot iagaja a pimeu gate uamjee eetode povšie S poivojog obia oja e aai a potecijau ϕ U do je uupa tuja oticaja a eetode. Eetoda e aai u homogeoj edii pecifiče povodoti σ. Povšia povodia amejea je itemom od N feih evivaetih eetoda pi čemu je jihov potecija jeda potecijau eetode U do je tuja oticaja a evivaetih eetoda... N. Zbi tuja oticaja a evivaetih eetoda jeda je uupoj tuji oticaja a eetode odoo N. (3.3.) Poupeči evivaete eetode a e avii od dimeija povšie oju oeta evivaeta eetoda amejuje. Ao je povšia oja e amejuje evivaetom eetodom pavougaoog obia dimeija b d poupeči evivaete eetode odeđuje e pema obacu ([3.]) ( d b).5b < d b ae.5.44( d b).3b < d.5b. (3.3.) b ( d b) < d.3b Ao e adi o maivim eetodama veie dužie oe e mogu ameiti ciidičim povodicima poupečia a e d 4 gde je d šiia ave povšie (tae) oju amejuje ciidiči povodi ([PRLOG 4]). U učaju ovae povšie (tae) ojoj odgovaa ugao α evivaeti poupeči je a e Ri( α ) gde je R poupeči užice a oju e ovaa povšia oaja ([PRLOG 5]). Sitem jedačia od pimee MEE fomia e i uova da je potecija evivaetih eetoda jeda potecijau povodia U 48

64 3. Peged oišćeih metoda U N 4πσ δ m aem m m... N (3.3.3) gde je δ m Koeeov imbo. Rešeja itema ieaih jedačia (3.3.3) u uupe tuje oticaja a evivaetih eetoda... N. Nao odeđivaja tuja oticaja evivaetih eetoda moguće je poačuati i otae veičie od iteea. ao e veto eetičog poja u ooii pomatae eetode odeđuje a oovu iaa (..7). 3.4 LERAURA [3.] R. F. Haigto Fied Computatio by Momet Method he Macmia Compay New Yo 969. [3.] G. Faiweathe G A. Kaageoghi "he method of fudameta outio fo eiptic bouday vaue pobem" Advace i Computatioa Mathematic Vo pp [3.3] M. N. O. Sadiu Numeica echique i Eectomagetic Secod Editio CRC Pe Boca Rato-Lodo-New Yo-Wahigto D.C. Chapte 4 5. [3.4] R. Mita (Ed.) Compute echique fo Eectomagetic Pegamo Pe Oxfod-New Yo-ooto-Sidey-Bauchweig 973 pp 5-3. [3.5] C. Baai Advaced Egieeig Eectomagetic Joh Wiey & So New Yo-Chichete-Bibae-ooto-Sigapoe 989 pp [3.6] R. C. Botto J. Computatioa Method fo Eectomagetic ad Micowave Joh Wiey & So c. New Yo-Chichete-Bibae-ooto-Sigapoe 99 pp 3-9. [3.7] H. Uhma (Ed.) D. M. Veičović K. Badiy R.D. Statcheva H. Baue Fudameta of Mode Eectomagetic fo Egieeig-extboo fo Gaduate Studet Pat : Static ad Statioay Eectica ad Magetic Fied echica Uiveity meau/gemay 5 pp [3.8] D. M. Veičović Eetomagetia-Pva Svea idaje Eetoi fautet u Nišu 999 t [3.9] D. M. Veičović "Numeiči i pibiži metodi a ešavaje pobema eetotatie" Jugooveo avetovaje o tatičom eeticitetu ELEKROSAKA 78 Otoba 978 Beogad Zboi adova t. -4. [3.] В. А. Говорков Электрические и Магнитние полей Енергиа 68 Москва. [3.]. N. Giao M. P. Sama "Effect of two aye eath o the eectic fied ea HVDC eectode" Vo. PAS 9 No [3.] D. M. Veičović "Equivaet eectode method" Scietific Review Begade 996 pp [3.3] D. M. Veičović "he equivaet eectode method" 34. t. Sympoium heoetiche Eetotechi 6-3. Oct. 98 meau DDR Poc. Vo. pp 5-8. [3.4] D. M. Veičović "Equivaet eectode method appicatio i ootatioa fied theoy" Fouth t. Symp. of Appied Eectotatic ПEC 96 Niš Yugoavia May Poc. of Pape pp

65

66 4. UZEMLJVAČK SSEM U HOMOGENOJ ZEMLJ U ovom deu teta pimeom aičitih metoda opiaih u Pogavju 3 aaiiao je eoio aateitičih tipova uemjivačih eetoda i itema mešteih u emji tetiaoj ao poupovoda homogea iotopa edia poatih paametaa. všeo je upoeđivaje eutatda dobijeih pimeom aičitih metoda pi čemu u toom pocea amatae i efeete vedoti i iteatue oja je adidatu bia dotupa. Na taj ači u ad je patičo ujučea veifiacija metoda aije oišćeih a aaiu uemjivačih itema u ooii ehomogeoti ciidičog i poufeičog tipa. Pi tome je pimea metoda objašjea a vai pojediači pobem u iotavjaje geeaih amataja veaih a pocedue poaoob. Oa u u mei u ojoj pedmet itaživaja to ahteva iožea u Pogavju USAMLJENA PRAVA LNEČNA ELEKRODA Pomata e uamjea pava ieiča eetoda dužie i poupečia popečog peea a ( a << ) meštea u homogeoj emji poatih eetičih paametaa σ ε εε i μ μ ( σ 'pecifiča povodot ε εε- dieetiča otata i μ μ - mageta poputjivot) S. 4.. Eetoda je peo ioovaog emjovodog povodia apajaa iofevetom tujom jačie g. Oa povodia i odgovaajući ot obeežei u a. Rapodea ogitudiae tuje duž oe povodia oačea je a (). Na oovu toeme ia u avom poupovodom ogedau evivaeti item a odeđivaje tutue eetomagetog poja u ooii eetode ujučuje i odgovaajući i ieičog povodia a apodeom ogitudiae tuje R () gde je R oeficijet efeije defiia iaom (..38). Kao e adi o vaitacioaom ežimu i ao je σ može e be ačaje geše matati da je R. Otai paameti veai a poožaj eetode i pidužeog oodiatog itema mogu e uočiti a S. 4.. Potecija u ooii eetode (tača P defiiaa vetoom poožaja a S. 4.) može e iaiti ao g ( ) R ϕ( ) x x πσ d. (4..) 4 ˆ πσ 4 U pethodom iau je oeficijet efeije defiia jedačiom (..38). Kada e pimei pacijaa itegacija i ioite čijeice da je emjovodi povodi ioova (ema tuje oticaja) tj. da je ( ) g da je R (odoo R ) i ao e mata da je povodi dovojo taa ( a << ) pa je tuja oticaja a jegovim ajevima jedaa ui ia a potecija dobija fomu R ϕ( ) ot ( ) d ot ( ) d (4..) 4πσ 4πσ gde je ot ( ) ( ) poduža gutia tuje oticaja. Nadaje će e podaumevati da u σ ε i μ pecifiča povodot dieetiča otata i mageta poputjivot epetivo. 5

67 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta S Uamjea pava ieiča eetoda. 4.. Kotata tuja oticaja- Metod podešavaja u tačama (Poit Matchig Method) Ao e petpotavi da je gutia tuje oticaja a povšie eetode otata ) / cot jedačia (4..) dobija obi ot ( g g ϕ( ) d. (4..3) 4πσ Pimeom metoda podešavaja u tačama (Poit Matchig Method-PMM ([4.])) vedot potecijaa ϕ U podešava e u tači a edii ivodice ieičog povodia / i fomia e jedačia g U d 4 πσ (4..4) / a oovu oje je moguće odediti impedau ieiče eetode ao Z g U d g 4 πσ. (4..5) / Za odeđivaje itegaa u iau (4..3) od iteea je da e atojaja i i iae ao Pimejuje e "teoija ogaitamih potecijaa" ao ači da e ibege iguaitet ada e ačua potecija oji tvaa tuja oticaja a eemeta povodia u tači oja pipada tom eemetu. ača podešavaja tada e pomea a povšiu povodia. Ovaj pitup oiti e i adaje u adu ada e vedot potecijaa podešava u pojediim tačama a povšii povodia. 5

68 4. Uemjivači itemi u homogeoj emji A ˆ A ( A ) ˆ A A i (4..6a) A ˆ A' ( A' ) ˆ B B. (4..6b) pethodih jedačia je A A A ( A ) ˆ B A i B ( A ) ˆ pa e itega i (4..3) vodi a ešavaje itegaa opiao u PRLOGU 6 a m. 4.. Kotata tuja oticaja- Metod edjih potecijaa Ao e mata da je tuja oticaja otata podešavajem vedoti potecijaa u N tačaa a povšii povodia oje u defiiae pomoću vedoti oodiate * Δ Δ... N (4..7) N N i a vau od ovih tačaa odedi impedaa uemjivače eetode pomoću potupa opiaog u 4.. a jeu edju vedot dobija e N Z g d N 4πσ. (4..8) Metod edjih potecijaa (metod Howe) ([4.]) aova je a ideji da e fucija potecijaa adata iaom (4..) "oedji" po povšii eetode pa e a taj ači a edju vedot potecijaa povšie povodia dobija ϕ ϕ( a eetodi) d ot ( ) d d. (4..9) 4πσ Ao e mata da je tuja oticaja otata ( ot g ) a edju vedot impedae eetode a S. 4. dobija e ϕ Z g d d. (4..) g 4πσ Kada e u jedačiu (4..8) tavi da je N Δ i N o dobija fomu iaa (4..) što ači da e apavo adi pimei metoda edjih potecijaa u oačom boju tačaa Metod odečaa Pimeom metoda odečaa ([4.3]) ieiči povodi dei e avomeo a oača boj odečaa N. Pi tome je dužia vaog odeča Δ N do je uupa tuja oticaja a vaog odeča... N. Podešavajem vedoti potecijaa u N tačaa a povšii odečaa (.5) * Δ... N fomia e item jedačia U. (4..) 4πσ... N N d Δ Δ Rešeje itema jedačia (4..) u uupe tuje oticaja po egmetima e impedaa uemjivače eetode odeđuje ao Z g U g U N... N. do. (4..) 53

69 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta 4..4 Poioma apoimacija tuje Veoma četo e apodea ogitudiae tuje petpotavja u obiu poioma ([4.4]) M m ( ) m. (4..3) m Smeom pethodog iaa u jedačiu (4..) u pimeu pocedue pacijae itegacije i uove R i dobija e M m m ϕ( ) m d. (4..4) 4πσ m i oom fomiaja jedačie (4..4) ioišćee u i jedaoti M m M ( ) m ot ( ) m i ( ) m. m m Kada e atojaja i i iae pomoću iaa (4..6) itega i (4..4) dobija fomu itegaa čije je ešeje dato u PRLOGU 6. Očigedo je da je uupa boj epoatih oeficijeata M oii je i boj jedačia eophodih a jihovo odeđivaje. Jeda jedačia dieto poiiai i uova a tuju oticaja a aju povodia ([PRLOG 7]) ( ) a ( ). (4..5) Pi tome e a tae povodie pethodi uov može be veie geše veti a uov ute tuje a aju povodia tj. ( ). (4..6) Otaih M jedačia fomiaju e podešavajem vedoti potecijaa datog iaom (4..4) u tačama a povšii povodia defiiaih oodiatama S... M. (4..7) M Kao je ( ) A a impedau eetode dobija e 54 g U U Z g R j X g g. (4..8) 4..5 Numeiči eutati U abei 4. date u vedoti otpooti uamjee ieiče eetode a S. 4. dobijei pimeom metoda opiaih u pethodom tetu a aičite vedoti uga θ. Pi tome je σ.s/m ε m h.7 m i a 5mm do je fevecija pobude f 5H. abee 4. piožee u ciju veifiacije metoda oji će adaje biti oišćei uočava e adovojavajuće agaje dobijeih eutata. U PRLOGU 3 objašjeo je da a avedeu feveciju eataa eetode ima veoma mau vedot u odou a eitau pa je to aog što u u abei piaae vedoti amo a otpoot eetode. U abei 4. upoeđee u vedoti impedae i efeece [4.5] 3 a vedotima dobijeim pimeom pocedue i odeja 4.. ada je petpotavjea otata tuja oticaja a eetode. Pi tome paameti imaju ite vedoti ao i u [4.5] σ 5 ms/m ε 4.5m h m i o a 7mm. Kao i u pomeutoj efeeci amataa je hoiotaa ( θ ) i vetiaa ( θ 9 ) eetoda. ovde e ao i u učaju vedoti u abei 4. može agedati adovojavajuće agaje dobijeih vedoti. 3 Za oveiju paametaa i [4.5] od ačaja je bia apiacija a ajta g

70 4. Uemjivači itemi u homogeoj emji Koačo a S. 4. piaaa je aviot otpooti povodia a S. 4. u fuciji uga θ ada u pimejee pocedue opiae u odejcima 4... a vedoti paametaa σ. S/m ε m h.7 m i a 5mm do je fevecija pobude f 5H. abea 4.-Poeđeje otpooti eetode a S. 4. odeđee pimeom aičitih metoda a σ.s/m ε m h.7 m a 5mm i f 5H i aičite vedoti uga θ. PRMENJEN MEOD o o θ θ 3 θ 45 θ 6 θ 9 R [ ] R [ ] R [ ] R [ ] R [ ] g Ω Kotata tuja oticaja Metod edjih potecijaa Metod odečaa g Ω g Ω o g Ω o g Ω N N N N Poioma apoimacija M tuje 4 M abea 4.-Poeđeje otpooti eetode a S. 4. odeđee pimeom pocedue i 4.. a vedotima i [4.5] a σ 5mS/m ε 4.5m h m i a 7mm. Z [ Ω] ωε Hoiotaa eetoda ( θ ) o Vetiaa eetoda ( θ 9 ) / σ Kotata Kotata Ref. [4.5] Ref. [4.5] tuja oticaja tuja oticaja 34 j 7 j 6 j 85 j. 55 j j67 54 j55 58 j j333 6 j357 7 j37 5 j35 g R g [Ω] otata tuja oticaja Metod edjih potecijaa N 3 Metod ode~aa N3 Poioma apoimacija M3 6 6 σ.s/m ε m h.7m a5 mm 58 θ [ o ] S Otpoot eetode a S. 4. dobijea pimeom aičitih metoda u fuciji uga θ a σ. S/m ε m h.7 m a 5mm i f 5H. 4 oišće je uov a tuju oticaja a aju povodia dat iaom (4..5). 55

71 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta 4. PRSENASA UZEMLJVAČKA ELEKRODA-UZEMLJVAČK SSEM SUBA U [4.6] i [4.7] aaiia je uemjivači item tuba (S. 4.3) i odeđea jegova uupa otpoot. Ovi eutati upoeđei u a otpoošću itema odeđeom u oišćeje petpotave da je tuja oticaja a obuča odoo oaijaog povodia otata. Ova petpotava je opavdaa ao je aemae uticaj emjovodog povodia ao što je to i učijeo u [4.6] i [4.7] je potoji očigeda imetija pomataog uemjivačog itema. Uemjivači item tuba detajije je amata u Petom pogavju gde je poed uticaja emjovodog po- S Uemjivači item tuba. vodia amata i uticaj temeja tuba ao ciidiče ehomogeoti ta a aateitie uemjeja do je tuja duž povodia petpotavjea u obiu poioma višeg eda. U ovom deu ada uemjivači item a S. 4.3 je bog poeđeja aaiia u ite petpotave i a ite vedoti paametaa ao u [4.6] i [4.7]. o ujučuje i potpuo aemaivaje dieetičih aateitia ooie tao da je u ovom učaju u poaču ujučea amo pecifiča povodot homogee emje σ. Uemjivači item atoji e od oaijaog povodia ojim je modeovaa amatua temeja tuba () i pteate eetode (). Sitem e apaja iofevetom tujom jačie g peo ioovaog emjovodog povodia. Poupeči obuča oače je a K dubia uopavaja a h dužia oaijaog povodia a do u a a i a oačei evivaeti poupeči tae od oje je ačije pte odoo poupeči oaijaog povodia epetivo. Zemja e tetia ao homogea edia poatih paametaa σ ε εε i μ μ. Potecija u ooii uemjivačog itema (tača defiiaa vetoom poožaja ) u petpotavu da je tuja oticaja duž povodia otata ima obi ϕ( ) d d (4..) 4πσ i 4πσob i gde u i uupe tuje oticaja a oaijaog povodia i obuča epetivo. Pi tome je ipuje uov g. U pethodom iau ob K π je obim pteate eetode do u a i i (ičo ao i u 4...) obeežea atojaja tujog eemeta odoo jegovog ia u avom povodom ogedau od tače u ojoj e odeđuje potecija ( -pavoiiji povodi -obuč). Podešavajem potecijaa (4..) u tačama defiiaim vetoom poožaja ( / ) ˆ (edia povodia) i K yˆ (a obuču) fomia e item jedačia ϕ ( ) U ob. (4..) Rešeje pethodog itema jedačia u uupe tuje oticaja a eetoda i pa je otpoot uemjivačog itema U U R. (4..3) g g 56

72 4. Uemjivači itemi u homogeoj emji 4.. Numeiči eutati Na S. 4.4a piaaa je omaiovaa otpoot uemjivačog itema a S. 4.3 u fuciji poupečia obuča K. Vedoti paametaa u.75m h.7m a 7.5cm a 5mm i σ S/m. Pimejei fato omaiacije * σ iti je ao i oaj oišće u [4.6]. Gafi i [4.6] može e videti a S. 4.4.b oače bojem. Uočava e ivaedo dobo agaje gafia dobijeog poceduom opiaom u pethodom tetu i gafia i [4.6] 5. 5 R g *σ.75m h.7m a 7.5 cm a5mm 5 K [m] a) b) S a) Otpoot uemjivačog itema a S. 4.3; b) gafi peuet i [4.6]. Vedoti paametaa u.75m h.7m a 7.5 cm a 5mm i σ S/m. 4.3 UZEMLJVAČK SSEM NAČNJEN OD LNEČNH ELEKRODA- ZRAKAS UZEMLJVAČ Pomata e uemjivači item ačije od N P međuobo pojeih ieičih povodia dužie i užog popečog peea poupečia a a <<... N P S Sitem je poože u homogeo to poatih eetičih paametaa σ ε μ μ i peo ioovaog emjovodog povodia apaja iofevetom tujom jačie g. Oe povodia i odgovaajući otovi obeežei u a do u apodee ogitudiae tuje duž povodia oačee a ( )... N P. Zbog iažee ieiče tutue mataće e da je tuja a obodom aju jedaa ui (uov (4..6)). Na oovu teoeme ia u avom poupovodom ogedau ičo ao i u 4.. evivaeti item a odeđivaje tutue eetomagetog poja u ooii eetode ujučuje i odgovaajući i ieičih povodia apodee ogitudiae tuje R ( ) gde je R oeficijet efeije defiia iaom (..38). Kao je σ u vaitacioaoj aaii ao što je ova uvaja e da je R. Sičo ao i u tači 4. u poaču je ujučea amo pecifiča povodot homogee emje σ (be uimaja u obi vedoti a ε ) je je to uov pod ojim u odeđei i efeeti eutati i [4.6] i [4.7] ioišćei a veifiaciju metoda. Aaiom aaogom ooj opiaoj u odeju 4. upepoicijom potecijaa od vaog povodia poaoob i a potecija u ooii pomataog uemjivačog itema dobija N N P R P ϕ( ) πσ ( ) d πσ ( ) d. (4.3.) 4 4 ot 5 Gafi a S. 4.4b dieto je peuet i [4.6] tao da oae i L a S. 4.4b odgovaaju paametima R g σ i K (S. 4.4a.) epetivo. Gafici 3 i 4 a S. 4.4b aaiiai u u aijem tetu. 57

73 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta S Uemjivači item ačije od ieičih eetoda-aati uemjivač. S utacija međuobog uticaja -tog (ivo) i -tog povodia (tača podešavaja). U pethodom iau a ot ( ) ( )... N P obeežea je poduža gutia tuje oticaja a -tog povodia do je σ pecifiča povodot ooog emjišta. Podešavajem vedoti potecijaa u tači P a povšii -tog povodia... N P S defiiaom vetoom poožaja P A ˆ a fomia e item itegaih jedačia ϕ( P ) U 4πσ NP ( ) d a P... N P (4.3.) 6 ao e pomata item ieičih povodia povodi a mešte a deom deu S. 4.6 e igeda "ieičo" da bi iutacija bia jaija. 58

74 4. Uemjivači itemi u homogeoj emji gde je U pijučei apo a uemjivaču do e jego potecijaa ačua u tači P. Ratojaja i data u iaima a A A ˆ ˆ i a A A ˆ ˆ. (4.3.3) Rešeje itema itegaih jedačia (4.3.) u fucije apodee tuja oticaja ot ( ) ( ) (tj. ogitudiaih tuja ( ) ) a povodia uemjivačog itema (... N P ). Kada e epoate apodee ogitudiae tuje tuje petpotave u obiu poioma a epoatim ompeim tujim oeficijetima M ( ) m m... NP (4.3.4) uupa tuja oticaja a povšie -tog povodia je M ( ) ( ) m... NP m m (4.3.5) do je bi vih ovih tuja apavo tuja apajaja uemjivačog itema g tj. g NP [ () ( )]. (4.3.6) U petpotavjeu apodeu ogitudiae tuje u poiomoj fomi (4.3.4.) item itegaih jedačia (4.3.) eše je u ovom deu ada pomoću vaijacioe fomue ([4.9]- [4.4]) odoo metodom podešavaja u tačama ([4.]) Vaijacioa fomua Sadžaj ovog odeja pedtavja eduovau fomu aaie detajije iožee u efeeci [4.9]. Pvi oa u fomiaju vaijacioe fomue a odeđivaje otpooti uemjivačog itema a S. 4.6 je možeje iaa (4.3.) a ) i jegova itegacija u gaicama od do... N P U ( a oovu čega e dobija P [ () ( )] U ( )d ( ) ( ) K( )d d 4πσ N. (4.3.7) U pethodoj jedačii je a K ( ) oačeo jego itegaa. Sumiajem iaa (4.3.7) a vedoti idea do N P fomia e jedačia U N p NP NP [ () ( )] ( ) ( ) K ( )d d 4πσ. (4.3.8) Kao e a oovu (4.3.6) eva taa pethode jedačie može apiati u obiu U g Rg g omiajem (4.3.8) a g dobija e vaijacioa fomua a iačuavaje uupe otpooti uemjivačog itema R g 59

75 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta R g ( 4πσ NP NP * ' * ) ' ( ) K ( )d d (4.3.9) gde u a * ' ( ) ( ) / g i * ' ( ) ( ) / g oačee omiae apodee poduže tuje oticaja. Sada u omiae poiome apodee ogitudiaih tuja (4.3.4) do u apodee tuja oticaja m m M M * m ( ) ( ) / g Am m g m... NP m (4.3.) M m ot ( ) ' ( ) ( ) / g Am... NP. (4.3.) m Na oovu (4.3.) i (4.3.6) a epoate omiae tuje oeficijete A m dobija e jedačia vee NP M A m. (4.3.) m Smeom poiome apodee tuje oticaja (4.3.) u (4.3.9) dobija e vaijacioa fomua a otpoot uemjivačog itema R g NP NP M i M A A W (4.3.3) m i m i m gde je a W i m oače itegai ia W i m i m i m K ( )d 4 πσ d (4.3.4) ecipoča po ideima "" i "" odoo "i" i "m" do oeficijeti A m adovojavaju uov (4.3.) Fomiaje fucioaa Vaijacioi metod a odeđivaje epoatih oeficijeta A m aiva e a tome da e a oovu (4.3.) i (4.3.3) fomia fucioa F obia N P M F R g Am λ (4.3.5) m gde je λ - Lagažov (Lagage) oeficijet. Vaiajem fucioaa F po A m... N P m... M i po λ dobija e item jedačia od N epoatih N U M U NP F A m NP M i A i W i m F λ λ NP M i... NP m... M (4.3.6a) A i (4.3.6b) 6

76 4. Uemjivači itemi u homogeoj emji Rešeje fomiaog itema jedačia (4.3.6) u omiai tuji oeficijeti A m... N P m... M i oeficijet λ. Njihovom meom u (4.3.3) i (4.3.) može e iačuati uupa otpoot uemjivačog itema odoo apodea potecijaa u ooii uemjivača. Otpoot uemjivačog itema može e odediti i a jedotaviji ači. Ao e jedačie date iaom (4.3.6a) edom pomože a A m... N P m... M i dobijei iai abeu po ideima "" i "m" dobija e NP M Rg Am λ Rg λ. (4.3.7) m Na oovu pethodog iaa otpoot uemjivačog itema a S. 4.5 može e odediti peo Lagažovog oeficijeta ao R λ /. (4.3.8) g ače može e poaati da aije opiai metod edjih potecijaa (metod Howe) pedtavja pecijaa učaj vaijacioog metoda. Ova tvdja e ao doauje a oovu amataja iožeog u odeju Ao e uvoji da je tuja oticaja a povšie povodia otata (ogitudiaa tuja je ieaa fucija) odoo da je M... NP jedačie (4.3.6a-b) dobijaju obi NP λ U A W Rg... N P (4.3.9a) N p A g. (4.3.9b) Pethodi iai tafomacijom dobijaju obi N P NP U W K ( )d d... NP (4.3.a) 4πσ N p g (4.3.b) Jedačie date iaom (4.3.a) pedtavjaju apavo pimeu metoda edjeg potecijaa (metod Howe) Metod podešavaja u tačama Zbog veifiacije metoda vaijacije otati otpoot uemjivačog itema a S. 4.5 odeđea je pimeom metoda podešavaja u tačama. Uupa boj epoatih u apodei (4.3.4) je NP N U ( M ). Uov ute tuje a aju vaog od N P povodia daje ito toio ( N P ) jedačia tj. Otaih NP ( )... N P. (4.3.) N U NP M jedačia fomiaju e podešavajem vedoti potecijaa (4.3.) u tačama a povšii povodia defiiaih oodiatama m Sm... NP m... M. (4.3.) M Uupa otpoot uemjivačog itema oačo je NP g U R U. (4.3.3) g 6

77 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta Numeiči eutati Pimeom metoda opiaih u 4.3. i 4.3. odeđea je otpoot aatog uemjivača čija je geometija opiaa u ehičim pepouama ED Sbije [4.6] odoo u adu [4.7]. utacije geometije uemjivača peuete u i [4.6] i piaae a S. 4.7 a-c. Uemjivači item atoji e od temeja tuba tetiaog ao jeda vetiaa eetoda poupečia a 7.5 cm i.75m i itema taatih povodia ( 3 ii 4 povodia) poupečia popečog peea a 5mm. aati uemjivač uopa je a dubii h.7m do je pecifiča otpoot ooog ta σ S/m. ača u ojoj e aai ui omad ada e aati uemjivač atoji od 3 ii 4 povodia aai e a m omaog atojaja od oe tuba [4.7]. Peeeo a uemjivači item a S. 4.5 pomatao uemjeje atoji e od 3 4 ii 5 povodia ada je aati uemjivač ačije od 3 ii 4 eetode epetivo tj. boju povodia aatog uemjivača dodaje e i eetoda oja odgovaa temeju tuba. Na S. 4.8a piaaa je omaiovaa otpoot uemjivačog itema a S. 4.7 u fuciji dužie eetode aatog uemjivača L ada e je o ačije od 3 i 4 povodia. Otpoot je odeđea pomoću vaijacioe fomue pimeom pocedue opiae u 4.3. a otatu tuju oticaja (tepe poiome apoimacije a ogitudiau tuju vih povodia je ). Gafi je ogaiova a iti ači ao i gafi a S. 4.8b peuet i [4.6]. Pimećuje e da potoji odgovaajuće agaje imeđu ivih a S. 4.8a i 4.8b. Pimejei fato omaiacije * σ iti je ao i oaj oišće u [4.6] do paameta a S. 4.8b odgovaa vedoti R g σ a S. 4.8a. Otpoot pomataog uemjivačog itema dobijea pimeom vaijacioe fomue (odeja 4.3.) i metoda podešavaja u tačama (odeja 4.3.) a aičite tepee poiome apa) a 4 aa b)a3aa c)aaa S utacija aatog uemjivača tuba [4.6]. 6

78 4. Uemjivači itemi u homogeoj emji oimacije tuje M (oji je iti a ve povodie ujučujući i temeju eetodu) ada je dužia povodia aatog uemjivača L m piaaa je u abei 4.3. Boj povodia uemjivačog itema (oji ujučuje i temeji povodi) N P uima vedoti 3 4 i 5. Uočava e dobo agaje i očeivao poašaje dobijeih eutata a povećajem tepea poiome apoimacije ogitudiaih tuja. 3 R g *σ 4 3 L[m] a) b) S a) Otpoot uemjivačog itema a S. 4.7; b) gafi peuet i [4.6]. abea 4.3-Poeđeje otpooti uemjivačog itema a S. 4.7 odeđee pimeom metoda podešavaja u tačama (PMM) i vaijacioe fomue (Va. fom) a a 7.5cm.75m a 5mm. h.7m L m i σ S/m. N P R [ Ω ] g M M M 3 PMM Va. Va. Va. PMM PMM fom. fom. fom PROVODNA SFERA SSEM LNEČNH OBRUČA U ovom odeju iožea je aaia uemjivačog itema ačijeog od povode poufee poupečia i dve ocetičo u odou a poufeu potavjee pteate eetode S. 4.9 ([4.5] [4.6]). Ovavi uemjivači itemi u ojima e javja više od jede uže ieiče eetode a oobiu imaju "miiju" fuciju potecijaa a povšii ta u odou a iteme ivedee a amo jedim obučem ([4.6]). Pteate eetode poupečia K i K uopae u a dubiama h odoo h do u poupečici už- σ ε μ σ εε μ μ y 3 g K K a x h S Uemjivači item ačije od povode poufee i itema ieičih obuča. a h x 63

79 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta og popečog peea povodia a i a epetivo ( a a << Kπ K π ). Poufea i pteate eetode apajaju e peo ioovaih emjovodih povodia iofevetim tujama S i epetivo. Ooo to e mata homogeom iotopom i ieaom ediom paametaa σ ε εε i μ μ. ovog puta poaču je ujučea amo pecifiča povodot homogee emje σ je u a taj ači odeđei i efeeti eutati peueti i [4.5]. σ ε μ σ ε μ y m m a θ m h m x m m M 64 S Sitem ieičih obuča ojim e amejuje poufeiča eetoda. Pobem e ešava pod petpotavom da je tuja oticaja a obuča i poufee otata. Na oovu jedačie otiuiteta ([4.7]) iaa a potecija u ooii uamjeog obuča opticaog tacioaom tujom ([PRLOG 8]) i uceivom pimeom vaitacioae teoije iova u avom i feom ([4.8]) povodom ogedau (aaogo ačiu a oji je to uađeo u odeju..) fomia e fucija potecijaa u ooii uemjivačog itema a S Kao e adi o vaitacioaoj aaii ičo ao što je to uađeo i u eim aijim pimeima uvojeo je da je R. Na oovu pethodo ietog potecija u ooii itema a S ima obi ([4.9]) S ϕ N ( ) πσ π σ U pethodom iau je S h K K 4 K π ( ρ ) ( h ) ( ρ ) ( h ) π π K ( ρ ) ( h ) ( ρ ) ( h ) K π K K K K i i ( ρ ) ( h ) ( ρ ) ( h ) K i ( ρ ) ( h ) ( ρ ) ( h ) K K ρ K K K x h y h h ρ K K K h K K K i π.. (4.4.)

80 4. Uemjivači itemi u homogeoj emji Podešavajem vedoti potecijaa datog iaom (4.4.) u po jedoj tači a povšiama poufee i obuča fomia e item od ti jedačie čije u ešeje tuje S i ϕ( x y ) U ϕ( x K a y h Otpoot uemjivačog itema ada je g ) U. (4.4.) R U U g. (4.4.3) Petpotava da u tuje oticaja a obuča otate ada e pomata item a S. 4.9 (a aemaeim uticajem emjovoda) u potpuoti je opavdaa. o međutim ije učaj a itom petpotavom a apodeu tuje oticaja a poufee. ao većia autoa u ešavaju ovog pobema poai od te čijeice u ovom adu je item a S. 4.9 aaiia i u petpotavu da tuja oticaja a poufeiče eetode ije otata. Pi tome je pimeje metod evivaete eetode ([4.] [4.]) tao što je poufea amejea itemom od uupo M ieičih obuča S. 4.. Poupeči pteatih eetoda je m i oe u ocetičo u odou a ou meštee paaeo povšii ta a dubii h S m m... M pi čemu je.5π m coθm h m i θm θm mδθ m m... M. (4.4.4) N Poupeči eetode odeđuje e ao a i( Δθ/ 4) ([PRLOG 5]). Uupa tuja oticaja a vaog od obuča a S. 4. S m m... M je otata. Kada e poufea ovao podei potecija itema a S je π π i K M m K m ϕ( ) m π σ m ( ρ ) ( ) ( ) ( ) m h m ρ m h m π π i K N K. π σ ( ρ K ) ( ) ( ρ K ) ( ) h h U pethodom iau je 4 m 4 m m m... M. mi ( ρ ) ( h ) ( ρ ) ( h ) m m m m (4.4.5) Otae oae ite u ao i u jedačii (4.4.). Na ači iča oom u pethodom učaju podešavajem vedoti potecijaa datog iaom (4.4.) u po jedoj tači a povšiama obuča (uupo M ) fomia e item od uupo M jedačie čije u ešeje tuje m m... M i ϕ( x K a y h ϕ( x m a y h Otpoot uemjivačog itema ada je U Rg m ) U. ) U m... M U M m m. (4.4.6). (4.4.7) 65

81 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta 4.4. Numeiči eutati U abei 4.4 piaaa je otpoot uemjivačog itema a S. 4.9 odeđea pimeom iaa a potecija (4.4.) i (4.4.5) a M. Dobijee vedoti upoeđee u a vedotima peuetim i efeece [4.5] 7. Vedoti paametaa uemjivačog itema u σ.s/m.5m h.5 m h m do u obuči ačijei od FeZ tae 3 4mm čiji je evivaeti poupeči a a 9.7mm odeđe pimeom pocedue opiae u PRLOGU 9. Poupečici pteatih eetoda uimaju aičite vedoti pi ćemu e uočava adovojavajuće agaje dobijeih eutata. abea 4.4-Poeđeje otpooti uemjivačog itema a S. 4.9 odeđee pimeom iaa a potecija (4.4.) (4.4.5) i vedoti peuete i efeece [4.5]. R [ Ω ].7 g K [m] K [m] Ref [4.5] ia (4.4.) ia (4.4.5) ( ϕ/u K 6m.9 K 5m.8 K 4m.6 σ.s/m K 3m.5.5m h.5m h m a a 9.7 mm.4 x[m] S Nomaiovaa apodea potecijaa a povšii ta a item a S. 4.9 a σ. S/m.5m h.5 m h m a a 9.7mm i K 3m a K ao paametom J ot / g [m - ] σ.s/m K 3m K 6m.5m h.5m h m a a 9.7 mm. θ[ ] S Nomaiovaa apodea povšie tuje oticaja a poufeiče eetode a S. 4.9 u fuciji uga θ a σ. S/m.5m h.5 m h m a a 9.7mm 3m i 6m. K K Nomaiovaa apodea potecijaa a povšii ta a K 3m i poupečiom duge eetode K ao paametom pedtavjea je a S. 4.. Vedoti paametaa ite u ao i u učaju abee Maimae vedoti potecijaa aae e ao što e to i očeuje u tačama a povšii ta oje e aae iad obuča. Koačo a S. 4. piaaa je apodea povšie gutie tuje oticaja J ot a itema pteatih eetoda (S. 4.) ojima e amejuje povoda poufea uemjivačog itema 7 U [4.5] amataa je dvooja emja a peueti eutati u odeđei a učaj ada u pecifiče otpooti ojeva Ω m i. Ω m pa e patičo adi o homogeoj emji pecifiče otpooti Ω m odoo pecifiče povodoti. S/m. 66

82 4. Uemjivači itemi u homogeoj emji a S Pi tome je K 3m K 6m do u vedoti otaih paametaa ite ao i vedoti paametaa u učaju S. 4.. Poufea amejea je a uupo M obuča do je povšia tuja oticaja a vae eetode odeđea ao oiči uupe tuje oticaja i povšie obuča tj. m J ot J ot m m... M. (4.4.8) π*a π m 4.5 LERAURA [4.] R. F. Haigto Fied Computatio by Momet Method he Macmia Compay New Yo 969. [4.] D. M. Veičović "Numeiči i pibiži metodi a ešavaje pobema eetotatie" Jugooveo avetovaje o tatičom eeticitetu ELEKROSAKA 78 Otoba 978 Beogad Zboi adova t. -4. [4.3] R. Mita (Ed.) Compute echique fo Eectomagetic Pegamo Pe Oxfod-New Yo-ooto-Sidey-Bauchweig 973 pp 5-3. [4.4] B. Popović "Poyomia Appoximatio of Cuet Aog hi Symmetica Cyidica Dipoe" Poc. EE Vo. 7 No 5 97 pp [4.5]. aahima. Naae R. hibahi "High fequecy chaacteitic of impedace to goud ad fied ditibutio of goud eectode" EEE aactio o Powe Appaatu ad Sytem Vo. No pp [4.6] ehiča pepoua b 9 ZBRKA EHNČKH PREPORUKA ED SRBJE Beogad. [4.7]. Bojović N. Mijušović "Kaateitie pteatih i aatih uemjivača a tubove ademih vodova () V" XV Savetovaje JUKO CGRE Saajevo 979 Ref. 3.. [4.8] P. D. Račić "Atei mode a vaitacioau aaiu uemjivačog itema tuba ehiči iveštaj L-GS-8 Laboatoija a eetiče itaacije i ovetjeje Eetoi fautet Uiveitet u Nišu 7. [4.9] P. D. Račić "Vaijacioa aaia ieičog uemjivačog itema (US)" ehiči iveštaj L-GS- Laboatoija a eetiče itaacije i ovetjeje Eetoi fautet Uiveitet u Nišu 7. [4.] B. D. Popović Z.D. Popović "hi cyidica atea: vaiatioa outio with poyomia cuet Appoximatio" he Radio ad Eectoig Egiee Vo. 3 No pp [4.] B. H. McDoad M. Fiedma A. Wexe "Vaiatioa outio of itega equatio" EEE aactio o Micowave theoy ad techique Vo. M- No pp [4.] J. H. Richmod "O the vaiatioa apect of the Momet Method" EEE aactio o Atea ad Popagatio Vo. 39 No pp [4.3] J. R. Maut "Vaiatioa apect of the eactio i the Method of Momet" EEE aactio o Atea ad Popagatio Vo. 4 No. 994 pp [4.4] J. Gaei "Vaiatioay computed atea impedace ad accuacy of eutig cuet ditibutio" Eectoic Lette Vo. 4 No. 97 pp -4. [4.5] Lj. Geić "Kaateitie pteatih uemjivača" JUNAKO CGRE ef. -7 t [4.6] J. Nahma Uemjeje eutae tače ditibutivih meža Nauča jiga Beogad 98 t

83 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta [4.7] D. M. Veičović Eetomagetia-Pva Svea idaje Eetoi fautet u Nišu 999 t. -3. [4.8] D. M. Veičović i aadici: Z. Ž. Cvetović N. B. Raičević S. S. ić V. L. Javo N. N. Cvetović D. G. Zuić Zbia ešeih ipitih adataa i Eetomagetie deo Eetoi fautet u Nišu Niš t [4.9] P. D. Račić Eetiče itaacije u gadama-uemjeja i uemjivači Moogafija u pipemi Laboatoija a eetiče itaacije i ovetjeje Eetoi fautet Uiveitet u Nišu 8. [4.] D. M. Veičović "Equivaet eectode method" Scietific Review Begade 996 pp [4.] D. M. Veičović "Equivaet eectode method appicatio i ootatioa fied theoy" Fouth t. Symp. of Appied Eectotatic ПEC 96 Niš Yugoavia May Poc. of Pape pp

84 5. UZEMLJVAČK SSEM U PRSUSVU CLNDRČNE POLUPROVODNE NEHOMOGENOS LA U ovom deu ada aaiia je uticaj poupovode ehomogeoti ciidiče geometije a uemjivače iteme. Raog a to je da e jeda boj temeja tubova ivodi u obiu vada fomiaog od eoio aagaih tipih betoih oaijaih eemeata vadate pojašje oove. U edii ovih eemeata aai e otvo u oji e poaže amiao betoi ciidiči tub S. 5..a ([5.] [5.]). Poe iveog vemea item ačije od betoih boova i betoog tuba može e u eetičom miu matati a homogei dome obia vada vadate oove oja odgovaa obiu betoih eemeata i čija je pecifiča povodot σ C. Duž ovavog domea mešte je op vetiaih eetoda amatue poate dužie. ače iao e u pai a efeetu vedot pecifiče otpooti betoa uima 5Ωm oa e četo meja u adu a vemeim uovima i avio od oičie vage može da poate i do eoio totia Ω m ([5.3] [5.4]). Opiai temej e aai u oužeju ooog ta oje pedtavja homogei ieai iotopi dome poate pecifiče otpooti σ. Uticaj temeja tuba a aateitie uemjeja aaiia je pimeom jede jedotave pocedue a modeovaje ciidičog temejog uemjivača tuba vetiaim cevatim uemjivačem ove evivaete geometije (dužie i poupečia popečog peea) tao da e pomatai pobem vodi a pobem evivaetog uemjivačog itema u homogeoj emji ([5.5]). Pimeom ateog modea ([5.6]) fomia je item ieaih jedačia a odeđivaje oeficijeata u poiomoj apodei ogitudiaih tuja. Sitem je a ači aaoga oom oji je pimeje u tači 4.3 eše metodom momeata ([5.7]) ii u eim učajevima fomiajem vaijacioe fomue ([5.8]). bo oetih paametaa oišćeih u aaii oetih uemjivačih itema aova je a vedotima i ([5.9]-[5.3]). 5. PROCEDURA ZA DEFNSANJE PARAMEARA EKVVALENNE UZEMLJVAČKE ELEKRODE ZA SLUČAJ CLNDRČNE POLUPROVODNE NEHOMOGENOS Pomata e amiao-betoi temej tuba S. 5.a ([5.9]). Dubia uopavaja tuba odoo dužia amatue je C betoi temej tetia e ao homogei dome fome vada vadate oove taice b i pecifiče povodoti σ C. Otai paameti geometije temeja mogu e uočiti a S. 5.a. Amatua e apaja iofevetom tujom jačie g. Dieetiče otate ooog ta i betoa iu uete u obi (vaitacioaa aaia). Pvi oa u fomiaju pocedue a odeđivaje evivaetih paametaa vetiaog uemjivača ojim e amejuje ciidiči amiao-betoi temej pedtavja poaču evivaetog poupečia povodia amatue temeja. Petpotavjeo je da je N žičaih povodia užog popečog peea poupečia apoeđeo po užici poupečia a. Evivaeti poupeči povodia ojim e amejuje a opiai ači fomiaa aveata tutua odoo amatua odeđuje a oovu iaa ([PRLOG ]) a a N N / C a. (5..) Nadaje e dome vadatog popečog peea taice b apoimia ciidičim domeom užog popečog peea evivaetog poupečia b b ( ) / 4 ([PRLOG 9]. Na ovaj ači pobem je vede a aaiu vetiaog povodia dužie C i poupečia užog pop- 69

85 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta ečog peea a C mešteog u ciidiču ehomogeot pecifiče povodoti σ C S. 5.b. Do ciida apoimiao je poufeom poupečia jedaog poupečiu ciida b. Specifiča otpoot ooog ta je σ. g S B S x 4 σ 3 y a C α π/n x σ C σ C σc R b a a C J SS C C a N x O N a x b R J σ C b) σ g x C ' e ' ( ) b b a e a) S utacija apoimacije uemjivače eetode temejog uemjivača meštee u betoi temej vadatog popečog peea evivaetom vetiaom eetodom u homogeoj emji. Uoio e uvoji petpotava da je aj vetiaog povodia poufeičog obia može e opavdao matati da je veto gutie tuje omaa a fitivu ciidiču povšiu S C čiji c) 7

86 5. Uemjivači itemi u piutvu ciidiče poupovode ehomogeoti ta 7 je poupeči R i čije je do poufea itog poupečia. Sa S. 5.b jao je da je C ) ( R R R S π π. Kada e jedačia otiuiteta pimei a povšiu a S. 5.b B C S S S S dobija e ) ( d d d d g C B C R JS S J S J S J S J S S S S odoo (5..) R R R R J ˆ ) ( ) ( C g π ) [ C a R. (5..3) Na oovu (5..3) veto eetičog poja odeđuje e ao R R R J R E g ˆ ) ( ) ( C C C C πσ σ ) [ C b a R i (5..4a) R R R J R E g ˆ ) ( ) ( C πσ σ ) [ b R. (5..4b) Potecija povšie eetode ( C a R ) je σ σ πσ ϕ b b a R E R E R E U a R g b b a a C C C C C C C C C C C d d d ) ( (5..5) pa e a otpoot eetode dobija σ σ σ σ π σ σ σ πσ C C C C C C C C C C C C C g g a b a b b a U R. (5..6) Pimea ite pocedue a uamjeu eetodu evivaete dužie C e e K i užog popečog peea poupečia C e e K a a meštee u homogeu emju pecifiče povodoti σ S. 5..c dovodi do iaa a otpoot pomatae eetode πσ πσ C C e e e e ge K a a R. (5..7) U (5..7) a e K obeežea je epoata otata oja e odeđuje i uova da u otpooti date iaima (5..6) i (5..7) jedae. Na ovaj ači a odeđivaje otate e K fomia je ia σ σ σ σ C C C C C e K a b. (5..8) Dae a oovu pethode aaie vetiaa eetoda dužie C i popečog peea poupečia C a u ciidičom domeu a S. 5.b može e ameiti uamjeom vetiaom eetodom evivaete dužie C e e K i poupečia popečog peea C e e K a a mešteom u homogeoj emji pecifiče povodoti σ S. 5.c. Na oovu iaa (5..8) jao je da bi ujučivajem dieetičih otati odoo ompeih pecifičih povodoti betoa i ooe emje u opiau poceduu evivaeti paameti vetiae eetode meštee u betoi temej pedtavjai ompee veičie.

87 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta 5.. Numeiči eutati U pethodom tetu opiaa pocedua u ombiaciji a metodom momeata (tepe poiome apoimacije tuje je M 3 ) pimejea je a vetiau eetodu mešteu uuta temeja obia vada S. 5.a pi čemu u vedoti paametaa a.5 m b.4 m b. m C m.7m i N. Evivaeti poupeči ciida a S. 5.b je b b ( ) / 4.483m do je eivivaeti poupeči itema žičaih povodia a C a N N / a [5.]..8 m. Vedoti paametaa baiae u a podacima peuetim i [5.] [5.9] i R g [Ω] 5 Ωm Ωm 5 Ωm σ. S/m C m a C.8 m b.483 m M3 homogea emja ρ [Ωm] S Pomea otpooti eetode a S. 5. a a.5 m b.4 m b. m C m.7m N b.483m i a C.8 m u fuciji ρ i ao paametom. R [ Ω ] g Ωm 5Ωm ρc 5Ωm (aemae temej) M PMM M M N od Metod odečaa N od N od Pomea otpooti opiaog itema a avedee vedoti paametaa u fuciji pecifiče otpooti ooog ta ρ / σ i pecifičom otpoošću betoa ρc / σc ao paametom pi- oišće je uov a tuju oticaja a aju povodia dat iaom (4..5). 7

88 5. Uemjivači itemi u piutvu ciidiče poupovode ehomogeoti ta aaa je a S. 5.. Otpoot je odeđea a apoimaciju ogitudiae tuje poiomom tećeg tepea (ia (4..3) a M 3 ) do je item itegaih jedačia eše metodom podešavaja u tačama. Na itom gafiu piaaa je i vedot dobijea u učaju ada e iotavi pimea pocedue a modeovaje uticaja betoog temeja a aateitie vetiae temeje eetode. Za ite vedoti paametaa i σ. S/m otpoot uemjivačog itema a S. 5.a odeđea je metodom podešavaja u tačama (poioma apoimacija a ogitudiau tuju tepea M 3 ) i metodom odečaa (boj odečaa N od 3 ) i piaaa u abei 5.. Vedot pecifiče otpooti betoa pi tome uima vedoti 5 i 5 Ω. Sagaje dobijeih eutata u očeivao poašaje fucija a gafiu a S. 5. upućuje a vaidot pocedue pimejee a modeiaje uticaja temeja a aateitie uemjivačih itema. 5. UZEMLJVAČK SSEM SUBA ZVEDEN SA JEDNOM PRSENASOM ELEKRODOM Pedmet aaie je uemjivači item tuba ačije od N vetiaih povodia oji čie amatuu tuba i pteate uemjivače eetode apajae emjovodim povodiom S. 5.3a. Kajje tače vetiaih povodia dužie C i poupečia popečog peea apoeđee u po ugu poupečia a i aae e uuta betoog temeja obia vada vadatog popečog peea taice b i pecifiče povodoti σ C. Sitem je mešte u homogeoj emji pecifiče povodoti σ. a h 4 N x O a 4 g g x σ σ σ C a C x h 4 y 4 g a g x 3 a 4 σ σ a ' 3 x a 3 3 K a 3 b K ' b b a) S a)uemjivači item tuba a jedim pteom; b) evivaeti item dobije poceduom opiaom u 5.. Poupeči obuča uopaog a dubii h je K. Zemjovod ojim je apaja obuč oijetia je oo u odou a temej i ačije je od dva povodia oji e advajaju i be peidaja fomiaju obuč ao što je to piaao a S. 5.3a. Pomoću pocedue opiae u pethodoj tači (5.) item vetiaih eetoda ameje je vetiaom eetodom evivaete dužie K e C i poupečia popečog peea a K e ac gde je K e otata defiiaa iaom (5..8). Na ovaj ači pobem je vede a aaiu uemjivačog itema u homogeoj emji S. b) 73

89 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta 5.3.b. Raia u odou a aaiu i tače 4. je to što je ovde u amataje uet i uticaj emjovodog povodia oji e e mata ioovaim. Vetiaa eetoda (oačea a ) apaja e iofevetom tujom g do e pteata eetoda apaja tujom g peo dva emjovoda povodia (ajediči obeežea a ) oji e pi du advajaju i čie obuč (povodici 3 i 4). Pteata eetoda i emjovod običo u ačijei od FeZ tae pavougaoog popečog peea. U opiaoj aaii taa e mata povodiom užog popečog peea evivaetog poupečia a 3 a4 do e dva emjovoda povodia tetiaju ao jeditvei povodi poupečia a a3. Evivaeti poupeči povodia odeđuje e pimeom pocedue detajo opiae u PRLOGU 9. Povodici e mataju ieičim tj. podaumeva e da u ipujei uovi a << i a 3 << 3. Kao i u pethodim učajevima uvojeo je da je oeficijet efeije R. 5.. Eetiči aa potecija Opšti ia a odeđivaje potecijaa u ooii evivaetog uemjivačog itema a S. 5.3b je obia ([5.4]) ϕ( ) 4πσ g 4πσ g x x 4πσ 4 ( ) K( )d (5..) gde je veto poožaja tače u ojoj e odeđuje potecija. U pethodom iau ( ) 34 u epoate apodee ogitudiaih tuja duž oa povodia do je K( ) oaa a jego itegaa. Sa i oačea u atojaja od eemeta povodia tj. jegovog ia u avom ogedau do tače u ojoj e odeđuje potecija (aaogo i a S. 5.c). Zbog potojeće imetije tuje duž povodia 3 i 4 imaju itu apodeu tj. 3( 3 ) 4 ( 4 ) što važi i a jihove ivode (tuje oticaja) ot ( ) ( ) ( ) 34. Uovi oje tuje duž povodia teba da adovoje poitiču i Kihofovog aoa odoo uova a tuju a aju povodia i dati u edećim iaima ( (5..a) ) ) g ( (5..b) g ) () () () (5..c) ( ) ( ) ( ) i (5..d) 3 ( ) a ( ) (5..e) ( Poedje avedei uov (5..e) već je pomeut u 4..4 i detajije je aaiia u PRLOGU Sitem itegaih jedačia Kada e umu u obi uovi (5..) i a ia a potecija (5..) pimei pacijaa itegacija o dobija ato jedotaviju fomu. Kada e mata da je povšia vae eetode patičo evipotecijaa potecijaa U (što je opavdao u vaitacioaoj aaii) potecija povšie -tog povodia 3 4 u tači povšie defiiaoj vetoom poožaja ima obi 74

90 5. Uemjivači itemi u piutvu ciidiče poupovode ehomogeoti ta 4 ϕ( δ ) U ( ) K( ) ( ) K( )d. (5..3) 4πσ U pethodoj jedačii defiiše poožaj tače P a povšii -tog povodia dužie a a δ oačea je Koeeova deta. Podešavajem vedoti potecijaa u tačama a povšii eetoda pethodi ia dobija fomu itema itegaih jedačia oji a epoate fucije ima apodee tuja duž eetoda ( ) 3 4 oji je eše metodom momeata. Nepoate apodee tuja petpotavjee u u poiomoj fomi m M ( ) m 3 4 (5..4) m gde je M tepe poiome apoimacije tuje duž -tog povodia 3 4. Smeom pethodog iaa u (5..3) item itegaih jedačia potaje item agebaih jedačia čije u epoate tuji oeficijeti m 3 4 m... M 4 M δ K( ) m m m m 4πσU K( )d 4πσU 34. (5..5) U pethodom iau U je oaa a potecija povodia do je U pibiža vedot potecijaa eetoda 3 i 4 a S. 5.b. Uupi boj epoatih u itemu jedačia (5..5) ( M 4 ) majuje e pimeom uova 3( 3 ) 4 ( 4 ) a N ( 3 M ). Kada e ao jedačie ioite ti dodata uova data iaom (5..c/d/e) otata jedačia (uupo N 3 3 M ) fomia e podešavajem vedoti potecijaa u tačama defiiaim vedotima oodiata 3 i i i M M 3. (5..6) tegai oji e javjaju ao oeficijeti u itemu jedačia (5..5) mogu e odgovaajućim meama a ači iča oom i tače 4.. veti a itegae čije je ešavaje opiao u PRLOGU 6. Pi tome je veto poožaja tujog eemeta a deu obuča i h ˆ K (coψi xˆ i ψi yˆ ) gde je ψ i ugaoa oodiata ciidičog oodiatog itema oja defiiše poožaj tujog eemeta a obuču Soptvee i međuobe impedae Kada e uemjivači item atoji od više eetoda od iteea je odediti međuobi uticaj deova uemjivačog itema. Mea tog uticaja u međuobe impedae itema oje e javjaju u itemu jedačia oji defiiše " Z " paamete ([5.5]) U U Z Z g g Z Z g g (5..7) gde u Z i Z optvee a Z i Z međuobe impedae ( Z ij Rij j X ij i j ). " Z " paameti odeđuju e ešavajem itema jedačia (5..7) pi čemu je eophodo uvojiti ved- 75

91 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta oti a potecija vetiae eetode U i potecija itema povodia 3 i 4. Sitem e ešava u dva ežima apajaja imetičom ( U U V ) i atiimetičom ( U U V ). U aijem tetu već je objašjeo da je g () i g (). Kada u ve četii eetode poveae i fomiaju jeditvei uemjivači item uupa impedaa tavog itema odeđuje e meom U U V u (5..7) pa e uupa impedaa uemjivačog itema može odediti ao Z R X /( ). (5..8) g g j g g g U oetom učaju adi e o vaitacioaoj aaii pa u u oviu oetih eutata piaae međuobe i optvee otpooti R ij i j ao i uupa otpoot itema R g Numeiči eutati Na oovu opiae pocedue ivšea je aateiacija uemjivačog itema tuba piaaog a S. 5.3a pi čemu u vedoti paametaa a.5 m b S.4m b. m C m h.7m K.5m x m N b b ( ) / 4.483m do je poupeči popečog peea evivaetog povodia ojim e amejuje amatua temeja a a N N / a.8 m ([5.] [5.9]-[5.3]). aati FeZ povodi od oga je ačije obuč i emjovodi povodici je pavougaoog popečog peea dimeija 3 4 mm a poupeči povodia evivaetog užog popečog peea odeđe poceduom opiaom u PRLOGU 9 je a 3 a4 a / 9.7mm. Vedoti paametaa iabae u a oovu podataa i [5.9]-[5.3]. Soptvee i međuobe otpooti pomataog uemjivačog itema piaae u u abei 5.. Pi tome e pojediačim eetodama mataju vetiaa eetoda ao "pva" i eetodi item fomia od povodia 3 i 4 a S. 5.3b ao "duga" eetoda. Logitudiae tuje petpotavjee u u poiomom obiu (5..4) pi čemu je tepe poiome apoimacije iti a vau tuju M M M 3 M 4 M. Stepe poioma M ao i pecifiča otpoot ooe emje ρ meja vedot do je uvojea pecifiča otpoot betoa ρc 5Ω. Oaom * oačee u vedoti optveih i međuobih otpooti dobijee poceduom opiaom u pvom deu odeja 5. tj. uimajem u obi uticaja betoog temeja. Očigedo je da taj uticaj potoji i da je aočito iaže ada je pitaju otpoot R. ao je u ieaim ediama R R maa aia oja e javja imeđu ova dva oeficijeta poedica je toga što e item itegaih jedačia a potecija (5..3) vođejem a item ieaih agebaih jedačia (5..5) apavo pibižo umeiči ešava. Uupa otpoot pomataog uemjivačog itema u fuciji dubie uopavaja obuča h i pecifičom otpoošću betoa ao paametom piaaa je a S. 5.4a-b. Specifiča otpoot ooog ta je ρ Ωm do je vedot otaih paametaa ita ao i u učaju abee 5.. Otpoot je odeđea pomoću jedačie (5..8) i a tepe poiome apoimacije ogitudiaih tuja M 3. Pi tome je poaču ivše a učaj ada je uet u obi uticaj emjovoda (S 5.4.a) i ada to ije učijeo ( M ) (S. 5.4b). Opadaje uupe otpooti a povećavajem dubie uopavaja ada je u obi uet i emjovodi povodi je očeivao do u učaju aemaivaja jegovog uticaja uupa otpoot uemjivačog itema teži otatoj vedoti. Za ite vedoti paametaa ao a S. 5.4 i dubiu uopavaja obuča h.7 m ([5.]) uupa otpoot uemjivača a S. 5.3a-b odeđea je u fuciji pomee poupečia obuča K i piaaa a S. 5.5a (uticaj emjovoda ujuče u poaču) i S. 5.5b (be uticaja emjovoda M ). 76

92 5. Uemjivači itemi u piutvu ciidiče poupovode ehomogeoti ta Uupa otpoot uemjivača a S. 5.3a u fuciji pecifiče otpooti ta ρ i pecifičom otpoošću betoa ao paametom piaae u a S.5.6a-b ujučujući i učaj homogee emje (aemae temej). Kao i ada e adio o S. 5.5 tepe poiome apodee ogitudiaih tuja je M 3 do je poaču ivše a učaj ada je uet u obi uticaj emjovoda (S 5.6.a) i ada je ovaj uticaj ijuče ( M ) (S. 5.6b). Da bi e itaao uticaj obuča a uupu otpoot uemjivačog itema u abei 5.3 piaae u vedoti otpooti vetiae eetode oja čii deo itema a S. 5.3 a aičite vedoti pecifiče otpooti betoa. Pi tome u otai paameti temeja i eetode iti ao i a S do je poaču ivše pimeom pocedue opiae u tači 5.. Na oovu abee 5.3 i gafia a S očigedo je da piutvo obuča a uupu otpoot itema ačajo majuje otpoot uemjeja ivedeog amo od uamjee vetiae eetode poožee u betoi temej. ged gafia piaaih a S avodi a ajuča da je uticaj temeja a uupu otpoot uemjivača utoio iažeiji uoio je maja dužia povodia oji u vetiau eetodu fomiaju uemjivači item. S duge tae ujučivaje emjovodog povodia potpomaže taj uticaj ai itovemeo i povećava dužiu povodia pomataog uemjivačog itema. Za dovojo veie poupečie obuča uticaj emjovoda a uupu otpoot itema potaje veoma mai je u obuči ti oji oe pevagu u uupoj otpooti uemjivača. Geeao uevši ovaj uticaj a uupu otpoot uemjivačog itema ije iuviše domiata što je poebo uočjivo a gaficima piaaim a S Na S. 5.7 piaae u optvee i međuobe otpooti uemjivačog itema a S. 5.3.a u fuciji pecifiče otpooti ta ρ i pecifičom otpoošću betoa ao paametom pi čemu je uticaj emjovodog povodia uet u obi. Na itoj ici aae e i gafici pomee optveih međuobih i uupe otpooti ada je aemae uticaj temeja (homogea emja). Stepe poiome apodee ogitudiaih tuja je iti a ve povodie M 3. Kao što e i očeuje uticaj temeja je poebo piuta ada e odeđuje optvea otpoot R do je od otaih oeficijeata iaže u ato majoj mei. abea 5. - Soptvee i međuobe otpooti uemjivačog itema a S. 5.3 ada je a.5 m b S.4m b. m C m h.7 m K.5m x m b.483m N a a a / 9.7 mm i a.8 m. 3 4 ρ Ω m M R [ Ω ] * R [ Ω] R [ Ω ] * R [ Ω] R [ Ω ] * R [ Ω] R [ Ω ] * R [ Ω] ρ Ω m M R [ Ω ] R * [ Ω ] R [ Ω ] R * [ Ω ] R [ Ω ] R * [ Ω ] R [ Ω ] R * [ Ω ] ρ Ω m M R [ Ω ] * R [ Ω] R [ Ω ] * R [ Ω] R [ Ω ] * R [ Ω] R [ Ω ] * R [ Ω]

93 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta R g [Ω] 5 Ωm ρ Ωm C m a.8 m b.483 m x m K.5 m a a mm M3 5 Ωm ρ Ωm ρ Ωm (homogea emja) h [m] (homogea emja) h [m] a) b) S Pomea uupe otpooti uemjivačog itema a S.5.3 a ρ Ωm a.5 m b.4m b. m C m K.5m x m N b.483m a 3 a4 a / 9.7 mm a.8 m i M 3 u fuciji h i ao paametom: a) ada je u obi uet uticaj emjovoda; b) ada je emjovod aemae R g [Ω] 5 Ωm ρ Ωm C m a.8 m b.483 m x m K.5 m a a mm M3 5 Ωm R g [Ω] 5 Ωm ρ Ωm C m a.8 m b.483 m x m h.7 m a a mm M3 ρ Ωm (homogea emja) 8 8 ρ Ωm 5 Ωm (homogea emja) K [m] K [m] a) b) S Pomea uupe otpooti uemjivačog itema a S.5.3 a ρ Ωm a.5 m b S.4m b. m C m h.7 m x m N b.483m a 3 a4 a / 9.7 mm a.8 m i M 3 u fuciji K i ao paametom: a) ada je u obi uet uticaj emjovoda; b) ada je emjovod aemae R g [Ω] 5 Ωm ρ Ωm C m a.8 m b.483 m x m h.7 m a a mm M3 5 Ωm abea Otpoot vetiae uemjivače eetode itema a S. 5.3 ada je a.5 m b.4 m b. m C m b.483m N i a.8 m. R [ ] (a uamjeu vetiau eetodu) g Ω ρ 5Ωm ρ Ωm ρ 5Ωm C C C 78

94 5. Uemjivači itemi u piutvu ciidiče poupovode ehomogeoti ta R g [Ω] homogea emja 5 Ωm Ωm 5 Ωm R g [Ω] homogea emja 5 Ωm Ωm 5 Ωm C m a.8 m b.483 m x m K.5 m h.7 m a a mm M3 ρ [Ωm] ρ [Ωm] a) b) S Pomea uupe otpooti uemjivačog itema a S. 5.3 a S. 5.3 a a.5 m b S.4m. m C m.7 m K.5m x m N b.483m a 3 a4 a / 9.7 mm.8 m 3 ρ i ao paametom: a) ada je u obi uet uticaj emjovoda; b) ada je emjovod aemae. C m a.8 m b.483 m x m K.5 m h.7 m a a mm M3 R [Ω] C m a.8 m b.483 m x m K.5 m h.7 m a a mm M3 5 Ωm Ωm 5 Ωm Homogea emja ρ [Ωm] R [Ω] homogea emja 5 Ωm Ωm 5 Ωm C m a.8 m b.483 m x m K.5 m h.7 m a a mm M3 ρ [Ωm]. R [Ω] homogea emja 5 Ωm Ωm 5 Ωm C m a.8 m b.483 m x m K.5 m h.7 m a a mm M3 ρ. [Ωm] ρ [Ωm] S Pomea optveih i međuobih otpooti uemjivačog itema a S. 5.3 a a.5 m b S.4m b. m C m h.7 m K.5m x m N b.483m a 3 a4 a / 9.7 mm a.8 m i M 3 u fuciji ρ i ao paametom ada je u obi uet uticaj emjovoda. R [Ω] C m a.8 m b.483 m x m K.5 m h.7 m a a mm M3 homogea emja 5 Ωm Ωm 5 Ωm 79

95 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta 5.3 UZEMLJVAČK SSEM SUBA ZVEDEN SA DVE PRSENASE ELEKRODE Pomoću pocedue potpuo aaoge ooj pimejeoj u pethodoj tači a uemjivači item tuba oji ujučuje jeda obuč ivedei u iai a aaiu uemjivačog itema tuba ivedeog a dve pteate eetode S. 5.8a. Dodavaje duge uemjivače eetode a cij ima "miivaje" fucije potecijaa a povšii ta. Dimeije i paameti itema vetiaih eetoda-amatue i temeja idetiči u paametima i tače 5.. Shodo tome a iti ači je pimeom potupa i odeja 5. item amatua-temej ameje evivaetom vetiaom eetodom dužie Ke C i poupečia popečog peea a Ke ac gde je K e otata defiiaa iaom (5..8) S. 5.7b. a N x O g g σ x σ x h a 4 h 4 σ C a C a a 3 K a 7 7 K a 6 6 b b a) g g σ x σ x h 4 h a 4 4 a a a a K 5 7 a 7 7 K a 6 6 b 6 ' b) S a)uemjivači item tuba a dva ptea; b) evivaeti item dobije poceduom opiaom u 5.. 8

96 5. Uemjivači itemi u piutvu ciidiče poupovode ehomogeoti ta Poupečici obuča uopaih a dubiama h i h u K i K epetivo S. 5.8a-b. Uemjivači item ačijava i oi emjovod ojim je apaja obuč () i povodi ojim u poveai obuči (5). Svi povodici ačijei u od FeZ tae i be peidaja u poožei u emju ao što e to vidi a S. 5.8a-b. Evivaeti poupeči tae odeđe je pimeom pocedue i PRLOGA 9 do u (ao i u učaju aaie i tače 5.) povodici i 5 ačijei u od po dva povodia oji e tetiaju ao jeda. Aaogo potupu i 5. važi da je a 3 a4 a6 a7 a / a5 /. Niofeveta tuja apajaja vetiae eetode () je g do je a g oačea iofeveta tuja ojom e apaja item povodia ačije od dva obuča (povodici 346 i 7) emjovoda () i povodia oji paja obuče (5) Eetiči aa potecija Opšti ia a potecija u ooii evivaetog uemjivačog itema a S. 5.8b ima obi idetiča iau a potecija (5..) pi čemu je pomeje amo boj povodia (7 umeto 4) ϕ( ) 4πσ g 4πσ g x x 4πσ 7 ( ) K( )d. (5.3.) Oae u (5.3.) odgovaaju oima (5..) a ito važi i a uov jedaoti ogitudiaih tuja odoo tuja oticaja povodia oji fomiaju obuče 3( 3 ) 4 ( 4 ) 6( 6 ) 7 ( 7 ) 3 ( 3 ) 4 ( 4 ) i 6 ( 6 ) 7 ( 7 ). Uovi oje tuje duž povodia teba da adovoje ada u ( (5.3.a) ) ) g ( (5.3.b) g ) () () () (5.3.c) ( ) ( ) () (5.3.d) 3( ( 5) 6() 7() 7() (5.3.e) ) ( ) ( ) i (5.3.f) 6 ( ) a ( ). (5.3.g) ( 5.3. Sitem itegaih jedačia Pimeom pacijae itegacije a (5.3.) u oišćeje i uova (5.3.) ia a potecija e pojedotavjuje i ima fomu aaogu iau (5..3) 7 ϕ( δ ) U ( ) K( ) ( ) K( )d. (5.3.3) 4πσ Podešavajem vedoti potecijaa u tačama a povšii eetoda pethodi ia tafomiše e u item itegaih jedačia oji a epoate fucije ima apodee tuja duž eetoda )... 7.Nepoate apodee tuja petpotavjee u u poiomoj fomi ( M ( ) m... 7 (5.3.4) m gde je M tepe poiome apoimacije tuje duž -tog povodia Sada item itegaih jedačia potaje item agebaih jedačia čije u epoate tuji oeficijeti m...7 m... M m 8

97 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta 7 M δ K( ) m m m m 4πσU K( )d 4πσU (5.3.5) U pethodom iau U je oaa a potecija povodia do je U pibiža vedot jeditveog potecijaa otaih eetoda uemjivačog itema (-7) S. 5.8b. Uupi boj epoatih 7 oeficijeata je ( M ). Koišćejem uova imetije 3( 3 ) 4 ( 4 ) i 6( 6 ) 7 ( 7 ) ovaj boj e majuje a N 7 ( M ) ( M ) 47 N. Kada e ao jedačie ioite uovi (5.3.c-g) otata jedačia (uupo 5 ) fomia e podešavajem vedoti potecijaa u tačama defiiaim vedotima oodiata 35 6 S i i M i M (5.3.6) "Z " paameti i uupa impedaa itema odeđuju e a ači idetiča oom opiaom u tači Pi tome u i itih aoga ao i u tači 5. odeđee i piaae vedoti optveih međuobih i uupe otpooti itema Numeiči eutati Pitup iože u pethodom tetu pimeje je a aaiu uemjivačog itema a S. 5.8 a vedoti paametaa a.5 m b S.4m b. m C m h.5 m h m K m K m x m N b b ( ) / 4.483m i a a N N / a.8 m ([5.] [5.9]-[5.3]). aati FeZ povodi od oga je ačije obuč i emjovodi povodici je ao i u 5. pavougaoog popečog peea dimeija 3 4 mm a evivaeti poupeči povodia užog popečog peea a 3 a4 a / 9.7mm ([PRLOG 9]). Pimeje je metod podešavaja u tačama do je tepe poiome apoimacije tuje iti a ve povodie M 3. Vedot pecifiče otpooti betoa ρ C oišćea je ao pomejivi paameta. Uupa otpoot uemjivačog itema a S. 5.8a odeđea je a avedee vedoti paametaa u fuciji dubie uopavaja dugog obuča h a ρ Ωm. Dobijei gafici piaai u a S. 5.9a-b. Poaču je ivede a učaj ada je emjovod uet u obi (S. 5.9a) i ada je jegov uticaj aemae tj. M M 3 ( S. 5.9b). Na S. 5. oeficijeti optveih i međuobih otpooti uemjivačog itema a S. 5.8 piaai u u fuciji pomee pecifiče otpooti ta ρ a h m ([5.]) do u vedoti otaih paametaa ite ao i a pethodoj ici do je uticaj emjovoda uet u obi. Reutati dobijei aemaivajem uticaja temeja (homogea emja) taođe u ujučei u S. 5.. u ovom učaju ada dva obuča ajedo a otaim eetodama fomiaju uemjivači item uticaj temeja je ajiažeiji od odeđivaja otpooti R. Uupa otpoot uemjivača a S. 5.8a odeđea je u fuciji poupečia dojeg obuča K a ite vedoti paametaa ao a S. 5. i piaaa a S. 5.. Pi tome je ρ Ωm do je uticaj emjovoda uet u obi (S. 5.a) odoo aemae (S. 5.b). Kao i u učaju uemjivačog itema oji ujučuje jeda obuč (tača 5.) uticaj temeja a uupu otpoot uemjivača utoio je iažeiji uoio je maja dužia povodia oji u vetiau eetodu fomiaju uemjivači item do ujučivaje emjovodog povodia u poaču taj uticaj dovodi do iažaja u većoj (e i u veioj) mei. Za dovojo veie poupečie obuča uticaj emjovoda a uupu otpoot itema potaje aemajiv. 8

98 5. Uemjivači itemi u piutvu ciidiče poupovode ehomogeoti ta..5. R g [Ω] ρ Ωm C m a.8 m b.483 m x m K m K m h.5 m a a 3 a 5 a mm M3..5. R g [Ω] ρ Ωm C m a.8 m b.483 m x m K m K m h.5 m a a 3 a 5 a mm M3 5 Ωm Ωm ρ Ωm (homogea emja) 5 Ωm h [m] a) ρ Ωm (homogea emja) 5 Ωm h [m] b) S Pomea uupe otpooti uemjivačog itema a S. 5.8 a ρ Ωm a.5 m b S.4m b. m C m h.5m K m K m x m N b.483m a 3 a4 a / 9.7 mm a.8 m i M 3 u fuciji h i ao paametom: a) ada je u obi uet uticaj emjovoda; b) ada je emjovod aemae. R [Ω] C m a.8 m b.483 m x m K m K m h.5 m h m a a 3 a 5 a mm M3 5 Ωm Ωm 5 Ωm R [Ω] C m a.8 m b.483 m x m K m K m h.5 m h m a a 3 a 5 a mm M3 Homogea emja ρ [Ωm] homogea emja 5 Ωm Ωm 5 Ωm ρ [Ωm] R C m a.8 m b.483 m x m [Ω] K m K m h.5 m h m a a 3 a 5 a mm M3 R [Ω] homogea emja 5 Ωm Ωm 5 Ωm homogea emja 5 Ωm Ωm 5 Ωm ρ [Ωm] ρ [Ωm] S Pomea optveih i međuobih otpooti uemjivačog itema a S. 5.8 a a.5 m b S.4m b. m C m h.5 m h m m m K K x m N b.483m a 3 a4 a / 9.7 mm a.8 m i M 3 u fuciji ρ i ρ ao paametom. C C m a.8 m b.483 m x m K m K m h.5 m h m a a 3 a 5 a mm M3 83

99 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta 9.5 R g [Ω]. ρ Ωm C m a.8 m b.483 m R 9. x m K m h.5 m h m 9.5 g [Ω] ρ Ωm C m a.8 m b.483 m x 8.5 a a 3 a 5 a mm M3 9. m K m h.5 m h m a a 3 a 5 a mm M Ωm ρ C 5 Ωm 7. 5 Ωm ρ 6. C ρ Ωm Ωm (homogea emja) ρ Ωm K [m] (homogea emja) K [m] a) b) S Pomea uupe otpooti uemjivačog itema a S. 5.8 a ρ Ωm a.5 m b S.4m. m C m.5 m K x N b.483m a 3 a4 a / 9.7 mm.8 m K i ao paametom: a) ada je u obi uet uticaj emjovoda; b) ada je emjovod aemae. R g [Ω] C m a.8 m b.483 m x m K m K m h.7 m h m a a 3 a 5 a mm M3 R g [Ω] C m a.8 m b.483 m x m K m K 3 m h.7 m h m a a 3 a 5 a mm M3 homogea emja 5 Ωm Ωm 5 Ωm ρ [Ωm] a) R g [Ω] C m a.8 m b.483 m x m K m K m h.7 m h m a a 3 a 5 a mm M3 homogea emja 5 Ωm Ωm 5 Ωm ρ. [Ωm] b) R g [Ω] C m a.8 m b.483 m x m K m K 3 m h.7 m h m a a 3 a 5 a mm M3 homogea emja homogea emja 5 Ωm 5 Ωm Ωm Ωm 5 Ωm 5 Ωm ρ. [Ωm] ρ. [Ωm] c) d) S Pomea uupe otpooti uemjivačog itema a S. 5.8 a a.5 m b S.4m b. m C m m x N b.483m a 3 a4 a / 9.7 mm.8 m 3 ρ i ao paametom ada je u obi uet uticaj emjovoda :a) a K K m ; b) a K m 3m K ; c) a K m m ; i d) a m i 3m. K K K 84

100 5. Uemjivači itemi u piutvu ciidiče poupovode ehomogeoti ta Pomea uupe otpooti uemjivačog itema a S. 5.8 u fuciji pomee pecifiče otpooti ta ρ i otpoošču betoa ao paametom piaaa je a S Pi tome je h.7m ([5.]) h uima vedoti m (S. 5.) i m (S. 5.3) i u obi je uet uticaj emjovoda. Poupeči gojeg obuča K je m i m do K uima vedoti m i 3m. Vedoti otaih paametaa ite u ao i a S. 5.. ovde u eaiovai gafici dobijei aemaivajem uticaja temeja (homogea emja). Kao i u učaju uemjivačog itema a jedim pteom S. 5.3 uticaj temeja a uupu otpoot uemjivačog itema ije ačajije piuta. R g [Ω] C m a.8 m b.483 m x m K m K m h.7 m h m a a 3 a 5 a mm M3 homogea emja 5 Ωm Ωm 5 Ωm ρ [Ωm] a) R g [Ω] C m a.8 m b.483 m x m K m K 3 m h.7 m h m a a 3 a 5 a mm M3 homogea emja 5 Ωm Ωm 5 Ωm ρ. [Ωm] b) R g [Ω] C m a.8 m b.483 m x m K m K m h.7 m h m a a 3 a 5 a mm M3 R g [Ω] C m a.8 m b.483 m x m K m K 3 m h.7 m h m a a 3 a 5 a mm M3 homogea emja 5 Ωm Ωm 5 Ωm ρ [Ωm]. c) homogea emja 5 Ωm Ωm 5 Ωm ρ. [Ωm] d) S Pomea uupe otpooti uemjivačog itema a S. 5.8 a a.5 m b S.4m b. m C m h.7 m h m m x N b.483m a 3 a4 a / 9.7 mm a.8 m i M 3 M 3 u fuciji ρ i ao paametom ada je u obi uet uticaj emjovoda :a) a K K m ; b) a K m i 3m K ; c) a K m i m ; i d) a m i 3m. K K K U [5.5] a h oišćea je vedot.5 m do je u [5.] ta vedot.7 m. Kada e dubia uopavaja eće u avedeim gaicama je uticaj a uupu otpoot uemjivačog itema a S. 5.8 ije veii. 85

101 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta 5.4 SSEM LNEČNH PROVODNKA Pimeom vaijacioog metoda biće odeđea otpoot aatog uemjivača čija je geometija opiaa u ehičim pepouama ED Sbije [5.] S ti uemjivači item u ovom adu je već amata pod tačom ai be amataja uticaja temeja. U pocedui iožeoj u ovom deu teta uticaj temeja ujuče je u mode pimeom potupa i tače 5. pošto je je amatua meštea u betoi temej amejea evivaetim vetiaim povodiom. Na taj ači matematiči apaat eophoda a aaiu opiaog uemjivačog itema pimeom modea oji ujučuje uticaj temeja a aateitie uemjeja otaje iti do e aiuju e amo uai paameti eophodi a poaču. a) a 4 aa b) a 3 aa c) a aa S utacija aatog uemjivača tuba [5.] Numeiči eutati Pitup iože u 4.3. poovo je pimeje a ešavaje uemjivačog itema tuba a S. 5.4 (iutacija peueta i [5.]) a vedoti paametaa i [5.]. Ovog puta u ešavaje itema ujučea je i pocedua a odeđivaje uticaja betoog temeja opiaa u 5.. Dimeije i geometija temeja ite u ao i učaju aaia oje čie adžaj odejaa Pomata e dae uemjivači item fomia od vetiae eetode meštee u betoi temej S. 5.b i aatog uemjivača S Pi tome u paameti veai a item temej-amatua (S. 5. a-b) a C 7.5 cm b.4 m b. m i C.75 m (u [5.] ije odeđiva evivaeti poupeči amatue već je avede ao oeta vedot). Evivaeti poupeči ciida je b b ( ) / 4.483m do je evivaeti poupeči taatog povodia od oga je ačije aati uemjivač a 5mm. Dubia uopavaja aatog uemjivača je h.7m a pecifiča otpoot ooog ta ρ / σ Ωm. Dužie povodia taatog uemjivača u L m. ača u ojoj je mešte ui omad ada e aati uemjivač atoji od 3 ii 4 povodia meštea je a m omaog atojaja od oe tuba [5.3]. Otpoot pomataog uemjivačog itema odeđea pimeom vaijacioe fomue (odeja 4.3.) aičite tepee poiome apoimacije tuje M (oji je iti a ve povodie ujučujući i temeju eetodu) piaaa je u abei 5.3. Pi tome pecifiča otpoot betoa 3 S. 5.4 idetiča je S. 4.7 i u ovom pogavju pojavjuje e amo bog ašeg paćeja teta. 86

102 5. Uemjivači itemi u piutvu ciidiče poupovode ehomogeoti ta uima aičite vedoti. Boj povodia uemjivačog itema ujučujući i temeji povodi uima vedot N P U pvom deu tabee piaae u i vedoti dobijee be amataja uticaja betoog temeja tuba ( ρ ) pimeom poiome apoimacije a tuju i pocedue iožee u odeju 5. (pethodo piaae i u abei 4.3). Na S piaae u uupe otpooti uemjivačog itema a S. 5.4a-c epetivo ( N P 54 3) u fuciji dubie uopavaja uog omada h i pecifičom otpoošću betoa u oji je uopaa vetiaa eetoda ρ (S. 5.) ao paametom. Odgovaajuće vedoti paametaa uemjivača a S. 5.4 i betoog temeja a S. 5. u a C 7.5 cm C.75m a 5mm h.7 m ρ m Ω b.4 m b. m i b.483m (S. 5.) do dužia povodia aatog uemjivača L uima vedoti 3 i 5 m. Pimeje je metod momeata pi čemu u tuje duž povodia apoimiae poiomom tećeg tepea ( M 3 ). Na oovu vedoti piaaih u abei 5.3 i gafia a S očigedo je da je uticaj betoog temeja utoio iažeiji uoio je maji boj eetoda aatog uemjivača i uoio u oe aće što je i očeivao je je tada otpoot vetiaog uemjivača domiatija. Sa povećajem boja eetoda oje fomiaju aati uemjivač ao i a povećajem jihove dužie ovaj uticaj potaje ačajo maji. abea 5.3-Poeđeje otpooti uemjivačog itema a S. 5.4 a a C 7.5 cm C.75m a 5mm h.7 m L m ρ Ω m i paamete geometije temeja b S.4m b.m i b.483m (S. 5.). N P R g [ ] ρ M M M 3 PMM Va. Va. Va. PMM PMM fom. fom. fom N P R [ Ω ] M g ρc 5Ωm ρc Ωm ρc 5Ωm ρ N P R [ Ω ] M g ρc 5Ωm ρc Ωm ρc 5Ωm ρ N P R [ Ω ] M 3 g ρc 5Ωm ρc Ωm ρc 5Ωm ρ

103 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta 6 4 R g [Ω] N P 5 ρ Ωm L m C.75 m b.483 m b.4m b. m a C 7.5 cm a 5 mm M3 8 6 R g [Ω] N P 4 ρ Ωm L m C.75 m b.483 m b.4m b. m a C 7.5 cm a 5 mm M3 5 Ωm 4 5 Ωm 8 ρ Ωm (homogea emja) ρ Ωm (homogea emja) Ωm h [m] R g [Ω] ρ Ωm (homogea emja) N P 5 ρ Ωm L3 m C.75 m b.483 m b.4m b. m a C 7.5 cm a 5 mm M3 5 Ωm 5 Ωm h [m] R g [Ω] ρ Ωm (homogea emja) N P 5 ρ Ωm L5 m C.75 m b.483 m b.4m b. m a C 7.5 cm a 5 mm M3 5 Ωm Ωm h [m] S Pomea uupe otpooti uemjivačog itema a S. 5.4a ( N P 5 ) a a C 7.5 cm C.75m a 5 mm h.7 m ρ Ωm i paamete geometije temeja b S.4m b. m i b.483m (S. 5.). 8 5 Ωm h [m] R g [Ω] ρ Ωm (homogea emja) N P 4 ρ Ωm L3 m C.75 m b.483 m b.4m b. m a C 7.5 cm a 5 mm M3 5 Ωm 5 Ωm h [m] R g [Ω] ρ Ωm (homogea emja) N P 4 ρ Ωm L5 m C.75 m b.483 m b.4m b. m a C 7.5 cm a 5 mm M3 5 Ωm Ωm h [m] S Pomea uupe otpooti uemjivačog itema a S. 5.4b ( N P 4 ) a a C 7.5 cm C.75m a 5 mm h.7 m ρ Ωm i paamete geometije temeja b S.4m b. m i b.483m (S. 5.). 88

104 5. Uemjivači itemi u piutvu ciidiče poupovode ehomogeoti ta R g [Ω] 5 Ωm ρ Ωm (homogea emja) 5 Ωm N P 3 ρ Ωm L m C.75 m b.483 m b.4m b. m a C 7.5 cm a 5 mm M3 h [m] R g [Ω] ρ Ωm (homogea emja) N P 3 ρ Ωm L3 m C.75 m b.483 m b.4m b. m a C 7.5 cm a 5 mm M3 5 Ωm 3 5 Ωm h [m] R g [Ω] N P 3 ρ Ωm L5 m C.75 m b.483 m b.4m b. m a C 7.5 cm a 5 mm M3 5 Ωm ρ Ωm (homogea emja) 5 Ωm h [m] S Pomea uupe otpooti uemjivačog itema a S. 5.4c ( N P 3 ) a a C 7.5 cm C.75m a 5 mm h.7m ρ m Ω i paamete geometije temeja b S.4m b. m i b.483m (S. 5.). 89

105 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta 5.5 LERAURA [5.] А.В.Корсунцев К.И.Покровская: "Методика расчёта сопротивлений заземления железобетонньх фундаментов" Ел. станций 968 No.. [5.]. Radojičić Betoe otucije Poveta Niš 98. [5.3] M. Chouteau S. Beauieu A ivetigatio o appicatio of the eectica eitivity tomogaphy method to cocete tuctue Geophyic Lo Agee CA USA Api 5-9 dotupo a: phy.pdf [5.4] J. Ribič J. Podipi "Uemjeje i egativi učici upotebe pocičaih uemjivača u temejima objeata" Web peetacija Kompaije Hemi dotupo a: Defaut.apx [5.5] P. D. Račić "Jeda jedotava mode ciidičog temejog uemjivača tuba" ehiči iveštaj L-GS-4 Laboatoija a eetiče itaacije i ovetjeje Eetoi fautet Uiveitet u Nišu 7. [5.6] B. Popović "Poyomia Appoximatio of Cuet Aog hi Symmetica Cyidica Dipoe" Poc. EE Vo. 7 No 5 97 pp [5.7] R. F. Haigto Fied Computatio by Momet Method he Macmia Compay New Yo 969. [5.8] P. D. Račić "Vaijacioa aaia ieičog uemjivačog itema (US)" ehiči iveštaj L-GS- Laboatoija a eetiče itaacije i ovetjeje Eetoi fautet Uiveitet u Nišu 7. [5.9] Web peetacija fime ELEKROZGRADNJA Bajia Bašta "Amiao betoi motaži temeji EBB-M" dotupo a: EBB-M.htm [5.] ehiča pepoua b 9 ZBRKA EHNČKH PREPORUKA ED SRBJE Beogad. [5.] Lj. Geić "Kaateitie pteatih uemjivača" JUNAKO CGRE Ref. -7 t [5.] J. Nahma Uemjeje eutae tače ditibutivih meža Nauča jiga Beogad 98. [5.3]. Bojović N. Mijušović "Kaateitie pteatih i aatih uemjivača a tubove ademih vodova () V" XV Savetovaje JUKO CGRE Saajevo 979 Ref. 3.. [5.4] P. D. Račić "Atei mode a vaitacioau aaiu uemjivačog itema tuba" ehiči iveštaj L-GS-8 Laboatoija a eetiče itaacije i ovetjeje Eetoi fautet Uiveitet u Nišu 7. [5.5] N. N. Cvetović P. D. Račić "Couped Liea Goudig Sytem: Quaitatioay Atea Mode" XL teatioa Scietific Cofeece o fomatio Commuicatio ad Eegy Sytem ad echoogie - CES 7 Jue Ohid Macedoia Poc. of pape Vo. pp

106 6. UZEMLJVAČK SSEM U PRSUSVU POLUSFERČNE POLUPROVODNE NEHOMOGENOS LA Kao što je već ečeo u pethodom i agaju tačot aaie uemjivačih itema imeñu otaog avii i od toga u ojoj mei je piiom itaživaja amataa ehomogeot ta u jihovoj ooii. Četi u učajevi ada e piute ehomogeoti mogu apoimiati poupovodom ehomogeošću. Pobemi ove vte tao e javjaju u učaju tubog uemjivača pi čemu e temej apoimia poufeičom ehomogeošću ta. Mode opia i aaiia u ovom adu moguće je pimeiti i a odeñivaje uticaja većih upa u emji (baa maje jeeo) ipujeih vodom a uemjivače iteme u jihovoj ooii pi čemu e ovava ueguća u tu mogu matati poufeičim ehomogeotima. U gaičom učaju ada e poufea mata ideao povodom mode e može pimeiti i a aaiu uemjivačih itema u ooii ioa ii eevoaa čije do ima poufeiči obi. U ovom pogavju iožei u eutati dobijei pimeom aičitih metoda opiaih u 3. pogavju ada a uemjivače iteme čije u eetode meštee uuta i/ii iva poufeiče poupovode ehomogeoti pethodo modeovae u tači..3. Poufea je poupečia ačijea od ieaog iotopog i homogeog poupovodog mateijaa poatih eetičih paametaa σ ε εε i µ µ. Ooa edia e taoñe mata ieaim iotopim i homogeim domeom paametaa σ ε εε i µ µ. Pi tome u oišćei iai a eetiči aa potecija fomiai a oovu Giovih fucija a tačati tuji ivo mešte u homogeoj emji odoo uuta ii iva poufeiče ehomogeoti iožeih u tači.. Ove fucije već u avedee u pogavju.3. Kao što je to već objašjeo u uvodom deu iao u početi eutati itaživaja veaih a ovaj ad dobijei pimeom modea "Veičović" eutati peetovai u ovom pogavju dobijei u aaiom ojom je uticaj poupovode poufeiče ehomogeoti a tačati tuji ivo opia modeom "Račić" avijeim toom itaživaja. U PRLOGU 3 objašjeo je da je uticaj vedoti dieetiče otate ta a aateitie uemjivačih itema aemajiv (imagiai deo ompee pecifiče povodoti je veoma mai u odou a eau pecifiču povodot). o je i aog što u u ovoj tači peetovai ao ačaji amo eutati oji e odoe a eai deo potecijaa i impedae uemjivačih itema. 6. USAMLJEN LNEČN PROVODNK Pomata e uamjea ieiča eetoda meštea u ooii poupovode poufeiče ehomogeoti S. 6. ([6.]). Eetoda je dužie poupečia popečog peea a a << i aai e a dubii h od povšie ta. Ratojaje x i ugao θ a S. 6. defiišu poožaj eetode u odou a poufeiču ehomogeot. Kao što je to već objašjeo u tači.3. eetiči aa potecija u ooii eetode u tačama iva (S. 6.a) i uuta ehomogeoti (S. 6.b) odeñuje e a oovu iaa ϕ ( ) d ( ) G( ) > i (6..) 9

107 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta ϕ ( ) d ( ) G( ) <. (6..) pi čemu idei u oaama a potecija odgovaaju domeu u ojem e potecija odeñuje (""'- fea ""-ooa edia). Giove fucije u pethodim iaima odeñuju e a oovu jedačia (.3.6) i ( ) G ϕ ( ) R 4πσ G R 4πσ i R ϕ ( ) R R 4πσ R R R i 4πσ i R R R co α co αi R i co α co αi i > i (6..3) <. (6..4) σ ε µ σ ε µ σ ε µ y x ' g h M x σ ε µ σ ε µ σ ε µ y ' x M g h a x θ a θ a) b) S Uamjea ieiča eetoda iva poufeiče poupovode ehomogeoti: a) tača u ojoj e odeñuje potecija je iva ehomogeoti; b) tača u ojoj e odeñuje potecija je uuta ehomogeoti. σ ε µ σ ε µ g ' M x σ ε µ σ ε µ g ' M x θ a θ a σ ε µ σ ε µ a) b) S Uamjea ieiča eetoda uuta poufeiče poupovode ehomogeoti: a) tača u ojoj e odeñuje potecija je iva ehomogeoti; b) tača u ojoj e odeñuje potecija je uuta ehomogeoti. 9

108 6. Uemjivači itemi u piutvu poufeiče poupovode ehomogeoti ta σ ε µ y g σ ε µ θ M σ ε µ σ ε µ y g θ M σ ε µ a σ ε µ a a) b) S Uamjea ieiča eetoda oja podie poufeiču poupovodu ehomogeot: a) tača u ojoj e odeñuje potecija je iva ehomogeoti; b) tača u ojoj e odeñuje potecija je uuta ehomogeoti. Na iča ači iai a potecija u ooii uamjee ieiče eetode dužie i poupečia popečog peea a a << meštee uuta poupovode ehomogeoti a početom u jeom cetu u tačama va (S. 6.a) i uuta (S. 6.b) poufeiče ehomogeoti imaju obi ϕ ( ) d ( ) G ( ) ϕ ( ) d ( ) G ( ) > i (6..5) <. (6..6) Pi tome u Giove fucije fomiae a oovu (.3.6) i ( ) R ϕ ( ) R co α G ( ) R 4πσ G ϕ ( ) R R 4πσ R 4πσ ( ) 4πσ i R R i i R R R R co αi R R i co αi coα i > i (6..7) <. (6..8) Koačo ao e pomata ieiča eetoda oja podie ehomogeot čiji u poožaj i dimeije piaai a S. 6.3 potecija u jeoj ooii može e iaiti ao ϕ ( ) d ( ) G( ) d ( ) G ( ) > i (6..9) ϕ ( ) ) d ( ) G( ) d ( ) G ( > (6..) gde je dužia dea eetode oji e aai iva ehomogeoti do je dužia dea eetode mešteog uuta poufee. 93

109 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta Giove fucije u (6..9)-(6..) pethodo u date jedačiama (6..3)-(6..4) i (6..7)- (6..8). U (6..)-(6..) i (6..9)-(6..) a d ( ) ot ( ) d oačea je uupa tuja oticaja a dea ieiče eetode d pi cemu je ( ) ( ) poduža gutia tuje oticaja ot a ieiče eetode do je () ogitudiaa tuja duž oe povodia. Sa σ σ j ωε obeežee u ompee pecifiče povodoti domea do u otae oae veae a geometiju amataih pobema već pethodo defiiae u odeju..3. aoñe oeficijeti efeije ao u aijem iagaju R R i tamiije u pethodim iaima defiiai u σ σ R. (6..) σ σ Kao e adi o vaitacioaoj aaii ao i u pethodim učajevima u oetim iačuavajima je uvojeo da je R i i. 6.. Odeñivaje impedae i aateiacija uamjee ieiče eetode 6... Metod odečaa Pocedua iožea u ovom tetu aaoga je ooj i odeja Lieiči povodi dei e a N jedaih odečaa dužie / N. Podešavajem vedoti potecijaa u N tačaa a edii odečaa (.5) *... N (defiiaih vetoima poožaja... N ) fomia e item jedačia ϕ U N G( )d (6..) U pethodom iau i pedtavjaju dužiu i uupu tuju oticaja a -tog odeča...n do je G ( ) jeda od Giovih fucija adatih iaima (6..3)-(6..4) i (6..7)- (6..8). bo Giove fucije avii od tipa aaiiae uemjivače eetode. Rešeje fomiaog itema jedačia (6..) u uupe tuje oticaja po egmetima... N. mpedaa uemjivača odeñuje e a oovu iaa gde je uupa tuja oja utiče u povodi. Nao što e odedi pibiža apodea poduže gutie tuje oticaja a povodia ao N Z g Rg j X g U g U (6..3) N g ( ) ( ) a -tom odeču... N ot ot... N (6..4) može e odediti i pibiža apodea ogitudiae tuje (). Ao e a i oače početa i ajja tača -tog egmeta defiiaog a dužie ( )...N ogitudiaa tuja a -tom odeču ( )... N je ( ) U dajem tetu biće pimeje amo mode "Račić" pa će ide "R" u oaama a Giove fucije biti iotavje. 94

110 6. Uemjivači itemi u piutvu poufeiče poupovode ehomogeoti ta ( ) ( ) ( )... N i (6..5a) (. (6..5b) ( ) ) de je u oaci ogitudiae tuje tavje u agadu da bi e aiovao od idea ojim u oačee uupe tuje oticaja a vaom od egmeata poaoob... N Poioma apodea ogitudiae tuje-metod podešavaja u tačama Kao i u učaju uamjee ieiče eetode u homogeoj emji odeja 4..4 apodea tuje petpotavja e u fomi poioma M-tog tepea g m M ( ) m (6..6) m gde je dužia pomatae eetode ( ii a eetodu a S. 6.3). Od uupo M jedačia eophodih a odeñivaje epoatih oeficijeata m m... M jeda e fomia i uova ute tuje a aju povodia ( ) (6..7) do e otaih M jedačia fomia podešavajem vedoti potecijaa u tačama a povšii povodia defiiaih oodiatama Kada u poati oeficijeti m a impedau eetode dobija e do je apodea tuje oticaja S M... M. (6..8) m... M dobijei ešavajem fomiaog itema jedačia U U U Z g R j X g g (6..9) ( ) g m M m ( ) ( m... M. (6..) m ot ) 6.. Numeiči eutati 6... Lieiča eetoda iva poupovode ehomogeoti Kaateiacija uamjee ieiče eetode a S. 6. ivšea je pimeom metoda odečaa (tača 6...). U ciju veifiacije metoda dobijei eutati upoeñei u a eutatima aaie uamjee eetode u homogeoj odoo etoaoj emji. Na S. 6.4 piaaa je pomea otpooti uemjivače eetode a S. 6. u fuciji atojaja od ceta ehomogeoti x i upoeñea a otpoošću eetode uopae u homogeu emju ( σ σ ) (odeja 4.). Poaču je ivede metodom odečaa (tače 4..3 i 6...) a N egmeata. Pi tome je m m h.7 m θ 45 5 mm σ.s/m ε ε do je odo p σ σ paameta. Sa udajavajem od ehomogeoti otpoot uemjivača teži vedoti otpooti uamjee eetode u homogeoj emji tj. uticaj ehomogeoti e majuje. 95

111 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta R g [Ω] homogea emja p p. m h.7m m a mm θ 45 σ.s/m ε ε N x 34.6 [m] S Otpoot uemjivače eetode a S. 6. u fuciji od x a odoom Pomea otpooti eetode a S. 6. u fuciji vedoti poupečia poufeiče ehomogeoti upoeñea je a vedošću otpooti eetode uopae u etoau emju ([6.] [6.3]) a atojaju x m od ehomogeoti. Otai paameti oji defiišu poožaj eetode u piaai a S Gafici dobijei pimeom metode odečaa (pi čemu je a etoau emju oišće ia a potecija (8..) i PRLOGA ) piaai u a S. 6.5b. Vedoti paametaa u h.7 m θ 45 a 5mm σ.s/m ε i ε do je odo p σ σ. Sa povećajem poupečia otpoot uemjivača teži vedoti otpooti eetode uopae p σ σ ao paametom. u etoau emju a S Na S. 6.7 piaaa je apodea potecijaa duž x -oe u ooii uemjivače eetode a S. 6. a vedoti paametaa m m x.5m a 5mm h.7 m θ 45 σ.s/m i ε ε. Metod odečaa pimeje je a N odečaa do je p paameta oji uima aičite vedoti. Maimum vedoti potecijaa aai e u tačama a povšii ta oje e aae iad eetode što je očeivao poašaje ove apodee. Otpoot ite eetode u fuciji uga θ piaaa je a S. 6.8 do u vedoti otaih paametaa ite ao i a S Rapodea tuje oticaja ot a pomatae eetode piaaa je a S Pi tome je m x m h.7 m θ 45 σ.s/m ε ε m a 5mm i p do je metod odečaa pimeje a N 3 egmeata a apo a povišii eetode U V. Za ite vedoti paametaa odeñea je apodea ogitudiae tuje poceduom i tače 6... ( N 3 odečaa) i u poiomoj fomi (6..6) tećeg tepea ( M 3 ). Ovao odeñee apodee pedtavjee u a S. 6.. Očigedo je da apodea tuje oticaja ima očeivae maimume a ajevima povodia do je ogitudiaa tuja u oba učaja pibižo ieaa fucija. σ ε µ σ ε µ y x - cot g h a x R g [Ω] etoaa emja item a S. 6. h.7m m σ ε µ θ 36 a 5mm θ 45 σ. S/m p ε ε 35 x - m N [m] S Uamjea ieiča eetoda meštea u etoaoj emji. S Otpoot uemjivače eetode a S. 6. u fuciji poupečia i otpoot eetode uopae u etoau emju. 96

112 6. Uemjivači itemi u piutvu poufeiče poupovode ehomogeoti ta.4.3. ϕ/u m x.5m h.7m m θ 45 a 5mm σ.s/m ε ε N. homogea emja p p. x/ S Rapodea potecijaa a povšii ta u ooii uemjivače eetode a S. 6. i odoom p σ ao paametom. σ R g [Ω] m x.5m h.7m m a 5 mm σ.s/m ε ε N homogea emja p p. θ [ ] S Otpoot uemjivače eetode a S. 6. u fuciji uga θ i odoom p σ ao paametom. σ 8. ()/ 6 ot [ma/m] g ia(6..5) 4.8 po. ap. 3. tepea m x.5m h.7m m θ 45.6 a 5mm p σ.s/m ε ε UV N m h.7m m 5mm θ 45 σ. S/m p 4. ε / ε x m N3 / S Rapodea tuje oticaja uemjivače eetode a S. 6.. S Rapodea ogitudiae tuje duž uemjivače eetode a S. 6. odeñea metodom odečaa i poceduom i ϕ/u m.5 m a 5 mm θ 45 σ.s/m ε ε N R g [Ω] 3 m.5 m a 5 mm σ.s/m ε ε N.5 homogea emja p p. homogea emja p p.. x/ S Rapodea potecijaa a povšii ta u ooii uemjivače eetode a S. 6. i odoom p σ ao paametom. σ θ [ ] S Otpoot uemjivače eetode a S. 6. u fuciji uga θ i odoom p σ ao paametom. σ 97

113 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta 6... Lieiča eetoda uuta poupovode ehomogeoti Na S. 6. piaaa je apodea potecijaa u ooii uemjivače eetode a S. 6.. Vedoti paametaa u m θ 45 σ. S/m i ε ε. Dužia povodia je.5m poupeči popečog peea a 5 mm do je pocedua iožea u tači 6... pimejea a N odečaa. Na gafiu e može uočiti iguaa tača a povšii ta u oodiatom početu u ome e aai jeda od ajeva eetode. ao paamet- Otpoot pomatae eetode u fuciji uga θ i a odoom p σ om a ite vedoti otaih paametaa ao a S. 6. piaaa je a S. 6.. σ Lieiča eetoda oja podie poufeiču poupovodu ehomogeot ot [ma/m] m m a 5mmθ 45 σ. S/mε ε UV N N homogea emja p p. /( ) S Rapodea tuje oticaja a eetode a S.6.3 a aičite vedoti paameta p σ. σ Rapodea poduže gutie tuje oticaja ot a uemjivače eetode a S. 6.3 piaaa je a S Pi tome u vedoti paametaa m θ 45 σ. S/m a 5mm ε ε m m Metod odečaa pimeje je a N odečaa a deu povodia va i N odečaa uuta ehomogeoti. Potecija povšie eetode je U V do odo p σ σ uima vedoti. i. 6. UZEMLJVAČK SSEM NAČNJEN OD PO JEDNE LNEČNE ELEKRODE UNUAR ZVAN POLUSFERČNE NEHOMOGENOS Pomata e uemjivači item fomia od dve ieiče eetode jede meštee uuta i duge iva poupovode poufeiče ehomogeoti S. 6.4 ([6.4]). Paameti oji defiišu dimeije i poožaj eetoda ao i paameti edia piaai u odoo oačei a ici i odgovaaju paametima uemjivačih eetoda i tače 6. ada u eetode pomatae ao uamjei povodici meštei iva/uuta poufee. Potecija u ooii ovog uemjivačog itema može e apiati ao ϕ ( ) d ( ) G( ) d ( ) G ( ) > (S. 6.4a) i (6..) ϕ ( ) ) d ( ) G( ) d ( ) G ( ot < (S. 6.4b). (6..) Kao i u pethodoj aaii i tače 6. d ( ) ( ) d pedtavja uupu tuju oticaja a dea ieiče eetode d (ide odgovaa ideu povodia) do je poduža gutia tuje oticaja egativi ivod oigitudiae tuje ( ) ( ). Kada e a ači aaoga pocedui iožeoj u odeju 6.. povodici podee a N (povodi ) odoo N (povodi ) egmeata podešavajem vedoti potecijaa ϕ U ϕ U u N i N tačaa a povodiu i epetivo fomia e item jedačia i ot 98

114 6. Uemjivači itemi u piutvu poufeiče poupovode ehomogeoti ta U N N G( )d G ( ) d m m m U N N G( )d G ( ) d m m m (uupo N jedačia) i.(uupo N jedačia) (6..3a) (6..3b) σ ε µ σ ε µ σ ε µ y ' θ a g a) U jedačiama (6..3a-b) ' h θ a M x σ ε µ σ ε µ σ ε µ y ' θ g M S Uemjivači item ačije od dve ieiče eetode: a) tača u ojoj e odeñuje potecija je iva ehomogeoti; b) tača u ojoj e odeñuje potecija je uuta ehomogeoti. m i m u oae a dužie i odgovaajuće tuje oticaja - tog odeča... N a pvom i m-tog odeča m... N a dugom povodiu eetode. Sa... N i... N oačei u vetoi poožaja tačaa podešavaja a pvom odoo dugom povodiu. Rešeje itema jedačia (6..3) u uupe tuje oticaja po egmetima i m m... N. Uupe tuje oticaja a povodia u g i g m.... N b) a ' N h θ a N x m Kao što je to već objašjeo u odeju 5..3 imeñu apoa eetoda i i uupih tuja oje potiču o jih potoji eacija U Z g Z g (6..4) U Z Z. " Z " paameti oji e javjaju u jedačiama (6..4) odeñuju e ešavajem itema jedačia u imetičom i atiimetičom ežimu apajaja (odeja 5..3). Kada u eetode meñuobo poveae u jeditvei uemjivači item uupa impedaa tavog itema odeñuje e meom U U V u (6..4) pa e uupa impedaa uemjivačog itema može odediti ao g g Z R X /( ). (6..5) g g j g g g 6.. Numeiči eutati Pocedua iožea u pethodom tetu pimejea je a aateiaciju itema a S Na S. 6.5 piaae u eae vedoti " Z " paametaa itema a S. 6.4 u avioti od uga θ. Vedoti paametaa u m h.7 m m.9 m x.5m θ σ.s/m i ε ε do je odo p σ σ paameta. Poupeči popečog peea oba povodia je a a 5 mm do je metod odečaa pimeje a N N odečaa. Uticaj veičie uga θ ajiaitiji je a vedot paameta R do u učaju paameta R patičo e potoji što je i očeivao. 99

115 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta Uupa impedaa aaiiaog itema u fuciji odoa p σ σ i ugom θ ao paametom piaaa je a S Pi tome u vedoti paametaa ite ao oe date a S Za veće vedoti paameta p povodot ooe emje je veia i domiia u tutui otpooti pa poožaj eetode odoo vedot uga θ bitije utiče a uupu otpoot što e uočava a S R [Ω] R [Ω] m m.9m 7. m m.9m x.5m h.7m σ. S/m ε ε θ a a 5mm N N p p p p. p. θ 34 [ ] R [Ω] m m.9m x.5m h.7m σ. S/m ε ε θ a a 5mm N N x.5m h.7m σ. S/m ε ε θ a a 5mm N N p p p p. p. 6. θ 6. [ ] R [Ω] 6.4 p m m.9m 6. p p x p θ 6. [.5m h.7m σ. S/m. p. ] ε ε θ a a 5mmN N θ [ ] S Pomea optveih i meñuobih otpooti uemjivačog itema a S. 6.4 u avioti od uga θ i odoom p σ σ ao paametom. p p p p. p. 4 R g [Ω] 35 θ 9 θ θ 45 θ 3 θ m m.9mx.5m h.7m σ. S/m ε ε θ a a 5mm N N p - - S Pomea uupe otpooti uemjivačog itema a S. 6.4 u avioti od odoa p σ σ i ugom θ ao paametom. ϕ/u x [m] y [m] S Rapodea potecijaa a povšii ta u ooii uemjivačog itema a S. 6.4 a p σ σ θ N N i ite vedoti otaih paametaa ao a S Nomaiovaa apodea potecijaa a povšii ta a θ p σ σ N N i ite vedoti otaih paametaa ao a S piaaa je a S. 6.7 ([6.5]). Pi tome je pote-

116 6. Uemjivači itemi u piutvu poufeiče poupovode ehomogeoti ta cija povšie obe eetode ϕ U. U tačama a povšii ta oje e aae iad povodia aae e maimumi fucije potecijaa. 6.3 USAMLJEN LNEČN OBRUČ U OKOLN NEHOMOGENOS U ovom deu ada ivšea je aateiacija pteate eetode poupečia K poožee a dubiu h ocetičo u odou a poufeiču ehomogeot poupečia S Ooo to (ide "") i poufea ("") mataju e homogeim iotopim i ieaim poupovodim ediama poatih paametaa σ i ε i µ i µ σi σi j ωεi i (pecifiča povodot dieetiča otata mageta poputjivot ompea pecifiča povodot epetivo). ovde je aaia ivšea a vaitacioai ežim. Sičo ao u pimeu i tače 5. obuč e apaja a dva oa povodia oja e mataju jeditveim povodiom oačeim a oji e advaja i fomia obuč (povodici 3 i 4). Mode odgovaa jedom od ačia patiče eaiacije temejog uemjivača pi čemu e povodi (običo FeZ taa ii baao uže) e peida toom iade uemjeja do e temej ovog puta modeuje poufeičim poupovodim domeom. Evivaeti poupeči popečog peea tae a a3 odeñuje e poceduom opiaom u PRLOGU 9 a << 3 π K. Poupeči emjovodog povodia tetiaog ao jeditvea eetoda je a a a <<. Sitem je apaja iofevetom tujom g. Nepoate tuje duž oa povodia oačee u a ( ) [ ] 3 pi čemu je bog potojeće imetije ( ) 3( 3 ). to važi i a poduže gutie tuja oticaja ) ( ) već aije u tači 4. defiiae ao ( ) ( ) ( ) 3. ot h ot ( ot3 3 Rapodee tuja petpotavjee u u obiu poioma pvog tepea ([6.6]- [6.8]) ) ( / ) ] 3 (6.3.) ( gde u i epoati oeficijeti. Kao je ( ) 3( 3 ) važi da je 3 i 3. a a potecija u ooii itema a S. 6.8 fomia e a ači aaoga oom u [6.9] i ima obi ϕ ( ) i g a 3 a 3 a 3 y σ ε µ x S Uemjivača eetoda u ooii poufeiče ehomogeoti. K [ 3 ggi ( xxˆ) ( ) [ Gi ( )] d i (6.3.) σ ε µ σ x ε µ gde u i Ri i oeficijeti tamiije emja/vaduh ( i ) i poufea/vaduh ( i ) dati iaom (..38). Sa G i ( ) i oačee u Giove fucije defiiae iaima (6..3) a i ( ϕ > ) i (6..4) a i ( ϕ < ). Uimajući u obi uov g () i uove oji poitiču i Kihofovog aoa ) () () () ( ) (6.3.3) ( 3 3

117 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta ia a potecija (6.3.) e pimeom pacijae itegacije pojedotavjuje i dobija fomu 3 i( ) ( ) Gi ( ) d ϕ i (6.3.4) gde u ( ) ( ) 3. tegacija u (6.3.4) vši e duž oa povodia do je veto veto poožaja tujog eemeta a oi povodia. Podešavajem vedoti potecijaa (6.3.4) u tačama P a oi -tog povodia fomia e item jedačia U ϕ 3 ( ) Gi ( ) d. (6.3.5) gde je v veto poožaja tače P. Na oovu pethodog iaa uova 3 3 ao i jedačie (6.3.3) odeñuju e epoati oeficijeti u (6.3.). Uupa tuja apajaja je pa je impedaa itema (6.3.6) 3 g Z g Rg j X g U g. (6.3.7) Opiai mode može e pimeiti i a ešavaje pobema povode poufeiče eetode i pteatog uemjivača aaiiaog u odeju 4.4 ada σ ([6.]) Numeiči eutati Pethodo iožeom poceduom odeñea je impedaa uemjivačog itema a S. 6.8 ao i apodea potecijaa u jegovoj ooii. Pomea otpooti uemjivačog itema a dubiom uopavaja h piaaa je a S. 6.9a. Pi tome je uticaj emjovodog povodia aemae a paameta p σ uima aičite vedoti. Vedoti otaih paametaa a S. 6.8 u K m. Popeči pee FeZ tae je užog popečog peea odeñe je poceduom i PRLOGA 9 ao σ σ S/m ε ε i 3 4mm ([6.]) a poupeči evivaetog a a 9.7 mm. 3 Otpoot duboo uopae (uamjee) eetode itih dimeija piaaa je a itom gafiu i odeñea je a oovu iaa a impedau uamjee eetode ada je ooa edia poupovoda ompee povodoti σ ([6.]) ( 8K a ) π σ K Z g 4. (6.3.8) Kao što e i očeuje a poatom dubie uopavaja ve vedoti teže otpooti odeñeoj a oovu pethodog iaa. Za p (homogeo to) dobijei gafi poapa e a oim dobijeim a oovu iaa a impedau uamjee pteate eetode uopae u homogeu poupovodu emju pecifiče otpooti σ ([6.3]- [6.4]) Z g K( π π ) K( ). (6.3.9) 4π σ K.5( a K ) ( h K )

118 6. Uemjivači itemi u piutvu poufeiče poupovode ehomogeoti ta U iau (6.3.9) π K K a K K h d α K ( π ) je potpui eiptiči itega pve vte do u odgo- i α vaajući agumeti 4 (4 ) i 4 (4 4 ) R g [Ω] p p p - σ.s/m ε ε K m m a a mm Opiai metod a (6.3.9) a (6.3.8)-uamjea eetoda h[m] a) 4 R g [Ω] σ.s/m ε ε x 35.5m K m m p a a 3 a /9.7 mm 3 p 5 5 p - h[m] b) S Otpoot uemjivačog itema a S. 6.8 u fuciji od dubie uopavaja h i odoom p σ σ ao paametom: a) ada je aemae uticaj emjovoda; b) ada je uticaj emjovodog povodia uet u obi. Otpoot pomataog uemjivačog itema u avioti od dubie uopavaja h piaaa je a S. 6.9b. Paameti u iti ao i u učaju S. 6.9a amo što je ovog puta u obi uet i emjovodi povodi ( x. 5m ). Za aiu od gafia a S. 6.9a a povećajem dubie uopavaja otpoot uemjivačog itema opada što je eutat čijeice da je emjovodi povodi uet u obi. 6.4 UZEMLJVAČK SSEM NAČNJEN OD LNEČNE ELEKRODE UNUAR POLUSFERČNE NEHOMOGENOS OBRUČA ZVAN POLUSFERČNE NEHOMOGENOS g σ g ε µ y σ ε µ h a 4 4 a 4 3 a 3 σ ε µ x 3 K a S Uemjivači item fomia od pavog ieičog povodia i pteate eetode. x Pomata e uemjivači item fomia od pave ieiče eetode meštee uuta poufeiče ehomogeoti ( σ ε µ µ ) i u odou a ehomogeot ocetičo potavjee pteate eetode iva poufeiče ehomogeoti u homogeoj emji ( σ ε µ µ ) S. 6. ([6.4]). Pava eetoda oja modeuje amatuu tuba (oačea a ) i obuč apajai u iofevetim tujama g i g epetivo. Paameti oji defiišu dimeije i poožaj eetoda ao i paameti edia oačei u a ici. Aaia opiaa u ovom deu teta ao i u pethodim pimeima ima vaitacioai aate. 3

119 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta Gava uemjivača pteata eetoda apaja e peo dva emjovoda povodia (oačea ao jeditvei povodi a poupečia dvotuo većeg od poupečia ptea). Ovi povodici e puštaju oo i avijaju u pteatu eetodu (povodici 3 i 4). Kao što je to ečeo i u odeju 6.3 ovaav mode odgovaa jedom ačiu patiče eaiacije uemjivačog itema tuba pi čemu e povodi e peida toom iade uemjeja. Evivaeti poupeči popečog peea tae od oje u ačijei emjovodi povodici i pteata eetoda odeñuje e poceduom opiaom u PRLOGU 9. Poupeči emjovodog povodia tetiaog ao jeditvea eetoda je a a3 a4. Eetoda emjovod i pteata eetoda mataju e taim ( a a3 a <<. a 3 a 4 a 3 << 3 a 4 << π K ). 3( ot3( 3 ot 4 4 Nepoate ogitudiae tuje duž oa povodia oačee u a ( ) [ ] 34. Kao i u pethodom odeju potojeća imetija itema eutuje uovom ) ( ) što važi i a odgovaajuće tuje oticaja ) ( ) pi čemu u tuje oticaja a vaog povodia poaoob već aije defiiae ao ( ) ( ) ( ) 34. Rapodee tuja petpotavjee u u obiu poioma pvog tepea ([6.6]- [6.8]) ) ( / ) ] 3 4 (6.4.) ( gde u i 3 4 epoati oeficijeti. Kao je 3( 3 ) 4 ( 4 ) važi da je 3 4 i 3 4. a a potecija u ooii itema a S. 6. fomia e a ači aaoga oom u [6.9] i ima obi ϕ ( ) G ( ) G ( x xˆ) ( ) i g i 3 [ ot [ G ( )] d ( ) [ ( )] d i Gi i g i (6.4.4) gde u Giove fucije G i ( ) i date iaima (6..3) i (6..4) a ( > ) odoo iaima (6..7) i (6..8) a ( < ). Nepoate apodee tuja adovojavaju edeće uove ( (6.4.5a) ) ) g ( (6.4.5b) g ) () () () (6.4.5c) ( ) ( ) ( ) ( ) ad (6.4.5d) 3 ( ) a ( ). (6.4.5e) ( Uov (6.4.5e) a tuju a obodom aju povodia detajije je aaiia u PRLOGU 7. Pimeom pacijae itegaciji i imajući u vidu uove (6.4.5) iai a potecija e ato pojedotavjuju. U opavdau petpotavu da je povšia vae od eetoda patičo evipotecijaa ( ϕ U a eetodu i ϕ U a eetode 3 i 4) potecija u tači a povšii - tog povodia odeñeoj vetoom poožaja - a (tača a povodiu ) 3 4 dobija obi: c 4

120 6. Uemjivači itemi u piutvu poufeiče poupovode ehomogeoti ta ϕ( c ) U ( ) G 4 ( - a 3 4 (tače a povodicima 3 i 4) ϕ( c ) U ( ) G 4 c ( ) ( ) G c ) ( ) G ( c ( ( ) G )d ;i c )d. ( ) G ( c ( )d c )d (6.4.6a) (6.4.6b) ai (6.4.6a-b) pedtavja apavo item itegaih jedačia a eetiči aa potecija. Smeom (6.4.) u (6.4.6) i uimajući u obi da je ( ) 3 4 (6.4.7) item itegaih jedačia(6.4.6) tafomiše e u item ieaih jedačia čije u epoate tuji oeficijeti m 3 4. Ovaj item ima obi: -a - a G ( c m ) G ( c ) d G( c ) d m 4 G ( c m ) G ( c )d G( c ) d m U (6.4.8a) U. (6.4.8b) Uupa boj epoatih oeficijeata tj. eophodih jedačia je N 8 (dva a vai pojediači povodi).uov 3( 3 ) 4( 4 ) eduuje ovaj boj a N 6. Kao potoje ti uova (6.4.5c) (6.4.5d) i (6.4.5e) peotae ti jedačie fomiaju e e podešavajem jedačia (6.4.8) u tačama a povšii -tog povodia 3. (6.4.9) Uupe tuje oticaja a povodia u g ( ) i g ( ). Kao što je to već objašjeo u odeju 5..3 imeñu apoa eetoda i i uupih tuja oje potiču o jih potoji eacija U Z g Z g (6.4.) U Z Z. " Z " paameti oji e javjaju u (6..4) odeñuju e ešavajem itema jedačia u imetičom i atiimetičom ežimu apajaja (odeja 5..3). Kada u eetode meñuobo poveae u jeditvei uemjivači item uupa impedaa tavog itema odeñuje e meom U U V u (6.4.) pa e uupa impedaa uemjivačog itema može odediti ao g g Z R X /( ). (6.4.) g g j g g g 5

121 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta 6.4. Numeiči eutati Pocedua iožea u pethodoj tači pimejea je a aateiaciju itema a S. 6.. Reai deovi " Z " paametaa tj. optvee i meñuobe otpooti eetodog itema a S. 6. u fuciji pomee dubie uopavaja obuča i odoom p σ σ ao paametom piaai u a S. 6. (ada je aemae uticaj emjovodog povodia) i S. 6. (ada e u obi uima i emjovod). Pi tome u vedoti paametaa σ S/m ε ε. 5 m K m x.5m m a.5 m (poupeči uga po ome u apoeñei povodici oji ačijavaju amatuu).7 m (poupeči popečog peea amatue žice) N (boj čeičih žica oje fomiaju amatuu) i a a N N a.8 m (evivaeti poupeči / povodia ojim e modeuje amatua tuba poceduom biže opiaom u PRLOGU ). aati povodi je FeZ taa pavougaoog popečog peea dimeija 3 4 mm a jegov evivaeti poupeči odeñe a oovu potupa i PRLOGA 9 je a / a3 a4 9.7 mm. Odabae vedoti paametaa pipadaju opeima oji e javjaju u od eaiacije patičih uemjivačih itema.([6.] [6.5]). Re{Z }[Ω] p p. p σ.s/m ε ε x.5m K m m a 8 mm a a 3 a mm h[m] Re{Z }[Ω] σ.s/m ε ε x.5m K m m a 8 mm a a 3 a mm p 8 p 6 p. h[m] Re{Z }[Ω] p p σ.s/m ε ε x.5m K m m a 8 mm a a 3 a mm 6 p. h[m] Re{Z }[Ω] σ.s/m ε ε x.5m K m m a 8 mm a a 3 a mm p p p. a (6.3.9) a (6.3.8) 5 h[m] S Pomea optveih i meñuobih otpooti uemjvačog itema a S. 6. u fuciji dubie uopavaja h ada je aemae uticaj emjovodog povodia. Otpoot duboo uopae (uamjee) pteate eetode (ia 6.3.8) itih dimeija ao i obuč a S. 6. u fuciji dubie uopavaja h piaaa je a S. 6. u oviu gafia a ome u piaae vedoti optvee otpooti Re{ Z }. Kao što e i mogo očeivati vedoti otpooti Re{ Z } teže otpooti uamjeog obuča odeñeom iaom (6.3.8) a poatom du- 6

122 6. Uemjivači itemi u piutvu poufeiče poupovode ehomogeoti ta bie uopavaja. Na itom gafiu može e videti da e a p (homogea emja) optvea otpoot Re{ Z } patičo e poapa a vedošću dobijeom pimeom iaa (6.3.9) a impedau obuča pito uopaog u homogeu emju. Sa gafia je očigedo da je uticaj odoa p poebo ačaja a optveu otpoot Re{ Z } do je uticaj emjovoda ajuočjiviji ada e adi o optveoj otpooti Re{ Z }. Re{Z }[Ω] p p σ.s/m ε ε x.5m K m m a 8 mm a a 3 a mm p. h[m] Re{Z }[Ω] σ.s/m ε ε x.5m K m m a 8 mm a a 3 a mm p p 8 p. h[m] Re{Z }[Ω] p p p. σ.s/m ε ε x.5m K m m a 8 mm a a 3 a mm h[m] Re{Z }[Ω] σ.s/m ε ε x.5m K m m a 8 mm a a 3 a mm p p p. 5 h[m] S Pomea optveih i meñuobih otpooti uemjvačog itema a S. 6. u fuciji dubie uopavaja h ada je uticaj emjovodog povodia uet u obi. Uupa otpoot uemjivačog itema a S. 6. odeñea pimeom iaa (6.4.) u fuciji pomee dubie uopavaja h a ite vedoti paametaa ao i a S. 6. i 6. piaaa je a S. 6.3a (aemae emjovodi povodi) i S.63b (amata uticaj emjovoda). Očigedo je da uupa otpoot itema opada a dubiom uopavaja h ada uticaj emjovoda ije aemae. Nomaiovaa apodea potecijaa a povšii ta u ooii uemjivačog itema a S. 6. a aičite vedoti odoa p σ / σ piaaa je a S Pi tome je u amataje uet i uticaj emjovoda. Vedoti paametaa u K m.5m a.8 m m h.5m x. 5m σ S/m ε ε i a / a3 a4 9.7mm Potecija je omaiova jeditveim potecijaom eetoda uemjivačog itema U. Maimumi potecijaa aae e u tačama u ooii meta u ojima u emju podie eetoda odoo emjovod ao i u tačama oje e aae iad obuča što je u ovom učaju i očeivao poašaje fucije potecijaa. aoñe a p. (poufea veie povodoti) fucija potecijaa je očeivao piičo "mia" a povšii poufee oim u ooii tače apajaja. Umeto a u jedačie (6.3.8) i (6.3.9) teba taviti a 3. 7

123 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta Re{Z g }[Ω] σ.s/m ε ε x.5m K m m a 8 mm a a 3 a mm p p p. 5 h[m] h[m] a) b) S Uupa otpoot uemjvačog itema a S. 6. u fuciji dubie uopavaja h ada je uticaj emjovodog povodia a)aemae; b) uet u obi Re{Z g }[Ω] σ.s/m ε ε x.5m K m m a 8 mm a a 3 a mm p p p. Re{ϕ/U}. p Re{ϕ/U}. p Re{ϕ/U}. p x [m] - - y [m] x [m] - - y [m] x [m] - - y [m] S Nomaiovaa apodea potecijaa a povšii ta u ooii uemjivačog itema a S. 6. a aičite vedoti paameta p σ. σ σ ε µ 8 y σ ε µ σ ε µ 6.5 USAMLJENA PLOČASA ELEKRODA U OKOLN POLUSFERČNE NEHOMOGENOS b ' S' x S Uamjea počata eetoda u ooii poupovode poufeiče ehomogeoti. h g b β x Za aiu od pimea aaiiaih u tačama u aeda dva odeja biće aaiia uticaj poufeiče ehomogeoti a iteme oji ujučuju počatu eetodu (odeja.3.3). Jeda od aoga a to je i čijeica da e četo ao eemeti uemjivačog itema oite i eetode ovog tipa. ao e a oovu modea oji će biti iože može aaiiati počati uemjivač mešte u ooii temeja apoimiaog poufeom ii u ooii udubjeja u tu ipujeih vodom (baa maje jeeo). Pomata e pavougaoa eetoda ( b b ) aemajive debjie vetiao poožea u homogeu emju ( σ ε µ µ ) a dubiu h S. 6.5 ([6.6]-[6.7]). Eetoda je peo ioovaog emjovoda apajaa

124 6. Uemjivači itemi u piutvu poufeiče poupovode ehomogeoti ta iofevetom tujom g. Poožaj eetode u odou a poupovodi ( σ ε µ µ ) poufeiči dome poupečia defiia je ugom β i atojajem x Odeñivaje eetičog aa potecijaa i impedae počate eetode Pomataa eetoda a S. 6.5 aaiiaa je pimeom metoda evivaete eetode (MEE) ([6.8]) opiaog u aijem tetu u odeju 3.3. e Pvi oa u pimei MEE je podea povšie počate eetode a oača boj ( N ) vadatih povšia taice. Vetoi poožaja cetaa vadata u.. N. Ove povšie atim e amejuju maim evivaetim povodim feama ("evivaetim eetodama"-ee) poupečia a. 373 ([6.9]) čiji e ceta poapa a cetima vadata. Uupa tuja oticaja a vae od feih eetoda je.. N. Na oovu jedačie (.3.36) pibiža vedot potecijaa u ooii eetode (u tačama defiiaim vetoom poožaja ) dobija e upepoicijom potecijaa oji tvaa vaa od EE poaoob ϕ ϕ N ( ) G( ) N ( ) G ( ) > i (6.5.) < (6.5.) gde u G ( ) i G ( ) Giove fucije date iaima (6..3) i (6..4) epetivo. Kao što je to već aije objašjeo oite e Giove fucije po modeu "Račić" do e bog čijeice da e adi o vaitacioaom ežimu mata da je R. p Podešavajem vedoti potecijaa u uupo N tačaa defiiaih vetoom poožaja δ a.. N m e ϕ N ( p ) U G( p ) (6.5.3) fomia e item ieaih jedačia čije je ešeje N epoatih tujih oficijeata.. N. Pi tome je u pethodom tetu a a e obeeže veto poožaja tače a povšii fee EE u odou a je ceta ( ae ae.. N ) do je δ m Koeeov imbo. Nao ešavaja itema jedačia (6.5.3) potecija u ooii eetode a S. 6.4 može e odediti a oovu iaa (6.5.)-(6.5.) a jea impedaa je Z g Rg j X g U / N g U. (6.5.5) 6.5. Numeiči eutati Otpoot eetode a S. 6.5 u fuciji odoa p σ σ a aičite vedoti uga β ( 45 9 ) i bojem evivaetih eetoda N ao paametom piaa je a S Vedoti otaih paametaa u σ S/m ε ε.5 m a b m h.5 m i x m. Uočava e da potoji adovojavajuća ovegecija a poatom boja evivaetih eetoda. 9

125 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta 35 R g [Ω] 34 N N8 N8 N3 N σ. S/m ε ε β.5 m ab m h.5 m x m p R g [Ω] σ. S/m ε ε β45.5 m ab m h.5 m x m 33 N N8 N8 N3 N5 p R g [Ω] σ. S/m ε ε β9.5 m ab m h.5 m x m N 33 N8 N8 N3 N5 p S Otpoot eetode a S.6.5 u fuciji paameta p σ σ a aičite vedoti uga β i bojem evivaetih eetoda ao paametom. Pomea otpooti eetode a S. 6.4 a pomeom odoa p σ σ a ugom β ao paametom i N 5 upotebjeih evivaetih eetoda piaaa je a S Vedoti otaih paametaa ite u ao i a S. 6.5.

126 6. Uemjivači itemi u piutvu poufeiče poupovode ehomogeoti ta Koačo apodea potecijaa a povšii ta ( x -oa) u ooii eetode a S. 6.4 piaaa je a S Pi tome je β 45 N 5 a vedoti otaih paametaa ite u ao i učaju o gafia a S Fucija apodee potecijaa meja obi u tači diotiuiteta edie do joj e maimum aai u tači oja e aai iad počate eetode R g [Ω] θ9 θ6 θ45 θ3 θ σ. S/m ε ε N5.5 m ab m h.5 m x m p S Otpoot eetode a S.6.5 u fuciji odoa p σ σ a ugom β ao paametom ϕ/u p p p. σ. S/m β45 ε ε N5.5 m ab m h.5 m x m x [m] S Rapodea potecijaa a x oi u ooii uemjvače eetode a S.6.5 a odoom p σ ao paametom. σ 6.6 UZEMLJVAČK SSEM FORMRAN OD PRAVE LNEČNE ELEKRODE UNUAR PLOČASE ELEKRODE ZVAN POLUSFERČNE NEHOMOGENOS σ ε µ y σ ε µ σ ε µ g θ a b ' S' x S Uemjivači item fomia od pave ieiče eetode meštee uuta i počate eetode meštee iva poupovode U ovoj tači iožei u eutati aaie uemjivačog itema ačijeog od počate pavougaoe eetode ( b b ) vetiao poožee u homogeu emju ( σ ε µ µ ) a dubiu h i pave ieiče eetode dužie meštee uuta poupovode ( σ ε µ µ ) poufeiče ehomogeoti ([6.7]). Poožaj eetoda odou a poupovodi poufeiči dome poupečia. defiia je ugovima β i θ i atojajem x. Paameti geometije itema piaai u a S Eetode e peo ioovaih povodia apajaju iofevetim tujama g (počata eetoda) i g (povodi). Potecija u ooii ovog itema odeñuje e potupom oji je apavo eutat imutae pimee pocedua poufeiče ehomogeoti. iožeih u tačama 6. i 6.4 gde u eetode oje ačijavaju item a S. 6.8 pomatae ao uamjee. ao je potecija ovog itema ϕ h g b ) ) d ( ) Gi ( ) d ( ) Gi ( i ( S β x i. (6.6.)

127 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta U pethodom iau a d ( ) oačee u uupe tuje oticaja a eemeta povodia d ( ) ot d odoo eemeta povšie počate eetode ( d ( ) ot d S ) 3 gde u G i ( ) i G i ( ) i Giove fucije date iaima (6..3)-(6..4) i (6..7)-(6..8). Zbog čijeice da e adi o vaitacioaom ežimu mata da je R R. a a potecija fomia e ombiovaom pimeom metoda odečaa (ieiča eetoda) i metoda evivaete eetode (počata eetoda). Na ači potpuo aaoga poceduama i 6.. i 6.4 ieiči povodi dei e a uupo M egmeata dužie do e počata eetoda amejuje a N EE. Na oovu toga fomia e ia a potecija ϕ ( ) i N M m Gi( ) Gi ( ) d m i. (6.6.) Sa.. N i m m.. M oačee u uupe tuje oticaja a eemeta povšie počate eetode odoo eemeta povodia epetivo. Podešavajem vedoti potecijaa (6.6.) u N tačaa a povšii počate eetode i M tačaa a povšii povodia fomia e item ieaih jedačia N M m ϕ U G( ) Gi ( ) d (uupo N jedačia) i (6.6.3a) ϕ m N M m U G( ) Gi ( ) d m (uupo M jedačia). (6.6.3a) Sa... N i... M oačei u vetoi poožaja tačaa podešavaja a počatoj eetodi odoo povodiu. Rešeje pethodog itema u uupe tuje oticaja... N i m... N m. Uupe tuje oticaja a povodia u g i g m. Kao što je to N M m već objašjeo u odeju 5..3 imeñu apoa eetoda i uupih tuja oje potiču o jih potoji eacija U Z g Z g (6.6.4) U Z Z. Kao što je to u više avata poovjeo " Z " paameti oji e javjaju u jedačiama (6.6.4) odeñuju e ešavajem itema jedačia u imetičom i atiimetičom ežimu apajaja (odeja 5..3). Kada u eetode meñuobo poveae u jeditvei uemjivači item uupa impedaa tavog itema odeñuje e meom U U V u pethodi ia pa e uupa impedaa uemjivačog itema može odediti ao Z R X /( ). (6.6.5) g g g g j g g g 6.6. Numeiči eutati Na oovu pethode aaie odeñei u " Z "-paameti i uupa impedaa uemjivačog itema a S Pomea eaih deova " Z "-paametaa i uupe otpooti u fuciji aie atojaja x i odoom p σ σ ao paametom piaai u a S i S. 6.3 epetivo. U oba učaja vedoti paametaa u m a m b.5 m.9 m σ.s/m ε ε β 9 θ i a 5 mm. Metod evivaete eetode (počati povodi) pimeje je a N 5 evivaetih eetoda do je metod odečaa (povodi) pimeje a N egmeata. 3 U učaju ieiče eetode ot pedtavja podužu a u učaju počate eetode povšiu gutiu tuje oticaja.

128 6. Uemjivači itemi u piutvu poufeiče poupovode ehomogeoti ta Re{Z } [Ω] m am b.5m.9mσ. S/m ε ε h.5m θ β9 a 5 mm p p p p. p. 3 x - [m] Re{Z } [Ω] m am b.5m.9mσ. S/m ε ε h.5m θ β9 a 5 mm 6 p 4 p p p. p. x - [m] Re{Z } [Ω] m am b.5m.9mσ. S/m ε ε h.5m θ β9 a 5 mm 6 p 4 p p p. p. x - [m] Re{Z } [Ω] m am b.5m.9mσ. S/m ε ε h.5m θ β9 a 5 mm p p p p. p. x - [m] S Pomea optveih i meñuobih otpooti uemjivačog itema a S. 6.8 u fuciji atojaja x i odoom p σ σ ao paametom. 35 R g [Ω] p p p p. p. m am b.5m.9mσ. S/m ε ε h.5m θ β9 a 5 mm x - [m] S Uupa otpoot itema a S. 6.8 u fuciji atojaja x i odoom p ao paametom. 3

129 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta 6.7 ZRAKAS UZEMLJVAČ U OKOLN POLUSFERČNE NEHOMOGENOS U tetu oji edi iožea je aaia toaog aatog uemjivača ([6.]) mešteog u ooii poupovode poufeiče ehomogeoti S Povodici uemjivača u itih dužia L i poupečia popečog peea a. Uemjivač je hoiotao poože u to ( σ ε µ µ ) a dubiu h i a atojaju x od ceta poupovode poufeiče ehomogeoti ( σ ε µ µ ) poupečia. Kada e a ovavu uemjivaču tutuu pimei metod odečaa a ači aaoga oom i odeja 6... vai od povodia dei e a N 3 odečaa (ide defiiše povodi). Podešavajem vedoti potecijaa u uupo N u N N N3 tačaa a povšii povodia ( N tačaa a vaom povodiu 3 ) fomia e item od N u jedačia ϕ U 3 N G v ) ( d. (6.7.) U pethodom iau L / N... N i... N 3 pedtavjaju dužiu egmeta a -tom povodiu i uupu tuju oticaja a -tog odeča -tog povodia epetivo do je G ( ) Giova fucija adata iaom (6..3). Sa 3...N oače- i u vetoi poožaja tačaa podešavaja a povodicima. Rešeje fomiaog itema jedačia (6..) u uupe tuje oticaja po egmetima... N 3. mpedaa uemjivača odeñuje e a oovu iaa gde je uupa tuja oja utiče u item. 3 N Z R j X U (6.7.) g 3 g N 6.7. Numeiči eutati U pethodom tetu opiaa pocedua pimejea je a toai aati uemjivač dužie povodia L m i poupečia popečog peea a 5mm. Poupeči poufee je m dubia uopavaja uemjivača je h.7 m do je atojaje uog omada od ceta poufee x.5 m. Paameti ooog ta u σ S/m i ε. Pomea otpooti aatog uemjivača a S. 6.3 a avedee vedoti paametaa a pomeom odoa p σ i a N N N odečaa piaaa je a S Pi tome je ε. σ 3 g σ ε µ σ ε µ σ ε µ y x h L L L L a L x R g [Ω] σ. S/m ε ε N N N 3 m L m a5 mm h.7 m x.5 m S oai aati uemjivač u ooii poufeiče ehomogeoti S Otpoot uemjivača a S. 6.3 u fuciji odoa p σ. σ p 4

130 6. Uemjivači itemi u piutvu poufeiče poupovode ehomogeoti ta 6.8 SSEM LNEČNH PROVODNKA UNUAR POLUSFERČNE NEHOMOGENOS Jeda od ačia da e ivši aateiacija temejog uemjivača fomiaog od amatue tuba poožee u betoi temej S iože je u ovom deu ada ([6.]-[6.]) 4. emej e apoimia poupovodom poufeom poupečia eetičih paametaa σ ε µ µ do u paameti ooog ta σ ε µ µ S Pibiža poaču impedae a ovaj ači modeovaog temejog uemjivača moguće je ivšiti tao što e pomata item od N vetiao potavjeih povodia dužie i poupečia popečog peea a a <<... N. Povodici u avomeo apoeñei po apemii poufee i apajai u iofevetom tujom g (amata e vaitacioai ežim). g x σ ε µ σ ε µ σ ε µ x y ( ' ) a ' S Amatua tuba i betoi temej. S Poufeiča ehomogeot i item povodia ojim e apoimia tutua a S Kada e u oviu pimee odečaa vai od povodia podei a M odečaa dužie / M... N potecija u ooii amataog itema može e apiati u obiu gde u G i ( ) ϕ ( ) i N M m m G i ( ) d i (6.8.) i Giove fucije adate iaima (6..7)-(6..8) a m m... M... N uupe tuje oticaja a pojediih egmeata. Kao je to već aije objašjeo ide i odgovaa obati > (ooa emja) do i odeñuje obat poufee ( < ). Podešavajem vedoti potecijaa ϕ U u tačama a povšiama povodia defiiaim vetoima poožaja...m... N fomia e item ieaih jedačia ϕ ( ) i N M m m G ( ) d...m... N (6.8.) čije u ešeje tuje oticaja m m... M... N. Na oovu ovao odeñeih tujih oeficijeata može e odediti apodea potecijaa (6.8.) i impedaa itema N N m m Z g Rg j X g U. (6.8.3) 4 Refeeca [6.] pedtavja apavo pošiei abtat ada [6.]. 5

131 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta R go p. N 5 5 S Nomaiovaa otpoot itema a S u fuciji od N i odoom p σ ao paametom. σ 6.8. Numeiči eutati Opiaa pocedua pimejea je a uemjivači item tuba a S ao je a S piaaa omaiovaa otpoot uemjivača R R / R R /(πσ ) u fuciji g o g g boja povodia amatue N i odoom p σ σ ao paametom ([6.]). Fato omaiacije pedtavja otpoot povode poufee itih dimeija ao i poufeiča ehomogeot a S Može e uočiti da a poatom boja povodia omaiovaa otpoot teži jediici tj. R R što pedtavja očeivao poašaje aaiiae fucije. 6.9 LERAURA [6.] N. N. Cvetović P. D. Račić "Sige wie goudig eectode i the peece of emipheica ihomogeity" teatioa PhD Semia Computatioa Eectomagetic ad echica Appicatio Baja Lua Boia ad Heegovia Augut 8-Septembe 6 Poceedig of Fu Pape pp dotupo a: [6.] P. D. Račić "A ew cocept fo iea goudig ytem aayi" Fouth t. Symp. of Appied Eectotatic ПEC 96 Niš Yugoavia May Poc. of Pape pp 3-6. [6.3] N. N. Cvetović "Liea goudig ytem: Quai-tatioa tuctue of Het' vecto ad eectic caa potetia" teatioa PhD Semia "Numeica fied computatio ad optimiatio i eectica egieeig" Ohid Macedoia Septembe -5 5 Poc. of Fu Pape pp [6.4] N. N. Cvetović P. D. Račić "he fuece of Semi-Spheica homogeity o the Liea Goudig Sytem Chaacteitic" FACA UNVERSAS Se Eec. Eeg Vo. No. Septembe 7 pp [6.5] N. N. Cvetović P. D. Račić "Couped Liea Goudig Sytem: Quaitatioay Atea Mode" XL teatioa Scietific Cofeece o fomatio Commuicatio ad Eegy Sytem ad echoogie - CES 7 Jue Ohid Macedoia Poc. of Pape Vo. pp [6.6] B. Popović "Poyomia Appoximatio of Cuet Aog hi Symmetica Cyidica Dipoe" poc. EE Vo. 7 No 5 97 pp [6.7] N. N. Cvetović P. D. Račić "Pteati uemjivač apaja oim emjovodom: vaitacioai atei mode" Zboi adova L Kofeecije ERAN-a Heceg-Novi Ca Goa 4-7. jua 7. godie AP.3. [6.8] P. D. Račić N. N. Cvetović "Cuet Ditibutio ad mpedace of Rig Eectode Pia Goudig Sytem: Quaitatioay Atea Mode " 8th teatioa Cofeece o eecomuicatio i Mode Sateite Cabe ad Boadcatig Sevice ELSKS 7 Septembe 6-8 Niš Sebia Poceedig of pape Vo pp [6.9] P. D. Račić "Atei mode a vaitacioau aaiu uemjivačog itema tuba" ehiči iveštaj L-GS-8 Laboatoija a eetiče itaacije i ovetjeje Eetoi fautet Uiveitet u Nišu 7. 6

132 6. Uemjivači itemi u piutvu poufeiče poupovode ehomogeoti ta [6.] N. N. Cvetović P. D. Račić "Coductive emi-phee ad iea goud eectode a pia foudatio goudig ytem" 8 th teatioa Cofeece o Appied Eectomagetic ПEC 7 Niš Sebia Septembe Poceedig of Pape (CD) Pape O3-6. [6.] ehiča pepoua b 9 ZBRKA EHNČKH PREPORUKA ED SRBJE Beogad. [6.] D. M. Veičović i aadici: Z. Ž. Cvetović N. B. Raičević S. S. ić V. L. Javo N. N. Cvetović D. G. Zuić Zbia ešeih ipitih adataa i Eetomagetie deo Eetoi fautet u Nišu Niš t [6.3] N. N. Cvetović P. D. Račić "Uticaj poufeičog temeja tuba a eetiče aateitie otuog užog ieičog uemjivača" Zboi adova L Kofeecije ERAN-a Beogad 6-9. jua 6. godie Svea t [6.4] H. Uhma (Ed.) D. M. Veičović K. Badiy R. D. Statcheva H. Baue Fudameta of Mode Eectomagetic fo Egieeig-extboo fo Gaduate Studet Pat : Static ad Statioay Eectica ad Magetic Fied echica Uiveity meau/gemay 5 pp [6.5]. Radojičić Betoe otucije Poveta Niš 98. [6.6] D. M. Veičović "he ifuece of emicoductig pheica body to the goudig" Poceedig of Eegy Efficiecy Foum 5-7 Jue 994 Vaa Bugaia. [6.7] N. N. Cvetović P. D. Račić "fuece of the emi-pheica emi-coductig oud ihomogeity o the goudig chaacteitic" V teatioa Sympoium o Eectomagetic Compatibiity-EMC BARCELONA '6 5-9 Sep. 6 Poc. of pape pp [6.8] D. M. Vei~ovi} "Equivaet eectode method appicatio i ootatioa fied theoy" Fouth t. Symp. of Appied Eectotatic ПEC 96 Ni{ Yugoavia May Poc. of Pape pp 5-3. [6.9] D. M. Veičović "Pimea metoda evivaete eetode a ešavaje pobema uemjivača" Eetotehia 3 boj t [6.] N. N. Cvetović P. D. Račić "A Simpe Mode fo Numeica Detemiig of Eectica Chaacteitic of a Pia Foudatio Goudig Sytem" 6-th teatioa Cofeece o the Computatio of Eectomagetic Fied-COMPUMAG Jue Aache Gemay Poceedig pp [6.] N. N. Cvetović P. D. Račić "A impe mode fo a umeica detemiatio of eectica chaacteitic of a pia foudatio goudig ytem" ad pihvaće a objavjivaje u čaopiu Egieeig Aayi with Bouday Eemet -EABE idavač ELSEVER. 7

133

134 7. ZAKLJUČAK U adu je aaiia uticaj poupovodih ehomogeoti ta poufeičog i ciidičog obia. Ovavi tipovi ehomogeoti iu etot u pai i od iteea je bio poučiti jihov uticaj a aateitie uemjivačih itema oji već ami po ebi pedtavjaju bita deo bojih tehičotehooših itema eetoeegetih potojeja teeomuiacioih itema ii itema a aštitu od atmofeih pažjeja. U adu a vtom pobema ao i pitupom i aaiama i adova i pubiacija oje u bie dotupe adidatu pobem je tetia ao vaitacioaa. ao je u pethodim deceijama objavje ata boj adova oji e bavi aaiom uemjivačih itema adova oji u e bavii ciidičim ii poufeičim tipovima ehomogeoti i to a ači ao što je to učijeo u ovom adu ije bio peviše u pubiacijama dotupim adidatu. U tome bi mogao da eži ačaj iožeih eutata. U amom početu itaživaja euo e od ideje da e ivši aateiacija uticaja poufeiče poupovode ehomogeoti a eetode aičitih geometija. Raog a to bio je opavdaa ideja da e ehomogeoti oje e javjaju u oviu iade temejih uemjivača i ehomogeoti ta ao što u bae ii maja jeea mogu modeovati ao poufeiči poupovodi domei. U gaičom učaju ada povodot domea teži beoačo veioj vedoti aaia bi e moga pimeiti i a oove citei ii ioa uopaih u emju oje u apavo metae pouopte. Pi tome je poaa oova bio pibiži mode pofeoa Veičovića ([7.]) ao i vaitacioaa teoija iova u avom ogedau ([7.]). ao je uticaj poupovode fee a tačati ivo iva/uuta fee odeđe u adovima Statoa ([7.3]) i Lidea ([7.4]) foma pouđeih ešeja (u obiu edova) ije pogoda a pimeu a ieiče i maive povodie. Zato je ešeje pofeoa Veičovića avim opavdao deovao ao omfoa aat a pimeu u početim aaiama. Smatajući a oovu pimao dobijeih eutata da je moguće eaiovati mode čije je odtupaje od tačog ešeja Statoa maje ego oo oje daje pvobito oišće mode pofeoa Veičovića pofeo Račić je fomiao ovi pibiži mode Giove fucije tačatog ivoa uuta/iva poupovode fee ([7.5]). Za aiu od poaog modea pomeuto ešeje pibižo adovojava gaiči uov a oduciou tuju ai adovojava Puaoovu tj. Lapaovu jedačiu. Pi tome oba modea adovojavaju gaiči uov a potecija. Ovaj mode je poaao ešto boje agaje a tačim ešejem Statoa i 94. godie što je i aog a jegovu pimeu u aijim adovima ujučujući i aaie u ovom fiaom tetu. ao je "mode Račić" a modeovaje poupovode poufeiče ehomogeoti bio iao pateći i poeda pvi iteeatiji eutat itaživaja čiji u eutati peetovai u adu. Pimeom aičitih metoda (Metod momeata i jegovi deivati vaijacioi metod metod evivaete eetode metod edjih potecijaa) aaiiao je više aičitih uemjivačih tutua u ooii poufeiče ehomogeoti. Jeda boj po mišjeju autoa iteeatijih eutata aopšte je u ovom adu. ao je aaiia uticaj a uemjivače iteme fomiae od pavih ieičih eetoda obuča i počatih eetoda. Odeđee u otpooti apodee potecijaa tuja oticaja i ogitudiaih tuja a povodicima. Rapodee tuja u u pojediim učajevima matae otatim do e od ešeja pojediih pobema pimejivao atei mode odoo poioma apoimacija ogitudiae tuje duž povodia. Patičo u e vi pitupi vodii a vođeje itema itegaih jedačia a potecija a apodeama tuja ao epoatim fucijama a iteme ieaih jedačia a epoatim tujim oeficijetima. Dobijei eutati avode a ajuča da uticaj poufeiče ehomogeoti ije aemajiv i da avii od od- 9

135 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta oa paametaa poufeiče ehomogeoti i ooe emje poupečia poufee i geometije uemjivačog itema. Kao što e to i i amog aova vidi bita deo ada poveće je aaii ciidiče ehomogeoti ta oje e javja u oviu aaie temejih uemjivača tubova. Ovde je pimejeo pibižo ešeje pedožeo u ([7.6]) i aaiiai u uemjivači itemi čije u dimeije peuete i ehičih pepoua ED Sbije ([7.7]) do u ao ivo podataa veaih a aateitie temeja i betoa od og je ačije použie efeece ([7.8]- [7.]). u ovom učaju oišćei u aičiti metodi pomeuti u pethodom tetu. Poaao e da je ovaj uticaj veoma iaže ada e adi o optveoj otpooti vetiae eetode meštee uuta betoog temeja. Kada e međutim adi o uupoj otpooti uemjivačog itema ovaj uticaj je ačajiji ada je item fomia od majeg boja eetoda i hodo tome otpoot vetiae eetode ima domiata uticaj. Povećajem boja eetoda oje čie uemjivači item i/ii jihove dužie ova pevaga više ije toio iažea pa je i uticaj betoog temeja a uupu otpoot uemjeja ato maji. U oviu itaživaja u pojediim učajevima amata je i uticaj emjovodog povodia ao a apodeu potecijaa tao i a otpoot uemjeja. u čijeicu je bito itaći je pomeuti uticaj ao e poaao ije beačaja pogotovo ada e adi o odeđivaju apodee potecijaa a povšii ta. Sa duge tae ovaj apet ije bio ujuče u aaie i itaživaja autoa adova oji u bii dotupi adidatu pa e tu ogeda još jeda mogući dopio aopšteih eutata. Da bi ad pedtavjao ogiču ceiu u jega je ujuče i peged i opi geeaih pocedua veaih a metode pimejee u adu. Koeta pimea vaog od ovih metoda objašjea je a detajo a vai pojediači učaj amata u adu. Kao što je ečeo i u uvodu ovo je eutiao time da u ea amataja poovjea u adu u više avata. pa adidat je vodio ačua da obim tih amataja vede a potebu meu. Veao a pomeute metode u adu je a pimeu ieiče eetode poaaa i vea imeđu vaijacioog metoda i metoda edjih potecijaa odoo doaaa je čijeica da je ovaj potoji amo poeba učaj vaijacioog metoda ([7.]). to je po uveeju adidata eutat oji bi mogao da bude jeda od dopioa ovog ada. ao e ad bavi ehomogeotima u ooii uemjivačih itema bog veifiacije metoda eše je i odeđe boj pobema uemjivačih itema u homogeoj emji. o u pe vega pobemi temejih uemjivača tubova ivedeih ao aate ii pteate tutue čija u ešeja bia dotupa adidatu ([7.7] [7.3] [7.4]). itog aoga u pojediim pimeima oiščei u i eutati i aaie uemjivačih itema u etoaoj emji ([7.5]). Be obia a to što e u adu domei tetiaju ao poupovodi u oviu PRLOGA 3 opavdaa je čijeica da u u oviu dietacije po paviu u peetovai eutati oji e odoe a eai deo potecijaa i impedae uemjivačih itema oim u učajevima ada u efeeti eutati ujučivai i vedot eatae. Oova a ovaav pitup je čijeica da je a vaitacioau pobudu i eae vedoti paametaa ta vedot imagiaog dea ompee pecifiče povodoti a eoio edova veičie maja od vedoti jeog eaog dea. Koačo ovaj ad je ocipia ao "piog ešavaju" pobema ciidičih i poufeičih ehomogeoti ta. Pitup aaie i eutati iožei u jemu pedtavjaju oidu oovu a daja itaživaja ao abojaih tao i dugih tipova ehomogeoti. 7. LERAURA [7.] D. M. Veičović "Gee' fuctio of pheica body" Euo Eectomagetic EUROEM '94 May 3 Jue Bodeaux Face Cof. Poc. Hp-9-4. [7.] P. D. Račić "A ew cocept fo iea goudig ytem aayi" Fouth t. Symp. of Appied Eectotatic ПEC 96 Niš Yugoavia May Poc. of Pape pp 3-6.

136 7. Zajuča [7.3] J. A. Statto Eectomagetic theoy Mc Gow-Hi Boo Compay New Yo /Lodo 94. [7.4] J. C-E. Ste. V. Lide "Eectotatic image theoy fo the dieectic phee with a itea ouce" Micowave ad optica techoogy ette Vo 5 No. Octobe 99 pp [7.5] P. D. Račić "A poit goud eectode i the peece of pheica goud ihomogeity: aayi of two appoximate coed fom outio fo eectica caa potetia" teatioa PhD Semia Computatioa Eectomagetic ad echica Appicatio Baja Lua Boia ad Heegovia Augut 8-Septembe 6 Poc. of Pape pp 3-3 dotupo a: [7.6] P. D. Račić "Jeda jedotava mode ciidičog temejog uemjivača tuba" ehiči iveštaj L-GS-4 Laboatoija a eetiče itaacije i ovetjeje Eetoi fautet Uiveitet u Nišu 7. [7.7] ehiča pepoua b 9 ZBRKA EHNČKH PREPORUKA ED SRBJE Beogad. [7.8]. Radojičić Betoe otucije Poveta Niš 98. [7.9] M. Chouteau S. Beauieu A ivetigatio o appicatio of the eectica eitivity tomogaphy method to cocete tuctue Geophyic Lo Agee CA USA Api 5-9 dotupo a: phy.pdf. [7.] J. Ribič J. Podipi "Uemjeje i egativi učici upotebe pocičaih uemjivača u temejima objeata" Web peetacija Kompaije Hemi dotupo a: Defaut.apx. [7.] Web peetacija fime ELEKROZGRADNJA Bajia Bašta "Amiao betoi motaži temeji EBB-M" dotupo a: EBB-M.htm. [7.] P. D. Račić "Vaijacioa aaia ieičog uemjivačog itema (US)" ehiči iveštaj L-GS- Laboatoija a eetiče itaacije i ovetjeje Eetoi fautet Uiveitet u Nišu 7. [7.3] Lj. Geić "Kaateitie pteatih uemjivača" JUNAKO CGRE Ref. -7 t [7.4] J. Nahma Uemjeje eutae tače ditibutivih meža Nauča jiga Beogad 98 t [7.5] P. D. Račić S. Z. Đoić Z. P. Stajić "Vetica goud od (VGR) i ihomogeeou eath of ectoa type" E. Lette Vo. 3 No pp

137

138 8. PRLOZ η α α b e α PRLOG - ОDREĐVANJE NEGRALA J ( αρ) dα Na oovu iaa b R η α α b e α J ρ η ρ η α b α b ( αρ) dα e J( αρ) dα e J( αρ) dα α α i (8..) J α b e b ρ b e b ( αρ) dα α b ( αρ) dα [ J( αρ) ] ρdα e J( αρ) dα α α α b e α α b pi čemu je ueta u obi jedačia (..4) i čijeica da je ([8.]) dobija e η α α b e α ρ J ( αρ)dα η Kombiacijom pethodog iaa i jedačie J J ( x) J( x) x ρ b b b ρ b α ρ b ρ b ρ ρ η ρ b (8..) (8..3). (8..4) η b ρ b b ρ b ρ ρ b ρ η b ρ b ρ ρ ρ b ρ η (8..5) oačo je η α α b e α J ( αρ) dα [ ( b ρ b )] η b R. (8..6) PRLOG - LEŽANDROV POLNOM Fucija geeatie Ležadovih poioma je ([8.]) p P ( ) x a p. (8..) p px Kada e pethodi ia podei a p i tavi x coθ dobija e p P ( coθ). (8..) p p pcoθ p Kao je a oovu iaa i u [8.] p p p pcoθ ( p coθ p p coθ) p d (8..3) 3

139 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta itegacijom jedačie (8..) dobija e p P ( coθ) ( p coθ p p coθ) C (8..4) gde je C otata oja e pojavjuje u oviu eodeđeog itegaa. Ao e u pethodi ia mei θ i ioiti uov P ( co ) P ( ) ([8.3]) dobija e p ( p) C Smeom p u (8..5) dobija e C pa je oača foma avoja (8..4) ( ) θ p p co p P coθ. (8..5) p coθ. (8..6) PRLOG 3 - UCAJ RELAVNE DELEKRČNE KONSANE LA NA KVAZSACONARNO EM POLJE Reativa dieetiča otata ta je veičia čija je vedot u ogomoj mei uovjea atavom i aateitiama emjišta (ateitot važot itd.). U [8.4] opavdao je petpotavjeo da e ova vedot eće imeđu vedoti otate a peovito te ( ε 4 ) i dieetiče otate vode ( ε 8 ). aođe u [8.5] eativa dieetiča otata emjišta odeđuje a oovu iaa c ε (8.3.) v 8 gde je c 3 m/ bia potiaja EM taaa u vauumu do je v bia popagacije EM taaa o emjište a oju je pomeutom adu petpotavjeo da e eće u opegu 7 8 m/.5 m/. Na oovu toga e može ajučiti da e vedot dieetiče otate aai u u pibižom opegu. 9! Koja god od ovih vedoti bia uvojea a eativu dieetiču otatu ta ada e pomata pobudo poje idutije fevecije od f 5H oje je od ačaja a temu ovog ada imagiai deo ompee pecifiče povodoti σ σ j ωε može e odediti ao 9 ωε ωεε πf εε.78 ε. Očigedo je da je ča i a veio ε ova vedot eoio edova veičie maja od pecifiče povodoti ta oja je u eaim uovima eda σ S/m do e jea vedot a beto eće imeđu σ 3 S/m i σ S/m ("aoužee" eteme vedoti odeđee a oovu [8.6]). Na oovu aped iožeog može e ajučiti da je a EM poje idutijih fevecija vaitacioaa aaia potpuo pihvatjiv pitup a ešavaje pobema je je uticaj vedoti dieetiče otate ta a aateitie uemjivačih itema aemajiv (imagiai deo ompee pecifiče povodoti je veoma mai u odou a eau pecifiču povodot). Pojedie aaie iožee u adu ao teoiji ačaju ujučuju i ompeu pecifiču povodot (pi čemu je od oetih iačuavaja ε oišćeo ao iabaa vedot imeđu oih etemih pouđeih u [8.5]). Kada e pa adi o oetim iačuavajima po paviu u peetovai eutati oji e odoe a eai deo potecijaa i impedae uemjivačih itema oim u učajevima ada u efeeti eutati ujučivai i vedot eatae. S obiom a pethodu diuiju adidat mata da je ovaav potupa potpuo opavda. 4

140 8. Pioi PRLOG 4 - ЕKVVALENN POLUPREČNK RAVNOG RAKASOG PROVODNKA Pomata e avi taati povodi šiie c i aemajive debjie opteeće podužim aeetiajem q ' oji e aai a potecijau ϕ U S. 8.a. Povodi je mešte u edii dieetiče otate ε. Pimeom tafomacije Žuovog (Jouowi) c x j y w w u jv (8.4.) w pojašja obat taatog povodia peiava e u poju obat ciidičog povodia užog popečog peea jediičog poupečia S. 8.b ([8.7]). y v w-ava ε c q' -ava ϕu d c x q u ε ϕu a) b) S a) Ravi taati povodi; b) pojecija popečog peea avog taatog povodia u w -avi. Kao e toom peiavaja e meja iti potecija iti uupo aeetiaje eetode ompei potecija može e u w -avi iaiti ao q' Φ U w. (8.4.) πε c Na veiim udajeotima ada je >> c je w pa je ompei potecija q' q' Φ U U. (8.4.3) πε c πε ae Na oovu pethodog iaa a evivaeti poupeči tae dobija e c c a e. (8.4.4) 4 PRLOG 5 - ЕKVVALENN POLUPREČNK OVALNE CLNDRČNE RAKE Pomata e taa ciidiča ovaa taa poupečia d i ugaoog otvoa α S. 8.. Pimeom biieae tafomacije ([8.7]) j d ja w e d d e (8.5.) d pojašjot jue i -avi e peiava a pojašjot tae poubeoače poče u w -avi defiiae a d α θ α. Podužo opteećeje q' e i beoačoti peiava u taču α * R ψ π α. Pomoću ofomog peiavaja w w item e i w -avi peiava a podužo aeetiaje iad povode avi a pavcu R ψ.5( π α). 5

141 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta e j α e j ψ x j y ava w R u jv ava Kompei potecija u w -avi je jψ w e R u jv ava S aa ciidiča jua. πα q' w w j Φ * e πε w w w. (8.5.) Na veiim udajeotima od jue ( >> d ) ompei potecija je * q' w( d d ) Φ (8.5.3) * πε ( w w ) do je aa potecija q' ae ϕ gde je (8.5.4) πε evivaeti poupeči ovae tae a S. 8.. w( d d ) α a e d i (8.5.5) * w w * PRLOG 6 - ОDREĐVANJE NEGRALA a x m ax x a Rešeje itegaa obia a x m petpotavja e u obiu ([8.8]) x a ax a x x m a x a d x Q m ( x) a x a x a λ a x d x a x a (8.6.) gde je Q m b x poiom tepea m a λ epoata otata. 6 m

142 8. Pioi Rešeje itegaa a dee tae iaa (8.6.) je d x a ( ) a a a a a. (8.6.) a aa a x a a x a Difeeciajem iaa (8.6.) i ijedačavajem oeficijeata eve i dee tae a odeđivaje oeficijeata poioma Q m b... m i epoate otate λ može e fomiati pocedua euetog aatea bm ma b b b m ( ) a b ( ) a ( m.5) a b ( m ) a (.5) a ab λ ab. m m 3 m... PRLOG 7 - PRECZNJ ZRAZ ZA ODREĐVANJE SRUJE NA KRAJU LNEČNOG PROVODNKA (8.6.3) Za biže odeđivaje epoate apodee tuje a aju povodia pomata e bia uupe totae gutie tuje u atvoeom ciidičom domeu omeđeim atvoeom povšiom evog i deog baia povšie S B a π i povšie omotača S O πa S. 8.3a ([8.9]). Dome obuhvata deo povodia oji pipada itemu eetoda uemjivačog itema. Ao je pecifiča povodot povodia mogo veća od pecifiče povodoti ooe edie σ p >> σo može e matati da je veto gutie tuje opticaja J ot upava a povšiu povodia odoo a povšiu omotača S O. Shodo ovoj čijeici pema S. 8.3a pvi Kihofov ao dobija obi SB SO SB A ( ) J tot d S SB J ot d SO SB S S B SO A ot d ( ) B odoo (8.7.). (8.7.) ds O Jot ( ) J () A S B A Jot ( ) ' d (') S B B a) b) S utacija peciijeg odeđivaja tuje oticaja a aju ieičog povodia. Difeeciajem pethodog iaa dobija e ( ) ( ) (8.7.3) ot a ' ( ) () B 7

143 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta tj. može e ajučiti da je tuja oticaja po jediici dužie jedaa je egativom pvom ivodu epoate apodee tuje. Pethodo avedei uov oiti e a peciiju aateiaciju tuje a obodom aju povodia. Ao je aj pomataog povodia oboda i modeova poufeičim avšetom ao a S. 8.3b tada je ( ) ( ) J ( ) J ot ( ) (8.7.4) a π aπ odae edi da je ( ) a ( ). (8.7.5) PRLOG 8 - POENCJAL U OKOLN LNEČNOG OBRUČA OPCANOG SACONARNOM SRUJOM S Obuč optica tacioaom tujom. tačati tuji ivo a ojeg otiče uupa tuja tači M mešteoj u avi y je Pomata e uamjei ieiči obuč poupečia K ačije od žice užog popečog peea poupečia a mešte u edii pecifiče povodoti σ S Ciidiči oodiati item potavje je ao a S.8.4. S obiom a imetiju itema opavdao je petpotaviti da je gutia tuje oticaja taa i da e može odediti ao ot. (8.8.) K π Stuji eemet mešte a eemetu obuča d K d ψ ' u ooii tače A poaša e ao d d dψ'. Potecija ovog ivoa u ot ot K 8 d d ϕ 4πσd otk d ψ' 4πσd 4πσ ot K d ψ' K K. (8.8.) co ψ' ti potecija tvaa i tuji eemet u ooii tače A' imetiče tači A u odou a ava y pa e eutujući potecija može upepoicijom odediti ao ϕ dϕ π ot dψ' 4πσ K K K. (8.8.3) coψ' Dobijei ia važi u bio ojoj tači u ooii obuča. Uvođejem mee ψ' π α dobija e gde je π dψ' K K coψ' ( K ) i α ( K π π dα K( π ) ) (8.8.4) d α K ( π ) (8.8.5) i α potpui eiptiči itega pve vte i Pocedua opiaa u ovom piogu idetiča je ooj iožeoj u [8.] a tom aiom da e pomeuta aaia odoi a obuč avomeo opteeće podužim aeetiajem (eetotatiči potecija).

144 8. Pioi 4K (8.8.6) ( K ) jegov moduo. Koačo je potecija u ooii obuča a S. 8.4 π ϕ K( ) (8.8.7) π σ ( ) K gde je ot K π. PRLOG 9 - ODREĐVANJE EKVVALENNOG POLUPREČNKA PROVODNKA PRAVOUGAONOG POPREČNOG PRESEKA Evivaeti poupeči povodia pavougaoog popečog peea dimeija a i b može e pibižo odediti pomoću metoda pocee [8. 8.]. Kao pomoće eetode oite e upiaa i opiaa ciidiča eetoda S. 8.5 čiji u popeči peeci ofoae eipe pouoa a b a i i b i (a upiau eetodu) odoo (8.9.) a e a( a b) i b e b( a b) (a opiau eetodu). (8.9.) b i b e a i S Pavougaoi popeči pee povodia. Gaice itevaa ome pipada tača vedot poupečia u ai bi a b ae be a b a b aedoje aegoje 4 4. (8.9.3) Koačo je pibiža vedot evivaetog poupečia aedoje aegoje a b a b( ae 8 a b ). (8.9.4) Za a b dobija e a evivaeti poupeči vadatog popečog peea taice a i ( ) ( ) a e a. (8.9.5) 4 Opiaa pocedua može e pimeiti ao je povšia popečog peea tae S mi mm ([8.]). a e 9

145 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta PRLOG - ODREĐVANJE EKVVALENNOG POLUPREČNKA SSEMA ŽČANH PROVODNKA w C C jθ e (8..) a item atavje od N aveatih povodia mešteih u ieau ediu pecifiče povodoti σ a ojih otiče tuja poduže gutie ot S. 8.6 potecija e može apiati ao N ot w ( ) C (8..) πσ j( ) α gde je ae i α π N do je C otata čija vedot avii od iboa efeete tače [8.3]. Kao je a oovu tava o fatoiaciji poioma Pimeom fucije ompee pomejive N a N N ( ) a ompei potecija dobija e N N w ot ( a ) C πσ. (8..3) Eetiči aa potecija e ada odeđuje a oovu iaa ot N N N N ϕ Re( w) ( a a co Nθ) C. (8..4) 4πσN Pimeom pethodog iaa a potecija od uamjeog povodia potecija u tači A a S. 8.6 (a oodiatama x a y tj. a θ ) je gde je u 4 ot σ ot 3 ot ot y N ot ϕu A a ot α π/n ot θ x S Sitem žičaih povodia. u N N U Re( w) x R (( a ) R ) C (8..5) πσn y N uupa poduža tuja oticaja a itema. Kada e ioiti uov da je N N << aπ N može e apiati ) a Na pa je potecija uamjeog avea pibižo jeda N U u N Re( w) x R ( Na ) C. (8..6) πσn y Ao e umeto avea pomata ciidiča eetoda užog popečog peea evivaetog poupečia a e poduže tuje oticaja u i potecijaa jedaog potecijau avea može e potaviti ia u U ( ae ) C. (8..7) πσ Upoeđivajem iaa (8..6) i (8..7) a evivaeti poupeči itema aveatih povodia a S. 8.6 dobija e N e. (8..8) a a a N 3

146 8. Pioi PRLOG - LNEČN PROVODNK U PRSUSVU NEHOMOGENOS SEKORALNOG PA Pomata e ehomogea emja apoimiaa a dva vetiaa etoa paametaa / ) σ i ε i μ i σi σi j ωεi γ (jωμ i i σi (pecifiča povodot eetiča pemitivot mageta poputjivot ompea pecifiča povodot i ompea otata potiaja epetivo) i S Paametima vaduha pidužea je vedot idea i. Pava ieiča eetoda o oju potiče tuja () meštea je u edii. a a potecija u ooii eetode u tači M defiiaoj vetoom poožaja je obia [8.9] * ϕ ( ) i Fi πσ ( ) d 4 i i (8..) gde ide i defiiše ediu u ojoj e potecija odeđuje. Pi tome je * * F R R R i F 3 4 R (8..) gde u oeficijeti efeije i tamiije defiiai a iti ači ao u... odoo σ σ σ σ σ R R i. U iaima (8..) je σ σ σ σ σ σ m ( x x ) ( y y ) ( ( ) ) m m i (8..3) m m ( x x ) ( y y ) ( ( ) ) m 34 gde u x y i teuće oodiate duž pavca itegacije defiiaog otom ŝ. S Lieiča eetoda u ehomogeoj emji a dva vetiaa etoa. 8. LERAURA [8.] M. Abamowit. A. Stegu Hadboo of Mathematica Fuctio with Fomua Gaph ad Mathematica abe Dove Pubicatio c. New Yo 8 th Pitig Govemet Pitig Office th Pitig 97 pp [8.] M. S. Petović G. V. Miovaović Matematia a tudete tehičih fauteta-v deo Eetoi fautet u Nišu t.. [8.3] J. V. Suuta Eetomagetia Gađevia jiga Beogad 989 t. 58. [8.4] NASA Eath Sciece Office web page "Soi Moitue Retieva Agoithm" dotupo a: 3

147 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta [8.5] A. Ritić D. Petovači "Metod optimae etimacije adijua podemih itaacija i aateitia emjišta" Zboi adova L Kofeecije ERAN-a Heceg-Novi Ca Goa 4-7. jua 7. godie AU 3.. [8.6] M. Chouteau S. Beauieu A ivetigatio o appicatio of the eectica eitivity tomogaphy method to cocete tuctue Geophyic Lo Agee CA USA Api 5-9 dotupo a: phy.pdf. [8.7] D. M. Vei~ovi} "Equivaet eectode method appicatio i ootatioa fied theoy" Fouth t. Symp. of Appied Eectotatic ПEC 96 Ni{ Yugoavia May Poc. of Pape pp 5-3. [8.8] D. S. Mitiović Matematia u obiu metodiče bie adataa a ešejima Gađevia jiga Beogad 989 t. 93. [8.9] P. D. Račić "A ew cocept fo iea goudig ytem aayi" Fouth t. Symp. of Appied Eectotatic ПEC 96 Ni{ Yugoavia May Poc. of Pape pp 3-6. [8.] D. M. Veičović i aadici: Z. Ž. Cvetović N. B. Raičević S. S. ić V. L. Javo N. N. Cvetović D. G. Zuić Zbia ešeih ipitih adataa i Eetomagetie deo Eetoi fautet u Nišu Niš t [8.] J. V. Suuta D. M. Veičović "Jeda umeiči potupa a iačuavaje otpooti uemjeja tooidaih uemjivača" X Međuaodi Simpoijum o obadi podataa N- FORMACA Bed Jugoavija Zboi adova 977. [8.] D. M. Veičović "Pimea metoda evivaete eetode a ešavaje pobema uemjivača" Eetotehia 3 boj t

148 9. LERAURA [] M. Abamowit. A. Stegu Hadboo of Mathematica Fuctio with Fomua Gaph ad Mathematica abe Dove Pubicatio c. New Yo 8 th Pitig Govemet Pitig Office th Pitig 97. [] C. Baai Advaced Egieeig Eectomagetic Joh Wiey & So New Yo-Chichete-Bibae-ooto-Sigapoe 989. [3]. Bojović N. Mijušović "Kaateitie pteatih i aatih uemjivača a tubove ademih vodova () V" XV Savetovaje JUKO CGRE Saajevo 979 Ref. 3.. [4] E. Boidy "Soutio of Some Eectotatic Potetia Pobem vovig Spheica Coducto: A Dua Seie Appoach" EEE a. o EMC Vo. 9 No. 987 pp [5] R. C. Botto J. Computatioa Method fo Eectomagetic ad Micowave Joh Wiey & So c. New Yo-Chichete-Bibae-ooto-Sigapoe 99. [6] В. В. Бургсдорф А. И. Якобс Заземляющие устройства-електроустановок Енергоатомиздат Москва 987. [7] M. Chouteau S. Beauieu A ivetigatio o appicatio of the eectica eitivity tomogaphy method to cocete tuctue Geophyic Lo Agee CA USA Api 5-9 dotupo a: phy.pdf [8] N. N. Cvetović "Liea goudig ytem: Quai-tatioa tuctue of Het' vecto ad eectic caa potetia" teatioa PhD Semia "Numeica fied computatio ad optimiatio i eectica egieeig" Ohid Macedoia Septembe -5 5 Poc. of Fu Pape pp [9] N. N. Cvetović P. D. Račić "A Simpe Mode fo Numeica Detemiig of Eectica Chaacteitic of a Pia Foudatio Goudig Sytem" 6-th teatioa Cofeece o the Computatio of Eectomagetic Fied-COMPUMAG Jue Aache Gemay Poceedig pp [] N. N. Cvetović P. D. Račić "A impe mode fo a umeica detemiatio of eectica chaacteitic of a pia foudatio goudig ytem" ad pihvaće a objavjivaje u čaopiu Egieeig Aayi with Bouday Eemet -EABE idavač ELSEVER. [] N. N. Cvetović P. D. Račić "Coductive emi-phee ad iea goud eectode a pia foudatio goudig ytem" 8 th teatioa Cofeece o Appied Eectomagetic ПEC 7 Niš Sebia Septembe Poceedig of Pape (CD) Pape O3-6. [] N. N. Cvetović P. D. Račić "Pteati uemjivač apaja oim emjovodom: vaitacioai atei mode" Zboi adova L Kofeecije ERAN-a Heceg-Novi Ca Goa 4-7. jua 7. godie AP.3. [3] N. N. Cvetović P. D. Račić "Couped Liea Goudig Sytem: Quaitatioay Atea Mode" XL teatioa Scietific Cofeece o fomatio Commuicatio ad Eegy Sytem ad echoogie - CES 7 Jue Ohid Macedoia Poc. of pape Vo. pp

149 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta [4] N. N. Cvetović P. D. Račić "fuece of the emi-pheica emi-coductig goud ihomogeity o the goudig chaacteitic" V teatioa Sympoium o Eectomagetic Compatibiity-EMC BARCELONA '6 5-9 Sep. 6 Poc. of pape pp [5] N. N. Cvetović P. D. Račić: "Sige wie goudig eectode i the peece of emipheica ihomogeity" teatioa PhD Semia Computatioa Eectomagetic ad echica Appicatio Baja Lua Boia ad Heegovia Augut 8-Septembe 6 Poceedig of Fu Pape pp dotupo a: [6] N. N. Cvetović P. D. Račić "he fuece of Semi-Spheica homogeity o the Liea Goudig Sytem Chaacteitic" FACA UNVERSAS Se Eec. Eeg Vo. No. Septembe 7 pp [7] N. N. Cvetović P. D. Račić "he poit goud eectode i viciity of the emi-pheica ihomogeity" Sebia Joua of Eectica Egieeig Vo. No. Nov. 5 pp [8] N. N. Cvetović P. D. Račić "Uticaj poufeičog temeja tuba a eetiče aateitie otuog užog ieičog uemjivača" Zboi adova L Kofeecije ERAN-a Beogad 6-9. jua 6. godie Svea t [9] Web peetacija fime ELEKROZGRADNJA Bajia Bašta "Amiao betoi motaži temeji EBB-M" dotupo a: EBB-M.htm [] G. Faiweathe G A. Kaageoghi "he method of fudameta outio fo eiptic bouday vaue pobem" Advace i Computatioa Mathematic Vo pp [] J. Gaei "Vaiatioay computed atea impedace ad accuacy of eutig cuet ditibutio" Eectoic Lette Vo. 4 No. 97 pp. -4. [] Lj. Geić "Kaateitie pteatih uemjivača" JUNAKO CGRE Ref. -7 t [3]. N. Giao M. P. Sama "Effect of two aye eath o the eectic fied ea HVDC eectode" Vo. PAS 9 No [4] V. A. Govoov Электрические и Магнитние полей Eegia 68 Mova. [5] J. Haeie K.. Nioie. V. Lide "Eectotatic image theoy fo two aiotopic haf-pace" Eectica Egieeig Voume 88 5 pp. -. [6] L. Haaam " Agemeie Löug de Radwetpobem fü eie Kuge duch tegatio de ugetöte eegede Fede" Achiv fü Eetotechi Vo. 54 No pp [7] L. Haaam N. Saaji "Stöug de Potetiaveteiug de tombechicte Edeiche duch Eeichüße" Achiv fü Eetotechi Vo. 68 No. 985 pp [8] R. F. Haigto Fied Computatio by Momet Method he Macmia Compay New Yo 969. [9] R. J. Hеppe Step potetia ad body cuet ea goud i two-aye eath EEE a. of PAS Vo. 98 No. 979 pp [3] А.В.Корсунцев К.И.Покровская: "Методика расчёта сопротивлений заземления железобетонньх фундаментов" Ел. станций 968 No.. [3] Г. А. Лавров А. С. Кнйазев Приземние и Подземние Антенй: Теорийа и Практика Антенн Размесхцхенникх Вблизи Поверкхности Земли Советское Радио Москва 965. [3]. V. Lide "Eectotatic image theoy fo the dieectic phee" Radio Sci. Vo. 7 No. 99 pp

150 9. Liteatua [33] J. C. Maxwe A eatie o Eectity ad Magetim Macmia ad Co. Pubihe to the Uiveity of Oxfod 873. [34] J. R. Maut "Vaiatioa apect of the eactio i the Method of Momet" EEE aactio o Atea ad Popagatio Vo. 4 No. 994 pp [35] B. H. McDoad M. Fiedma A. Wexe "Vaiatioa outio of itega equatio" EEE aactio o Micowave theoy ad techique Vo. M- No pp [36] R. Mita (Ed.) Compute echique fo Eectomagetic Pegamo Pe Oxfod-New Yo-ooto-Sidey-Bauchweig 973. [37] D. S. Mitiović Matematia u obiu metodiče bie adataa a ešejima Gađevia jiga Beogad 989. [38] J. Nahma "Digita cacuatio of eathig ytem i ouifom oii" Achiv fü Eetotechi Vo pp [39] J. Nahma Uemjeje eutae tače ditibutivih meža Nauča jiga Beogad 98 [4] NASA Eath Sciece Office web page "Soi Moitue Retieva Agoithm" dotupo a: [4] M. Nieg Edugaage i Schichtböde Eectica Egieeig Vo. 8 No pp [4] M. S. Petović G. V. Miovaović Matematia a tudete tehičih fauteta-v deo Eetoi fautet u Nišu. [43] B. Popović "Poyomia Appoximatio of Cuet Aog hi Symmetica Cyidica Dipoe" poc. EE Vo. 7 No 5 97 pp [44] B. D. Popović Z. D. Popović "hi cyidica atea: vaiatioa outio with poyomia cuet Appoximatio" he Radio ad Eectoig Egiee Vo. 3 No pp [45]. Radojičić Betoe otucije Poveta Niš 98. [46] P. D. Račić "Atei mode a vaitacioau aaiu uemjivačog itema tuba" ehiči iveštaj L-GS-8 Laboatoija a eetiče itaacije i ovetjeje Eetoi fautet Uiveitet u Nišu 7. [47] P. D. Račić "A ew cocept fo iea goudig ytem aayi" Fouth t. Symp. of Appied Eectotatic ПEC 96 Ni{ Yugoavia May Poc. of Pape pp [48] P. D. Račić "A poit goud eectode i the peece of pheica goud ihomogeity: aayi of two appoximate coed fom outio fo eectica caa potetia" teatioa PhD Semia Computatioa Eectomagetic ad echica Appicatio Baja Lua Boia ad Heegovia Augut 8-Septembe 6 Poc. of Pape pp. 3-3 dotupo a: [49] P. D. Račić "Jeda jedotava mode ciidičog temejog uemjivača tuba" ehiči iveštaj L-GS-4 Laboatoija a eetiče itaacije i ovetjeje Eetoi fautet Uiveitet u Nišu 7. [5] P. D. Račić "Oovi iai a iačuavaje tutue EM poja poivojo potavjeog Hecovog dipoa u ehomogeoj emji oja je apoimiaa a N homogeih i iotopih ojeva-vaitacioaa aaia" ehiči iveštaj EH-RP-EM-b Laboatoija a eetiče itaacije i ovetjeje Eetoi fautet Uiveitet u Nišu Jaua 998. [5] P. D. Račić "Vaijacioa aaia ieičog uemjivačog itema (US)" ehiči iveštaj L-GS- Laboatoija a eetiče itaacije i ovetjeje Eetoi fautet Uiveitet u Nišu 7. 35

151 N. N. Cvetović: Piog modeovaju uemjivačih itema u piutvu poufeiče i ciidiče ehomogeoti ta [5] P. D. Račić Eetiče itaacije u gadama-uemjeja i uemjivači Moogafija u pipemi Laboatoija a eetiče itaacije i ovetjeje Eetoi fautet Uiveitet u Nišu 8. [53] P. D. Račić N. N. Cvetović "Cuet Ditibutio ad mpedace of Rig Eectode Pia Goudig Sytem: Quaitatioay Atea Mode " 8th teatioa Cofeece o eecomuicatio i Mode Sateite Cabe ad Boadcatig Sevice ELSKS 7 Septembe 6-8 Niš Sebia Poceedig of pape Vo pp [54] P. D. Račić S. Z. Djoić Z. P. Stajić "Vetica goud od (VGR) i ihomogeeou eath of ectoa type" E. Lette Vo. 3 No pp [55] P. D. Račić Z. P. Stajić "Počata uemjivača eetoda u ehomogeoj emji etoaog tipa" XX Simpoijum JUKO - CGRE '95 Secija -Vodovi i Potojeja Vjača Baja Jugoavija -7. Maj 995 Zboi adova t. R3-3/-8. [56] P. D. Račić Z. P. Stajić Dj. R. Djodjević B. S. ošić "Aayi of iea goud eectode paced i vetica thee-aye eath" EEE a. o Magetic Vo. 3 No pp [57] P. D. Račić L. V. Stefaović Dj. R. Djodjević "A ew mode of the vetica goud od i two-aye eath EEE a. o Magetic Vo. 8 No. 99 pp [58] P. D. Račić L. V. Stefaović Dj. R. Djodjević "A impoved iea goudig ytem aayi i two-aye eath" EEE a. o Mag. Vo. 3 No pp [59] P. D. Račić L. V. Stefaović Dj. R. Djodjević D. J. Gobović "A ew mode of the hoiota ie goud wie i two-aye eath" 9th Cof. o the Computatio of EM Fied COMPUMAG'93 Miami Foida USA Oct. 3 - Nov Poc. pp. -3. [6] P. D. Račić M. O. Veeiović Z. P. Stajić Dj. R. Djodjević "Aayi of two couped goudig ytem: iea goudig ytem ad pate goud eectode" t. Symp. o Eectomagetic Compatibiity EMC '96 Roma tay Sept Poc. pp [6] K. Reiß "Defomatio de Potetiafede eie Putadug duch eie ugefömige Mateia homogeität" Achiv fü Eetotechi Vo. 74 No. 99 pp [6] K. Reiß "Kaftwiuge ud Bahuve i eiem Eetomechaiche Kuge-Putadug-Sytem" Achiv fü Eetotechi Vo pp [63] J. Ribič J. Podipi "Uemjeje i egativi učici upotebe pocičaih uemjivača u temejima objeata" Web peetacija Kompaije Hemi dotupo a: Defaut.apx [64] J. H. Richmod "O the vaiatioa apect of the Momet Method" EEE aactio o Atea ad Popagatio Vo. 39 No pp [65] A. Ritić D. Petovači "Metod optimae etimacije adijua podemih itaacija i aateitia emjišta" Zboi adova L Kofeecije ERAN-a Heceg-Novi CaGoa 4-7. jua 7. godie AU 3.. [66] M. N. O. Sadiu Numeica echique i Eectomagetic Secod Editio CRC Pe Boca Rato-Lodo-New Yo-Wahigto D.C.. [67] J. C-E. Ste. V. Lide "Eectotatic image theoy fo the dieectic phee with a itea ouce" Micowave ad optica techoogy ette Vo 5 No. Octobe 99 pp [68] J. A. Statto Eectomagetic theoy Mc Gow-Hi Boo Compay New Yo /Lodo 94. [69] J. V. Suuta Eetomagetia Gađevia jiga Beogad

152 9. Liteatua [7] J. V. Suuta D. M. Veičović "Jeda umeiči potupa a iačuavaje otpooti uemjeja tooidaih uemjivača" X Međuaodi Simpoijum o obadi podataa N- FORMACA Bed Jugoavija Zboi adova 977. [7]. aahima. Naae R. hibahi "High fequecy chaacteitic of impedace to goud ad fied ditibutio of goud eectode" EEE aactio o Powe Appaatu ad Sytem Vo. No pp [7] H. Uhma (Ed.) D. M. Veičović K. Badiy R. D. Statcheva H. Baue Fudameta of Mode Eectomagetic fo Egieeig-extboo fo Gaduate Studet Pat : Static ad Statioay Eectica ad Magetic Fied echica Uiveity meau/gemay 5. [73] D. M. Veičović Eetomagetia-Pva Svea idaje Eetoi fautet u Nišu 999. [74] D. M. Veičović "Equivaet eectode method" Scietific Review Begade 996 pp [75] D. M. Vei~ovi} "Equivaet eectode method appicatio i ootatioa fied theoy" Fouth t. Symp. of Appied Eectotatic ПEC 96 Ni{ Yugoavia May Poc. of Pape pp [76] D. M. Veičović "Gee' fuctio of pheica body" Euo Eectomagetic EUROEM '94 May 3 Jue Bodeaux Face Cof. Poc. Hp-9-4. [77] D M. Veičović Metodi a poaču eetotatčih poja Kjiga pva Sti-Podvi Niš 98. [78] D. M. Veičović "Numeiči i pibiži metodi a ešaavaje pobema eetotatie" Jugooveo avetovaje o tatičom eeticitetu ELEKROSAKA 78 Otoba 978 Beogad Zboi adova t. -4. [79] D. M. Veičović "Pimea metoda evivaete eetode a ešavaje pobema uemjivača" Eetotehia 3 boj t [8] D. M. Veičović "he equivaet eectode method" 34. teatioa Sympoium heoetiche Eetotechi 6-3. Octobe 98 meau DDR Poceedig Vo. pp [8] D. M. Veičović "he ifuece of emicoductig pheica body to the goudig" Poceedig of Eegy Efficiecy Foum Jue Vaa Bugaia. [8] D. M. Veičović i aadici: Z. Ž. Cvetović N. B. Raičević S. S. ić V. L. Javo N. N. Cvetović D. G. Zuić Zbia ešeih ipitih adataa i Eetomagetie deo Eetoi fautet u Nišu Niš. [83] ZBRKA EHNČKH PREPORUKA ED SRBJE Beogad. 37

153

154 Универзитет у Нишу Универзитетска библиотека Овај текст је део Дигиталног репозиторијума јавно је доступан и може се слободно користити за личне потребе у образовне и научне сврхе. Ако користите текст наведите извор. Комерцијална употреба текста није дозвољена. Uiveity of Niš Uiveity Libay hi text i a pat of the Digita epoitoy of pubic domai. Pemiio i gated fo peoa educatioa ad cietific ue. f you do ue the documet idicate the ouce. No pemiio i gated fo commecia ue. Новембар УБН UBN Novembe