Pitanje 28: Diskretna Fourer-ova transformacija

Величина: px
Почињати приказ од странице:

Download "Pitanje 28: Diskretna Fourer-ova transformacija"

Транскрипт

1 Pianje 28: Diskrena Fourer-ova ransformacija Videli smo u prehodnim predavanjima u kojoj meri je frekvencijska analiza signala korisna sa aspeka analize i filracije signala. Pri ome je ključni rezula sadržan u Fourier-ovoj ransformacij prilagođen isključivo koninualnim signalima. Ouda se posavlja pianje, da li je moguće sličnu ili odgovarajuću ransformaciju razvii i za diskrene signale, i na aj način ovakvu ransformaciju prilagodii računarima koji su u sanju da operišu samo sa diskrenim nizom brojeva. Sa akvom namerom nasala je ransformacija koja se naziva Diskrena Fourier-ova ransformacija, i koja se u lierauri česo označava kao DF. Ovu ćemo ransformaciju izložii u nekoliko koraka, polazeći od dobro poznae Fourier-ove ransformacije koja je razvijena za koninualne signale. Dakle, preposavimo da nam je na raspolaganju jedan koninualni signal x() definisan za svako R, i da smo alaom koji nam je dobro pozna, dakle primenom analiičke relacije Fourier-ove ransformacije, odredili njegov Fourier-ov ransformacioni par. Dalje X ( j ) preposavimo da je signal x() realni signal, šo nije neko veliko ograničenje, s obzirom da se u ehnici uglavnom i bavimo realnim signalima, e ouda znamo da će moduo funkcije X ( j ) bii parna funkcija učesanosi, a argumen neparna funkcija: ( ) ( ) X j = X j (.) arg{ X ( j )} arg{ X ( j )} = (.2) Na slici. je prikazan koninualni signal x( ) a na slici.2 je prikazana njegova Fourier-ova ransformacija. U opšem slučaju bi slika.2 rebalo da sadrži dva grafika (i ampliudu i fazu Fourier-ove ransformacije), međuim pošo smo po slici. preposavili da je signal x() paran, njegova fazna karakerisika je konsanna i jednaka nuli, pa je i ne cramo. Sa druge srane, ova činjenica nije bina sa sanoviša ransformacije koju želimo da izvedemo, pa će dobijeni rezula važii i za signale proizvoljne fazna karakerisike. x( ) Slika.: Realni koninualni signal

2 X ( j ) Slika.2: Spekar signala x( ) U želji da dobijene rezulae prilagodimo računarskoj obradi signala, neophodno je signal x( ) diskreizovai, sa pogodno izabranom periodom diskreizacije (odabiranja). Kako je već objašnjeno u prehodnim predavanjima, model diskreizacije je najjednosavnije sprovesi ako šo x pomnožii se beskonačnom, periodičnom povorkom Dirakovih impulsa ćemo originalni signal ( ) koji su ekvidisanni sa periodom ponavljanja. Ako sa p( ) označimo ovu povorku odbiraka, P( j ) će bii odgovarajuća Fourier-ova ransformacije, pri čemu je: () = δ ( ) p k k = U pianju je periodičan signal, pa se može predsavii Fourier-ovim redom: 2 /2 π p() = ake ; = ; a = p() e k = jk jk k /2 Ouda je Fourier-ova ransformacija ovog periodičnog signala: 2 k k= ( ) = ( ) = ( ) P j πa δ k δ k ; k= (.3) = (.4) = (.5) Oblik povorke impulsa p( ) i odgovarajućeg spekra P( j ) su prikazani na slici.3 i.4. p ( ) Slika.3: Periodična povorka Dirakovih impulsa

3 P ( j ) Slika.4: Spekar periodične povorke Dirakovih impulsa Kao rezula odabiranja dobili smo signal y: ( ) () = () () = ( ) δ ( ) y x p x k k k = (.6) Spekar signala y () je moguće odredii na osnovu osobine Fourier-ove ransformacije koja kaže da ako se dva signala množe u vremenskom domenu, ada njihovi ransformacioni parovi ulaze u konvoluciju: Y j X j P j X j k ( ) = ( ) * ( ) = ( ) * δ ( ) k = = X j k d X j k = k= ( λ) δ ( λ) λ ( ( ) ) k= (.7) ime akođe dobijamo poznai rezula koji smo nazvali aliasing efekom, da nakon odabiranja signala u vremenskom domenu, kao posledicu dobijamo periodično ponavljanje spekra, sa perioddom ponavljanja 2 π / Y j su prikazani na slikama.5 i.6. =. Signal y ( ) i njegov spekar ( ) ( ) = x( ) p( ) y Slika.5: Signal y () dobijen nakon odabiranja signala x()

4 Y( j ) /2 Slika.6: Spekar signala y ( ) Naš cilj da prilagodimo Fourier-ovu ransformaciju računarskoj obradi je samo delimično završen. Sada signal y predsavlja povorku odbiraka, i s obzirom da on ima vrednosi različie od nule () samo u renucima koji su celi umnošci periode odabiranja, njega je lako memorisai u računaru. Međuim, problem je aj da ovih odbiraka ima beskonačno mnogo, šo znači da nam je porebna beskonačno velika računarska memorija. aj problem se rešava ako šo ćemo zadržai samo N odbiraka signala y. Najjednosavniji način da modeliramo ovaj posupak jese da signal y () ( ) pomnožimo signalom w ( ) koji se u lierauri naziva pravougaonom prozorskom funkcijom. Ovaj signal je prikazan na slici.7. Širina pravougaonog prozora je jednaka o = N ako da se zaisa od beskonačno mnogo odbiraka signala y čuva samo njih N. Porebno je odredii i spekar signala w: ( ) ( ) j /2 /2 j j e 2sin /2 sinc /2 j 2 /2 W ( j ) = w( ) e d = e d = = = (.8) Spekar prozorske funkcije w ( ) prikazan je na slici.8. w ( ) /2 /2 Slika.7: Pravougaona prozorska funkcija w ( )

5 W ( j ) / Slika.8: Spekar pravougaone prozorske funkcije dužine Sada se kao rezula primene prozorske funkcije, umeso signala y ( ) dobio signal z () : ( ) y( ) w( ) z = (.9) koji ima dve dobre osobine: može se upamii kao povorka odbiraka i ih odbiraka ima konačno y mnogo. Sa druge srane, spekar signala z ( ) se sada dobija kao konvolucija spekara signala ( ) i w: ( ) Z ( j ) Y( j) W( j) Y( jλ) ( λ) ( λ) ( λ) = * = sinc = X ( j( λ k) ) sinc dλ k = 2 N = X ( j( λ k )) sinc dλ k = 2 2 dλ (.) Poslednji izraz nije jednosavno sračunai za proizvoljnu funkciju X ( j ), međuim, možemo dai ( sledeće umačenje. Funcija sinc / 2) sa povećanjem paramera odnosno sa povećanjem N = /, sve više i više liči na Dirakov impuls. Dakle, u graničnom slučaju kada bi, spekar signala z () bi bio ideničan spekru signala y, ( ) međuim, zbog konačnog paramera N, funkcija sinc ( / 2) ima 'repove' zbog kojih će spekar Z ( j ) da liči na spekar Y( j ) ali će se primeii mala razlika u obliku alasanja. Ova alasanja se u lierauri nazivaju 'rippling' i reba z i zapamii da je njihov efeka uoliko manji ukoliko je prozorska funkcija šira. Oblik signala ( ) njegovog spekra da je na slikama.9 i..

6 ( ) = y( ) w( ) z /2 /2 Slika.9: Signal z ( ) nakon primene prozorske funkcije Z ( j ) /2 /2 Slika.: Spekar signala z ( ) sa pojavom rippling-a ime smo obezbedili da signal z () u vremenskom domenu bude popuno prilagođen primeni računara, međuim, ne zaboravimo da je spekar signala Z ( j ) još uvek koninualna funkcija učesanosi. U želji da i ovu funkciju učinimo diskrenom, možemo je pomnožii, u frekvencijskom domenu sa periodičnom povorkom Dirakovih impulsa. Pri ome, opše prihvaćena ideja je da ukoliko imamo N odbiraka signala u vremenskom domenu, da sačuvamo i N odbiraka spekra u frekvencijskom domenu. Zbog oga ova povorka impulsa u diskrenom domenu reba da bude na ekvidisannom frekvencijskom odsojanju od / N = 2 π / ( N ) = 2 π /. Zao uvedimo signal g( ), čiji je spekar da sledećom relacijom: ( ) = δ ( / ) G j k N k = (.) Primenom inverzne Fourier-ove ransformacije, ili još lakše po analogiji sa signalom p( ) i njegovim spekrom P( j ), lako dolazimo do zaključka da će i signal g( ) bii periodična povorka Dirakovih impulsa sa periodom ponavljanja 2 π /( /N) = N = : k = () = δ ( ) g k (.2)

7 Vremenski oblik signala g( ) i njegovog spekra dai su na slikama. i.2. g ( ) Slika.: Vremenski oblik signala g( ) G( j ) / Slika.2: Spekar signala g( ) Množenjem signala G( j ) novodobijenog signala x( ) i Z ( ), X ( j ): j u frekvencijskom domenu, jasno je kakav će bii spekar ( ) Z j ; = k / N ( ) ( ) = = δ ( / ) ; inače k N (.3) k = X j Z j Međuim, zanimljivo je ša se dobija u vremenskom domenu nakon množenja signala u frekvencijskom domenu, drugim rečima zanima nas oblik novodobijenog signala x (). Poznao nam je da, ukoliko se signali množe u frekvencijskom domenu, da u vremenskom domenu oni ulaze u konvoluciju. Drugim rečima signal x () se može napisai kao konvolucija signala z () i g( ) : () = ()* () = ()* δ ( ) = ()* δ ( ) x z g z k z k ( ) = z k k = k= k= (.4)

8 posai periodičan sa periodom ponavljanja, pri čemu će u osnovnom šo znači da će signal x() vremenskom području [ /2, /2] vrednos signala z ( ) i x( ) muliplikaivna konsana.4. x () i njegov spekar X ( j ). Signal bii idenični, ako se izuzme su prikazani na slikama.3 i x ( ) N Slika.3: Vremenski oblik signala x ( ) X ( j ) N Slika.4: Spekar signala x ( ) ransformacioni par x () i X ( j ) je u popunosi prihvaljiv sa sanoviša računarske obrade jer su i signal u vremenu i njegov frekvencijski spekar predsavljeni kao povorka odbiraka, dakle po svojoj prirodi su diskreni, a sa druge srane akvih odbiraka ima konačno, u našem slučaju N. Ovako dobijeni ransformacioni par definiše diskrenu Fourier-ovu ransformaciju (u lierauri označavanu kao DF). Osnovne osobine diskrene Fourier-ove ransformacije su navedene kroz sledeće savove:. Dobijeni signal x () u sebi sadrži N odbiraka signala ( ) x i pri ome je periodičan sa periodom N. Dakle, ako želimo da nad nekim koninualnim signalom primenimo diskrenu Fourier-ovu ransformaciju, porebno je da izvšimo odabiranje u ekvidisannim vremenskim renucima sa periodom odabiranja, i da na aj način formiramo diskrenu sekvencu, koju ćemo da označimo sa xk [ ], k=,,..., N (.5)

9 Česo se umeso oznake x[ k ] korisi oznaka [ ] funkcije vremenski renuak jednak celom muliplu periode odabiranja. x k podrazumevajući da je argumen vremenske 2. Diskrena Fourier-ova ransformacija primenjena na sekvenci xk [ ], k=,,..., N će nam kao X k j N, k =,,..., N, koje ćemo ubuduće, rezula generisai N odbiraka spekra signala ( ) zbog njihove diskrene prirode označavai kao / [ ] = = X k j, k,,..., N, / N (.6) I u ovom slučaju se česo umeso oznake X[ k j] korisi oznaka [ ] argumen spekra ceo mulipl učesanosi = / N. X k, podrazumevajući da je 3. Na osnovu opisanog posupka kojim smo došli do ransformacionog para koji definiše diskrenu Fourier-ovu ransformaciju, moguće je usposavii vezu između frekvencijskih odbiraka (.6) i odbiraka signala (.5): N j2 π nk/ N X n j x k e k N [ ] [ ] =, =,,..., k = Relacija (.7) definiše akozvanu analiičku relaciju diskrene Fourier-ove ransformacije (.7) 4. Sineička relacija diskrene Fourier-ove ransformacije nam daje posupak kojim se na osnovu odbiraka spekra može rekonsruisai n odbiraka signala u vremenskom domenu:,,,..., (.8) N N j2 π nk/ N xk = X n je k= N [ ] [ ] n= 5. Bez obzira šo smo u izvođenju diskrene Fourier-ove ransformacije krenuli od koninualnog signala x(), DF podrazumeva da nam je na raspolaganju samo N odbiraka počenog koninualnog signala, i nadalje se podrazumeva da se ovi odbirci periodično ponavljaju, i samim im sineička relacija (.8) ne može da rekonsruiše iz signala niša drugo od ih počenih N odbiraka. 6. Analiička relacija (.7) može da generiše samo N odbiraka spekra signala i pri ome će se oni X j usled uicaja aliasing efeka i rippling-a. Pri razlikovai od odbiraka počenog spekra ( ) ome, s obzirom da je spekar realnog signala akav da mu je ampliuda parna a faza neparna funkcija učesanosi, od dobijenih N odbiraka, dovoljno je uzei u obzir samo polovinu njih. Ove osobine diskrene Fourier-ove ransformacije ćemo ilusrovai na sledećem primeru. Primer.: Posmarajmo periodični koninualni signal koji je definisan u vremenu za formi () () = cos( 2) + 3cos( 5) x (, ). eorijski gledano, kako se signal () 2 j 2 j 5j 5j e + e e + e 3 5j 2 j 2 j 3 5j (.9) x može napisai u x = + 3 = e + e + e + e (.2) spekar ovog signala je, na osnovu relacija (7.2) i (7.2), jednak ( ) 3 ( 5) ( 2) ( 2) 3 ( ) X j = πδ + + πδ + + πδ + πδ 5 (.2)

10 šo je i očekivan rezula, jer je spekar periodičnih signala uvek jednak povorci Dirakovih impulsa u frekvencijskom domenu. Na slikama.5 i.6. su prikazani vremenski i spekralni oblik signala x(). x( ) Slika.5: Vremenski oblik signala x( ) 3π X ( j ) 3π π π Slika.6: Spekar signala x( ) Naravno, prikazani grafici su nasali na osnovu analiičkog izračunavanja spekra, međuim, najčešće mi raspolažemo samo odbircima signala, i o sa konačnim brojem njih, pa nam je želja da i spekar signala sračunamo pomoću računara, dakle primenom diskrene Fourier-ove ransformacije. x. Ouda je, kao prvi korak, neophodno izvršii odabiranje konačnog broja odbiraka signala ( ) Važno je, akođe, pravilno izabrai periodu odabiranja i ona mora bii u saglasnosi sa eoremom o odabiranju. Kako je maksimalna učesanos u signalu 5rad/s, učesanos odabiranja mora bii bar 2 pua veća od nje. Usvojimo da je učesanos odabiranja = 2 rad / s pa je samim im perioda odabiranja = 2 π / = π / =.34s. akođe, reba se opredelii za broj odbiraka N. Ukoliko

11 usvojimo N=5, mi raspolažemo sa N odbiraka signala koji su prikazani na slici.7, pri čemu smo od koninualnog signala dobili diskreni sa vrednosima odbiraka: [ ] ( ) ( ) ( ) xk = xk = sin 2k + 3sin 5 k, k=,,..., N (.22) Primena diskrene Fourier-ove ransformacije je vrlo jednosavna primenom programskog pakea MALAB. Sledeći kod ilusruje formiranje povorke odbiraka, izračunavanje diskrene Fourier-ove X k : ransformacijom nad povorkom odbiraka i prikaz signala x[ k ] i odgovarajućeg spekra [ ] close all; clear all; N=5; s=pi/; for i=:n x(i)=cos(2*(i-)*s)+3*cos(5*(i-)*s); end figure();sem(:s:(n-)*s,x); xlabel('odbirci k'); ylabel('x[k]'); X=ff(x,N); figure(2);sem([:2*pi/(s*(n-)):pi/s],abs(x(:n/2))); xlabel('ucesanos [rad/s]'); ylabel('x[kw]'); x[k] odbirci k Slika.7: Odbirci signala x( )

12 5 X[kw] ucesanos [rad/s] Slika.8: Spekar signala dobijen primenom naredbe ff Iako je za očekivai bilo da se u spekru dobiju dva Dirakova impulsa na učesanosima 2rad/sec i 5rad/sec, zbog efeka rippling-a ili akozvanog curenja spekra, umeso impulsa dobijena je 'razlivena' slika oko cenralnih učesanosi 2 i 5. Još je važno reći da naredba kojom se realizuje diskrena Fourier-ova ransformacija u malabu glasi ff od skraćenice Fas Fourier ransform i da ona ima dva argumena, pri čemu je prvi povorka odbiraka signala a drugi označava dužinu povorke. Konačno, reba reći i o da inenziei odbiraka u spekru ne označavaju pravu vrednos ampliuda pojedinih prosoperiodičnih komponeni već su proporcionalni broju odbiraka nad kojim se diskrena Fourier-ova ransformacija računa. Sudenima se preporučuje da ponove navedenu proceduru u Malabu, koriseći različie periodične ili neperiodične rezulae, različie vrednosi broja odbiraka i perioda odabiranja, i da prokomenarišu dobijene rezulae.