Parametrizacija krivih u ravni

Транскрипт

1 Analitička geometrija Predavanje 5 Parametrizacija krivih u ravni Novi Sad, Milica Žigić (DMI, PMF, UNS 2020) Analitička geometrija predavanje 5 1 / 14

2 Parametrizacija krivih u ravni Parametarski zadata kriva Neka su f, g : I R R neprekidne 1 funkcije nad intervalom I. Skup tačaka u ravni (x, y) = (f (t), g(t)), t I nazivamo parametarski zadata kriva u (koordinatnoj) ravni. Jednačine x = f (t) i y = g(t), t I se nazivaju parametarske jednačine krive, promenljiva t je parametar krive, a interval I je domen parametra. Ako je I zatvoren interval, I = [a, b], a < b onda je (f (a), g(a)) početna tačka, dok je (f (b), g(b)) krajnja tačka krive. Kada zadamo parametarske jednačine i odredimo domen parametra, kažemo da smo parametrizovali krivu. Odnosno, jednačine i domen parametra čine parametrizaciju krive. * Parametar t može da se interpretira kao vreme, ili ugao,... 1 obično se traži i više, npr. neprekidna diferencijabilnost koordinatnih funkcija Milica Žigić (DMI, PMF, UNS 2020) Analitička geometrija predavanje 5 2 / 14

3 Parametrizacija krivih u ravni, primeri 1 prava x = t, y = 2t, t R x = t 2, y = t, t R... sporije kretanje me dutim, i ovim jednačinama dobijamo isti skup rešenja u ravni, tj. istu krivu x = t, y = 2t, t R... drugi smer dakle, parametrizacija nije jedinstvena Primetimo da parametrizacijom krive dobijamo i informaciju o orjentaciji (usmerenju) krive Na primer, ako bi kriva opisivala položaj čestice u ravni u vremenu t, onda bi nam parametrizacija otkrila i smer kretanja čestice Parametrizacija, tako de, daje i informaciju o "brzini" kretanja čestice Dakle, ako krivu opišemo parametarskim jednačinama onda mi o njoj dobijamo i dodatne informacije koje nemamo u kanonskim jednačinama Milica Žigić (DMI, PMF, UNS 2020) Analitička geometrija predavanje 5 3 / 14

4 Parametrizacija krivih u ravni, primeri 2 parabola 3 pola parabole x = t, y = t 2, t R drugi smer... x = t, y = t 2, t R veća brzina kretanja... x = 3t, y = 9t 2, t R x = t, y = t 2, t [0, ) x = t, y = t, t 0 promena domena parametra I se koristi za izdvajanje dela kriva, ali voditi računa i o definisanosti f-ja f i g nad I Milica Žigić (DMI, PMF, UNS 2020) Analitička geometrija predavanje 5 4 / 14

5 Parametrizacija krivih u ravni, primeri 4 jedinična kružnica x = cos t, y = sin t, t [0, 2π) drugi smer... x = cos t, y = sin t, t [0, 2π) parametar t uvek ide od manjeg ka većem broju, npr. t [a, b], a < b 5 centrirana kružnica x = r cos t, y = r sin t, t [0, 2π) donja polukružnica... x = r cos t, y = r sin t, t [0, π] ili x = t, y = r 2 t 2, t [ r, r] primetimo da kada koristimo ovu vrstu parametrizacije, za celu kružnicu nam trebaju dve parametrizacije (i y = + r 2 t 2 ) Milica Žigić (DMI, PMF, UNS 2020) Analitička geometrija predavanje 5 5 / 14

6 Parametrizacija krivih u ravni, primeri 6 centrirana elipsa x = a cos t, y = b sin t, t [0, 2π) zaista, tada za svako t [0, 2π) važi a 2 cos 2 t a 2 + b2 sin 2 t b 2 = 1 7 centrirana hiperbola desna grana... x = a, y = b tg t, cos t leva grana... t ( π/2, π/2) x = a, y = b tg t, cos t t ( π/2, π/2) zaista, a 2 a 2 cos 2 t b2 tg 2 t b 2 = 1 sin2 t cos 2 t = 1 Milica Žigić (DMI, PMF, UNS 2020) Analitička geometrija predavanje 5 6 / 14

7 Cikloida Cikloida Neka se točak poluprečnika a kotrlja po ravnoj podlozi. Označimo sa P tačku koja je fiksirana na rubu točka. Odrediti parametarske jednačine krive koja opisuje kretanje tačke P dok se točak kotrlja po podlozi. Dobijena kriva se naziva cikloida (cikloid). t ugao za koji je točak zarotiran M(x M, 0) projekcija centra C na x osu nakon rotacije za ugao t, te x M odgovara dužini kružnog luka nad uglom t dakle, x M = t 2π O = t 2π 2aπ = at C(at, a) centar točka nakon rotacije za ugao t Konačno, važi P(at + x, a + y ), gde je x = a cos φ, y = a sin φ, φ = 3π 2 t P(at+a cos( 3π 2 t), a+a sin( 3π 2 t)), t R P(at a sin t, a a cos t), t R Milica Žigić (DMI, PMF, UNS 2020) Analitička geometrija predavanje 5 7 / 14

8 Cikloida Cikloida je kriva u ravni data parametarskim jednačinama x = at a sin t, y = a a cos t, t R cikloida Desmos... cikloida Milica Žigić (DMI, PMF, UNS 2020) Analitička geometrija predavanje 5 8 / 14

9 Cikloida je i brahistohrona putanja po kojoj se kreće telo od O do B pod dejstvom sile gravitacije za najkraće vreme je i tautohrona telo koje krene iz O i telo koje krene iz C (bez početne brzine) će za isto vreme stići do B koristeći ovaj princip povećana je preciznost časovnika sa klatnom Milica Žigić (DMI, PMF, UNS 2020) Analitička geometrija predavanje 5 9 / 14

10 Primer 1, kriva veštice Anjezi Neka je data kružnica poluprečnika 1 sa centrom u (0, 1). Proizvoljnu tačku A na pravoj y = 2 povežemo sa koordinatnim početkom O i sa B obeležimo presek date kružnice i duži OA. Tačka P se dobija kao presek vertikalne prave kroz tačku A i horizontalne kroz tačku B. Odrediti jednačinu krive koja opisuje položaj tačke P u ravni dok tačka A ide duž prave y = 2. Napomena: Ime krive je nastalo kao greška pri prevodu sa latinskog, pravilan prevod bi bio "uže koje vraća jedro". Mogu se koristiti sledeće činjenice: d(a, B) d(o, A) = d 2 (A, Q), gde je Q(0, 2); zatim, za tačku P(x, y) važi x = d(a, Q), y = 2 d(a, B) sin t, gde je t ugao koji duž OA gradi s pozitivnim delom x ose. Milica Žigić (DMI, PMF, UNS 2020) Analitička geometrija predavanje 5 10 / 14

11 Primer 1, kriva veštice Anjezi Odredimo prvo d(a, Q). Iz pravouglog trougla OAQ vidimo da je OAQ = t, te je ctg t = d(a,q) d(o,q), odnosno x = d(a, Q) = 2ctg t Odredimo zatim i d(a, B). Iz d(a, B) d(o, A) = d 2 (A, Q) dobimao da je d(a, B) = d 2 (A,Q) d(o,a) = d 2 (A,Q) = 4ctg2 t = 2 cos2 t d 2 (O,Q)+d 2 (A,Q) sin t. Dakle, y = 2 2 cos2 t sin t 4+4ctg 2 t sin t = 2(1 cos 2 t) = 2 sin 2 t Primetimo, s obzirom da prava p(o, A) seče pravu y = 2, dobijamo da t (0, π) Milica Žigić (DMI, PMF, UNS 2020) Analitička geometrija predavanje 5 11 / 14

12 Primer 1, kriva veštice Anjezi Konačno, parametrizacija krive veštice Anjezi (na crtežu zeleno) je data sa x = 2ctg t, y = 2 sin 2 t, t (0, π) Milica Žigić (DMI, PMF, UNS 2020) Analitička geometrija predavanje 5 12 / 14

13 Primer 2, involuta kružnice Ako zicu namotanu oko kalema (kružnice) pustimo da se odmota, njen kraj će prilikom odmotavanja opisivati involutu kružnice u ravni (ovde se zanemaruje debljina zice). Neka je kalem kružnica x 2 + y 2 = 1, a kraj zice neka je tačka P(x, y) koja je u početnom momentu, dok je još žica namotana P 0 (1, 0). Pri odmotavanju žica je uvek tangentna na kružnicu u tački žice Q koja poslednja još uvek dodiruje kružnicu. Neka je sa t obeležen ugao koji gradi duž OQ sa pozitivnim delom x ose. Odrediti parametarske jednačine involute kružnice izražavajući koordinate tačke P(x, y) u zavisnosti od t, t 0. Primetimo: važi Q(cos t, sin t), t 0 zatim, za tačku P(x, y) važi P(cos t + x, sin t y ) gde je x = d(p, Q) cos φ, y = d(p, Q) sin φ d(p, Q) odgovara dužini kružnog luka P 0 Q nad uglom t, odnosno d(p, Q) = t 2π 2π = t na kraju, važi φ = π/2 t Milica Žigić (DMI, PMF, UNS 2020) Analitička geometrija predavanje 5 13 / 14

14 Primer 2, involuta kružnice Dakle, za tačku P važi P(cos t + t cos(π/2 t), sin t t sin(π/2 t)), t 0. Konačno, parametrizacija involute kružnice (na crtežu crveno) je data sa x = cos t + t sin t, y = sin t t cos t, t 0 Milica Žigić (DMI, PMF, UNS 2020) Analitička geometrija predavanje 5 14 / 14