Примена Гаусовог закона

Транскрипт

1 Примена Гаусовог закона Две концентричне сферне површи полупречника и налазе се у вакууму и равномерно су оптерећене количинама наелектрисања и (Слика ) Референтна тачка нултог потенцијала је у бесконачности Одредити расподелу електричног поља и потенцијала у функцији растојања од центра сфера Нацртати дијаграме и Слика Слика Слика Задатак се може решити применом Гаусовог закона Гаусов закон је веома применљив код система са високим степеном симетрије У овом примеру постоји централна симетрија Електрично поље и потенцијал се одређују у три области (слика ): I) Унутар области ограничене сфером полупречника ( ) II) У области између две концентричне сферне површи полупречника и ( ) III) У спољашњој области (у тачкама где је растојање од центра система веће од ) Излазни флукс вектора електричног поља кроз затворену сферну површину полупречника (изабрана Гаусова површина) у све три области је: os али се разликују алгебарске суме обухваћених наелектрисања Потребно је направити разлику између интеграла и јер први за решење даје површину (у овом случају сфере) а други је сума вектор пошто се ради о векторском збиру вектора ( ) На основу Гаусовог закона се добија: I) Да нема електричног поља у некој области није довољно само да је алгебарска сума обухваћених наелектрисања нула На пример у трећој области (слика ) нема обухваћених наелектрисања и укупан флукс кроз затворену површину једнак је нули а постоји електрично поље-постоје линије поља

2 У области не постоје линије електричног поља а и Гаусова површина не садржи електрична оптерећења па је поље: Електрично поље непосредно уз раздвојну површину ( ) али са унутрашње стране је: II) У овој области Гаусова површина обухвата наелектрисање које се налази на сфери полупречника Зато је: а вектор јачине електричног поља је у смеру пораста растојања од центра система тј оријентисан је у смеру радијалне координате и има интензитет: III) Интензитет поља уз раздвојне површине и је: ( ) ( ) ( ) У овој области Гаусова површина је сферна површина полупречника али је да она обухвата обе сфере на којима се налазе наелектрисања: Електрично поље у овој области је: а на раздвојној површини са њене спољашње стране је: тако ( ) ( ) Осим расподеле електричног поља потребно је одредити и законитост по којој се мења електрични скалар потенцијал у функцији растојања од центра система заправо у функцији радијалне координате У овом примеру референтна тачка се налази на веома великим удаљеностима од обе сферне површине теоријски у бесконачности а како она припада трећој области при одређивању потенцијала кренућемо управо одатле

3 III) Електростатичко поље је конзервативног карактера потенцијал зависи само од положаја крајњих тачака а не и од облика путање и зато бирамо путању да је l Потенцијал тачака које се налазе на раздвојној површини је: 8 ) ( II) Када се рачуна електрични потенцијал тачака које се налазе у овој области неопходно је путању интеграције поделити на два дела јер се изрази за електрично поље разликују: 8 8 Потенцијали на раздвојним површинама су: ) ( 8 ) ( I) У овој области је интеграл неопходно поделити на три интеграла У првој области је електрично поље нула у другој а у трећој : ) ( Важно је напоменути да су све тачке у првој области ( ) на истом потенцијалу тј цела област је еквипотенцијална област Како је електрично поље у тој области нула и како се напон између две тачке дефинише као линијски интеграл електричног поља од једне до друге тачке онда је тај напон нула То значи и да је разлика њихових потенцијала нула па су оне на истом потенцијалу Расподеле електричног поља и потенцијала су приказане на сликама и респективно

4 Слика Слика Уочимо да је функција расподеле електричног поља прекидна функција у тачкама где се налазе наелектрисања Зато је погрешно писати уместо уместо или уместо Потенцијал је непрекидна функција у свим тачкама али није диференцијабилна у тачкама где се налазе наелектрисања Две концентричне сфере полупречника електрода и налазе се у вакууму и оптерећене су количинама електрицитета и (Слика ) Одредити вектор јачине електричног поља у функцији растојања од центра сфера Израчунати напон између сфера Бројни подаци: m 6m 6nC Слика У овом примеру постоји централна симетрија па је могуће применити Гаусов закон на исти начин као и у претходном задатку Гаусова површина је такође сферна површина полупречника која се поставља у све три области од интереса Разлика је у алгебарској суми обухваћених наелектрисања Електрично поље у свим областима се добија на следећи начин:

5 I) Осим што не постоје линије електричног поља алгебарка сума обухваћених наелектрисања је једнака нули па је II) одакле се за електрично поље добија: III) па је Када се одређује напон између сфера на којима су наелектрисања потребно је изабрати било које две тачке: једну са површине полупречника а другу са површине полупречника Могуће је изабрати путању интеграције тако да се она поклапа са радијалном координатом јер су обе сфере еквипотенцијалне површине За напон се добија: U где је l k 9 m k 9 F 9V Две концентричне сферне површи полупречника и налазе се у вакууму и равномерно су оптерећене количинама наелектрисања и 5 (Слика ) Референтна тачка нултог потенцијала је у бесконачности Одредити расподелу електричног поља и потенцијала Слика И овај задатак се решава на исти начин као и претходна два: I) 5

6 Не постоје линије електричног поља алгебарка сума обухваћених наелектрисања је једнака нули па је и II) Граничне вредности радијалне компоненте јачине електростатичког поља (која једино и постоји јер су угаоне компоненте сферног координатног система једнаке нули) у овој области су: 6 III) Слика У циљу визуализације електричног поља оваквог система наелектрисања на слици су нацртана одређена позитивна и негативна наелектрисања Познато је да је електростатичко поље изворног карактера извори се налазе на позитивним а понори на негативним оптерећењима Сва позитивна наелектрисања са унутрашње сфере нађу своја негативна наелектрисања на спољашњој сфери а остатак негативних наелектрисања са спољашње површине пронађу позитивне изворе у бесконачности За граничну вредност електричног поља у овој области се добија: III) II) Потенцијал се такође прорачунава у све три области: 6

7 I) 8 ) ( ) ( Раподеле електричног поља и потенцијала су приказане на сликама и респективно Слика Слика Простор између две концентричне сферне површине полупречника и ( < ) испуњен је запреминским наелектрисањем које се мења по закону ρ ρ (Слика ) Наћи: а) Укупно наелектрисање које се налази између ових површина

8 8 б) Интензитет вектора електричног поља у тачкама на растојањима и ако је 5 Слика Слика ) Запреминско оптерећење се налази у области између две концентричне сферне површине полупречника и Укупна количина наелектрисања се може израчунати као: V V б) Електрично поље се израчунава применом Гаусовог закона: V V где је V запремина у којој се налазе обухваћена запреминска наелектрисања Гаусова површина се поставља у све три области система на исти начин као и у претходним примерима Важно је напоменути да је у случају постојања само запреминских наелектрисања електрично поље непрекидна функција растојања од центра система у свим тачкама простора самим тим и на местима где се налазе раздвојне површине Зато је оправдано да се у изразима којима се приказују поједине области пишу и знаци једнакости ( ) I) Алгебарка сума обухваћених наелектрисања је једнака нули па је (на даље ће се сматрати да у случају дискретних расподела наелектрисања у овој области не постоје линије електричног поља) II) V V

9 9 III) V V Тачка се налази у области у којој је електрично поље: Ако се у том изразу замени са добија се: У области где је електрично поље је а након замене са добија се: ) ( 5 Две металне лопте полупречника и налазе се у вакууму на међусобном растојању ( ) и спојене су танким проводником слика 5 На ком растојању од центра веће лопте се налази тачка у којој је електрично поље једнако нули? Укупно оптерећење ових сфера је Слика 5 Слика 5 Спајање металних лопти се врши помоћу танког проводника па је на њему занемарљива количина електрицитета која се може занемарити у односу на укупну количину наелектрисања Та количина електрицитета се прерасподељује на обе сфере Након прерасподеле почетног наелектрисања сфер полупречника је оптерећена наелектрисањем док се на сфери полупречника расподељује наелектрисање Да би одредили ова два непозната наелектрисања потребна су нам два услова На основу закона о очувању укупне количине наелектрисања збир ова два наелектрисања мора да буде једнак укупном наелектрисању пре извршене прерасподеле: 9 m m m nc

10 На основу услова да је ефекат близине се може занемарити и сматрати да се наелектрисања равномерно расподељују по површинама обе сфере У оквиру електростатике савршено проводна тела се посматрају као еквипотенцијалне области јер не постоји електростатичко поље у њима За електрично поље и потенцијал се користе исти изрази као и за усамљено тачкасто наелектрисање смештено у центру сфере (тзв фиктивни извор) До истих израза се долази применом Гаусовог закона Други услов на основу кога одређујемо непозната наелектрисања је да се спајањем сфера проводником њихови потенцијали изједначавају (у проводнику је па је и напон између било које две тачке (A и B) које припадају проводним лоптама полупречника и B А ): k k На основу претходне две једначине добијају се количине електрицитета на сферама: 5 nc 8nC 5 За тако одређена наелектрисања компоненте електричног поља које потичу од њих су: k k ( x) Из услова да је резултујуће поље једнако нули ( ): k k x ( x) добија се квадратна једначина: x 8x и узима оно решење за које се тачка нултог електричног поља налази између центара сфера: x m (друго решење x не одговара) 6 Три проводне сфере полупречника m m и m налазе се у вакууму и постављене су тако да се њихов међусобни утицај може занемарити (слика 6) Када се сфера полупречника оптерети количином електрицитета nc а сфера полупречника са два танка проводника споји са остале две сфере одредити: а) Расподелу наелектрисања на све три сфере б) Електрично поље на површини сваке сфере 5 x

11 Слика 6 ) Да би одредили три непозната наелектрисања потребна су нам три услова на основу којих се формирају три једначине Први услов је да се укупно наелектрисање прерасподели на све три лопте: Ако се лопте споје проводницима врши се изједначавање њихових потенцијала и добијају се три једначине: од којих се једна добија као линеарна комбинација друге две (ранг система је : ng ) Из последње једначине се непозната наелектрисања и изразе преко наелектрисања затим замене у једначину којом се исказује чињеница о очувању укупне количине електрицитета: одакле се добија: 5nC 5nC nc б) На основу израза за интензитет јачине електростатичког поља на површини усамљене проводне сфере добија се: kv 5 m 7 Три металне сфере полупречника m m и 5m оптерећене су укупном количином електрицитета nc Сфере се налазе у вакууму и распоређене су тако да се њихов међусобни утицај може занемарити (Слика 7) Ако се сфера полупречника споји танким проводницима са остале две сфере (слика) одредити: а) Наелектрисање на свакој од сфера б) Електрично поље на површини сваке сфере: в) Њихове потенцијале у односу на референтну тачку у бесконачности k k k k k k kv 5 m kv 5 m

12 Слика 7 Задатак се решава на исти начин као и претходни а) 5nC nc nc MV б) k 9 MV MV k 5 m k 8 m m в) k 9kV 8 Усамљена проводна лопта полупречника оптерећена количином електрицитета налази се унутар концентричне металне љуске полупреника и дебљине (слика 8) Систем се налази у вакууму Полазећи од Гаусовог закона извести изразе за јачину електричног поља и потенцијала у функцији растојања од центра сфере Нацртати дијаграме и Напомена: Референтна тачка нултог потенцијала је у бесконачности Слика 8 Слика 8 Електростатичко поље у областима за и за не постоји Са унутрашње стране металне љуске се индукују негативна оптерећења а са њене спољашње стране иста количина позитивних наелектрисања (слика 8) Та индукована наелектрисања стварају локално електрично поље чије су линије поља као и вектор јачине поља супротног смера од примарног поља Она се поништавају тако да је укупно електрично поље у љусци једнако нули Гаусов закон се примењује тако што се поново постављају Гаусове површине у све четри области

13 У области за не постоје обухваћена наелектрисања нема линија електричног поља па је и електрично поље једнако нули До истог закључка се долази ако се има у виду чињеница да се наелектрисања расподељују по површини проводника и да не постоји електрично поље у савршеним проводницима (у оквиру електростатике) Применом Гаусовог закона на преостале три области се добија: : : : Референтна тачка се налази у бесконачности и зато је практичније прорачун раподеле потенцијала започети од области где се она налази: : : : : Расподеле електричног поља и потенцијала су дате на сликама 8 и 8

14 Слика 8 Слика 8 9 Две неограничено дуге концентричне цилиндричне површине полупречника и оптерећене су подужним наелектрисањима сталне подужне густине q q и qq слика 9 Одредити електрично поље и потенцијал у функцији растојања од осе цилиндара и нацртати дијаграме () и () Референтна тачка нултог потенцијала налази се на растојању p Слика 9 Слика 9 Анализирамо сваку од области појединачно примењујући Гаусов закон I) У области не постоје обухваћена наелектрисања не постоје ни линије електричног поља електрично поље је једнако нули као и на самој површини унутрашњег цилиндра ( ) II) Када се одређује електрично поље у области за Гаусова површина је цилиндрична површина кружног попречног пресека полупречника и произвољно задате висине L (слика 9)

15 Када се одрeђује излазни флукс вектора јачине електричног поља кроз затворену Гаусову површину потребно је тај интеграл поделити на три дела - три флукса На горњем и доњем базису вектори површина ( GB и DB ) и вектор јачине електричног поља граде угао од / Када су два вектора ортогонална њихов скаларни производ је нула па је и флукс вектора електричног поља кроз базисе нула На омотачу замишљене цилиндричне површине вектори електричног поља и површине омотача су колинеарни Зато је њихов скаларни производ једнак само производу њихових интензитета За излазни флукс електричног поља се добија: Обухваћена количина електрицитета том цилиндричном површином је: q' l q' L q' L ql Из једнакости: L добија се електрично поље у функцији растојања од осе цилиндара (у функцији радијалне координате цилиндричног координатног система): q q На спољашњој површини унутрашњег цилиндра и на унутрашњој површини спољашњег цилиндра електрично поље је: q q q ( ) ( ) III) За обухваћена количина електрицитета је q' l ( q' q') L q' L тако да се за електрично поље добија: q q q На спољашњој површини спољашњег цилиндра електрично поље је: q ( ) п p Потенцијал се одређује по дефиницији: III) За потенцијал је: GB DB GB os DB os GB DB док је потенцијал спољашњег цилиндра: p p L 5 q q p ln L q os L ln

16 II) За потенцијал је: одакле следи: q ( ) ln q ln Потенцијал је увек непрекидна али не и диференцијабилна функција у свим тачкама Потенцијал спољашњег цилиндра je: q ( ) ln ( ) и потенцијал унутрашњег цилиндра: q q q ( ) ln ln I) У области где је потенцијал је: q ( ) ( ) ln q q ln Графици промене електричног поља и потенцијала дуж растојања од осе цилиндара дати су на сликама 9 и 9 p q q ln q p Слика 9 Слика 9 Неограничено дуг усамљени проводни цилиндар полупречника оптерећен подужном количином електрицитета q налази се унутар коаксијалне металне љуске полупречника и дебљине (Слика ) Систем се налази у вакууму Одредити вектор јачине електричног поља и нацртати његову зависност у функцији растојања од осе цилиндра Бројни подаци: m 6m 65m qnc/ m 6

17 Слика Као што је објашњено у задатку 8 тако се и овде индукују негативна подужна наелектрисања са унутрашње стране проводне коаксијалне цилиндричне љуске ( q ) и иста толика подужна наелектрисања са спољашње стране љуске ( q ) Задатак ових индукованих наелектрисања је да створе локално поље које ће да у потпуности да поништи екстерно електрично поље које потиче од подужних наелектрисања распоређених по површини унутрашњег проводника Такође Гаусова површина је опет неки цилиндар чији су базиси полупречника а висина h опет су флуксеви вектора јачине електростатичког поља кроз базисе нула опет постоји флукс само кроз омотач Применом Гаусовог закона за све четири области добија се: I) За не постоје линије електричног поља алгебарска сума обухваћених наелектрисања је па у тој области нема електричног поља тј II) Када се цилиндар поставља у другој области где је алгебарска сума обухваћених наелектрисања је qh постоји флукс само кроз омотач Гаусовог цилиндра: o h а на основу Гаусовог закона добоја се електрично поље у тој области: o qh h q III) У трећој области где је обухваћено наелектрисање је qh qh зато је у њој IV) У спољашњој области за обухваћено оптерећење је qh qh qh qh одакле се добија за електрично поље исти израз као и у другој области: q Промена електричног поља у функцији растојања од осе система приказана је на слици 7

18 Слика Просторно наелектрисање запреминске густине омеђено је цилиндричном површином веома велике дужине ( L ) и кружног попречног пресека полупречника (Слика ) Одредити расподелу електричног поља и потенцијала у равни попречног пресека цилиндра у функцији растојања од његове осе ( ) ако се мења по закону где је константа Референтна тачка нултог потенцијала се налази на растојању p Слика Слика Због постојања аксијалне симетрије најједноставније је да за Гаусову површину изаберемо цилиндар висине L кружног попречног пресека полупречника И у овом случају је флукс вектора електричног поља кроз основице цилиндра нула тако да постоји само флукс кроз омотач Такође због постојања само запреминских наелектрисања функције раподеле електричног скалар потенцијала и електричног поља су непрекидне функције радијалне координате Електрично поље и потенцијал се одређују у две области раздвoјене граничном цилиндричном површином I) За применом Гаусовог закона добија се: V V os os DB os GB O L 8

19 9 II) Сличним поступком у области за добија се: па је Потенцијал се рачуна на следећи начин: За : За : L L V V L O DB GB os os os L L p ln p ln ln p p ln ln 6

20 6 ln ln На сликама и су приказане расподеле електричног поља и потенцијала у функцији растојања од осе система Слика Слика Веома дуг коаксијални кабл полупречника унутрашњег проводника mm и спољашњег проводника 78 mm испуњен је течним диелектриком релативне диелектричне константе а) За колико се промени подужна капацитивност кабла када течни диелектрик исцури из њега? б) За колико се промени подужно наелектрисање и подужна енергија кабла ако је он прикључен на напон U kv? а) Капацитивност коаксијалног кабла исто као и капацитивност кондензатора зависи од њихове геометрије и од особина диелектрика који испуњава простор између проводника Капацитивност је директно пропорцијонална релативној диелектричној константи Тако се за подужне капацитивности коаксијалног кабла када је његова унутрашњост испуњена течним диелектриком ( C ) као и када је средина ваздух ( C ) добија: C C ln ln За промену подужне капацитивности кабла се добија: C C C C 668pF/m Знак минус указује на чињеницу да се подужна капацитивност смањила тј да је она већа када је средина испуњена течним диелектриком б) Ако је кабл све време прикључен на напон U kv приликом истицања течности из њега долази до промене наелектрисања на његовим проводницима

21 Означимо подужне количине електрицитета на проводницима кабла са q и q пре и после истицања течности Промена подужног наелектрисања се може израчунати на следећи начин: CU C U 6nC/m Због промене подужне капацитивности мења се и подужна енергија: W C U J/m Усамљена проводна сфера оптерећена количином наелектрисања μc налази се у диелектрику релативне диелектричне константе ε 5 Одредити минимални полупречник лопте тако да не дође до појаве просторног наелектрисања-короне Критично поље диелектрика износи k MV m Применом Гаусовог закона могуће је одредити електрично поље у околини проводне сфере смештене у средини чије се особине у електричном смислу могу дефинисати релативном диелектричном константом У овом случају је цео простор испуњен хомогеним диелектриком релативне диелектричне константе ε 5 Зато се може применити Гаусов закон где се у апсолутна диелектрична константа вакуума замењује апсолутном диелектричном константом хомогеног диелектрика ε ε ε За електрично поље се добија: Интензитет вектора јачине електростатичког поља опада са квадратом растојања од центра лопте Поље је зато јаче у тачкама које су ближе сфери а најјаче је на њеној површини за : Максимално поље је веће када је полупречник сфере мањи Ако много смањимо полупречник проводне сфере максимално поље би тежило бесконачности То је практично немогуће јер долази до јонизације околног простора Тада електрично поље у околини сфере има максималну вредност која за сваки диелектрик има тачно одређену вредност која се назива критично поље Критично поље је различито за различите диелектрике За ваздух се узима да износи k MV m мада може имати и друге вредности зависно од влаге притиска V температуре ε q q W q q q q U C W W W6 Е mx 6

22 У оквиру електростатике на површини проводника постоји само нормална компонента вектора електричног поља док је његова тангенцијална компонента једнака нули (нема кретања слободних наелектрисања по површини проводника) Под дејством нормалне компоненте електричног поља се ништа не дешава све до тренутка када то поље толико нарасте да почне да чупа наелектрисања Тада се око проводника формирају просторна оптерећења тј јавља се корона Та област је утолико већа уколико је јаче електрично поље У задатку се тражи да одредимо до које границе смемо смањивати полупречник проводне лопте па да не дође до појаве короне тј које границе смемо смањивати полупречник проводне лопте па да максимално поље не постане веће од критичног поља На основу изложеног добијамо: mx k k min 9868mm min k Простор између проводника коаксијалног кабла (полупречника проводника и ) испуњен је диелектриком релативне диелектричне константе ε (Слика ) Кабл је прикључен на напон U Одредити: а) У којим границама се креће интензитет вектора јачине електричног поља б) Колико је подужно наелектрисање на проводницима кабла q Познато је: 8 mm 6 mm ε U 5kV Слика Применом Гаусовог закона добија се: q U q q ln q ln μc U 65 m

23 min q U ln q U ln MV 56 m MV 6 m mx 5 Цилиндрични ваздушни кондензатор полупречника електрода и оптерећен је подужном количином наелектрисања q Између електрода кондензатора убачена је коаксијална цилиндрична метална љуска унутрашњег полупречника и дебљине (слика 5) а) Одредити електрично поље у функцији растојања од осе система б) Ако је m m и m израчунати дебљину убачене металне љуске када је однос подужних капацитивности кондензатора пре ( C ) и после ( C ) убацивања металне C љуске 5 C Слика 5 Слика 5 Слика 5 а) Да не би постојало електрично поље у цилиндричној љуски са њене унутрашње стране се индукује негативно ( q ) а са спољашње стране исто толико позитивно подужно наелектрисање q (слика 5) То индуковано поље поништава екстерно електрично поље у проводној љуски Електрично поље се одређује применом Гаусовог закона:

24 o h o B B : q : qh : qh qh q : qh qh qh qh : qh qh qh qh б) Подужна капацитивност кондензатора пре убацивања металне љуске је: а након убацивања коаксијалне проводне љуске капацитивност се може одредити на два начина: I) Напон између електрода кондензатора је: q U q C ln ln ln q одакле се за подужну капацитивност добија: C ln II) Подужна капацитивност између електрода кондензатора се може одредити као редна веза два кондензатора (Слика 5): првог подужне капацитивности C ln и другог подужне капацитивности C ln На тај начин се добија: ln q

25 5 Коришћењем услова да је добија се: C C C C C C C C C ln C C 5m