MEHANIKA MATERIJALA I

Величина: px
Почињати приказ од странице:

Download "MEHANIKA MATERIJALA I"

Транскрипт

1 MEHANIKA MATERIJALA I Aleksandar Karač zgrada MF, kancelarija 1111 tel: Alma Žiga Kancelarija 110 tel: , lok

2 O kursu Mehanika Materijala I... Izvođenje nastave predavanja: 3 časa sedmično vježbe (auditorne) : časa sedmično Obaveze studenata redovno prisustvo na predavanjima i vježbama urađene zadaće (ukupno zadaće) PREDATE U ZADANOM ROKU!!! Cilj predmeta Razviti analitičke vještine i vještine rješavanja problema Uspostaviti vezu između vanjskih opterećenja koja djeluju na deformabilna tijela i napona i deformacija koje ta opterećenja izazivaju, Dati osnovne izraze za računanje napona i deformacija uzrokovanih raznim vrstama opterećenja Kompetencije (Ishodi učenja) Po završetku kursa studenti će biti u stanju: razlikovati različite vrste opterećenja, te izračunavati odgovarajuće napone i deformacije koje oni uzrokuju, dizajnirati i analizirati jednostavnije konstrukcije na osnovu kriterija čvrstoće i krutosti, izračunavati glavne normalne i maksimalne tangencijalne napone u tijelu, koristeći analitičke izraze i Mohrov krug napona, razlikovati statički određene i neodređene probleme, te primijeniti odgovarajuće metode za njihovo rješavanje. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 1

3 O kursu Mehanika Materijala I... Provjera znanja dvije zadaće u toku semestra (zadaci) dva testa/kolokvija u toku semestra (teorija, kviz pitanja) pismeni ispit (zadaci) Konačna ocjena prisustvo nastavi: 0 % zadaća: 30 % testovi/seminarski: 0 % pismeni ispit: 50 % (na ispitu se koristi lista formula/tabela dostupna na stranici kursa)!!! Napomena: Svaka od stavki mora biti ispunjena minimalno 51%!!! Ocjena % Ocjena % Ocjena % Ocjena % Ocjena % MEHANIKA MATERIJALA I 00/01.

4 O kursu Mehanika Materijala I... Sadržaj/program kursa (1) Naponi i deformacije, osobine materijala sedmice () Aksijalno naprezanje sedmice (3) Uvijanje sedmice TEST I (4) Savijanje 3 sedmice (5) Ravno stanje napona i primjena 3 sedmice (6) Hipoteze o razaranju materijala 1 sedmica TEST II/integralni MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 3

5 O kursu Mehanika Materijala I... LITERATURA osnovna Predavanja, vježbe (sve dostupno na web stranici) Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 003. Grupa autora, Elastostatika II, Tehnički fakultet, Bihać, 004. Rašković D., Otpornost materijala, Naučna knjiga, Beograd, Rašković D., Tablice iz otpornosti materijala, Naučna knjiga, Beograd, Dž. Kudumović, S. Alagić, Zbirka Rješenih Zadataka iz Otpornosti Materijala, UNTZ, Tuzla, 000. A. Karač, Riješeni ispitni zadaci iz Otpornosti materijala, MF-UNZE, e-izdanje, 014. dodatna RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 011. JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 009. JM Gere, BJ Goodno, An Instructors Solution Manual to Accompany: Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 009. FP Beer, ER Johnson Jr., JT DeWolf, DF Mazurek, Mechanics of materials, McGraw-Hill Education, Seventh Edition, 015. WA Nash, Theory and Problems of Strength of Materials, Schaum s outline series, McGraw-Hill, WC Young, RG Budynas, Roark s formulas for Stress and Strain, McGraw-Hill, Seventh Edition, 00. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 4

6 O kursu Mehanika Materijala I... Obaveze studenata ZADAĆA 1: (1) + () + (3) Zadata: 9. oktobar 00. Rok za predaju: 18. decembar 00. (petak) ZADAĆA : (4) + (5) + (6) Zadata: 10. decembar 00. Rok za predaju: 9. januar 01. (petak) Provjera znanja TEST 1: (1) + () + (3) 10. decembar 00. TEST (ili integralni): (4) + (5) + (6) 8. januar 01. Konsultacije Radnim danom od MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 5

7 O kursu Mehanika Materijala I... Korisne web stranice MecMovies to Accompany Mechanics of Materials Strength of Materials (SOM) - Notes, Tutorials CosmoLearning, Strength of Materials Elastic Beam Deflection Calculator Maintenance/Calculators/ElasticBeam.html Free Mechanical Engineering Online Calculators FREE STRUCTURAL SOFTWARES MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 6

8 O kursu Mehanika Materijala I... Mehanika materijala grana primijenjene mehanike koja se bavi ponašanjem čvrstih tijela izloženih različitim tipovima opterećenja. Osnovni cilj: određivanje napona, deformacija i pomjeranja u konstrukcijama i njihovim komponentama usljed opterećenja koja na njih djeluju. Otpornost materijala Nauka o čvrstoći Mehanika materijala sterkte van materiale nguvu ya vifaa שט ארקיי ט פון מ אטערי אלס силата на материјали lujuusopin resistencia de los materiales 材料の強さ forca e materialeve قوة المواد Szilárdságtan Strength of Materials Mechanics of Materials Mechanics of Deformable Bodies styrken af materialer Отпорност материјала αντοχή των υλικών Mukavemet trdnost materiala супраціў матэрыялаў Festigkeitslehre Stärke von Materialien resistenza dei materiali vires materiae 材料强度 fasthetslære lakas ng mga materyales съпротивление на материалите Résistance des matériaux חוזק חומרים сопротивление материалов sterkte van de materialen MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 7

9 O kursu Mehanika Materijala I... Istorijat otpornosti materijala* Leonardo da Vinci XVII vijek: Galileo, Robert Hooke, Marriote Elastične linije: (Jacob) Bernoulli, Euler, Lagrange, XVIII vijek: Parent, Coulomb - mehaničke osobine materijala : Navier, Poncelet, Young, Teorija elastičnosti: Cauchy, Poisson, Lamé, Clapeyron, Teorija ploča: (Jaques) Bernoulli, Germain * SP Timoshenko, History of Strength of Materials, McGraw-Hill, MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 8

10 O kursu Mehanika Materijala I... Istorijat mehanike materijala : Fairbairn, Hodgkinson, Weisbach, Redtenbacher, Grashof, Saint-Venant, Jourawski, Bresse, Winkler, Culmann, Rankine, Maxwell, Stokes, Duhamel, Phillips, Neumann, Clebsch, Kelvin, kontinuirane grede neodređeni nosači (Navier) jednačina tri momenta (Bertot, Clapeyron) razvoj željeznica, zamor materijala (Wöhler), udarna opterećenja, rešetkasti nosači (Ritter) Teorija elastičnosti: Green, Wertheim, Kupffer Baushinger, Mohr, Castigliano, Jasinsky, Föppl, Joukowski, Boussinesq, Reyleigh, Lamb, Love, Pearson, Voigt, Hertz, laboratorije za mehanička ispitivanja energija deformacije statiči određeni i neodređeni rešetkasti nosači, ugibi MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 9

11 O kursu Mehanika Materijala I... Istorijat mehanike materijala XX(I) vijek: Griffith, Klein, Prandtl, lom krtih materijala, testiranja duktilnih materijala teorije čvrstoće puzanje, zamor metala eksperimentalna naponska analiza, približne metode rješavanja trodimezionalni problemi savijanje ploča i ljuski, vibracije brodske konstrukcije (Krylov) computer-aided design (CAD), computer-aided engineering (CAE) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 10

12 Napon, deformacija, osobine materijala * Ravnoteža u deformabilnom tijelu Koncentrisana sila (idealizacija) Površinska sila Spoljašnja opterećenja: površinske i zapreminske sile Reakcije oslonaca Jednačine ravnoteže Linearna raspodjela opterećenja Zapreminska sila unutrašnja opterećenja *JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 009. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 11

13 Napon, deformacija, osobine materijala Ravnoteža u deformabilnom tijelu unutrašnja opterećenja Moment uvijanja Normalna sila Vrste opterećenja: Aksijalno oterećenje Moment savijanja Smicanje Uvijanje Smicajna sila Savijanje Izvijanje* Čvrstoća konstrukcije sposobnost prenošenja određenog opterećenja bez loma, oštećenja ili plastičnih deformacija. Krutost konstrukcija otpornost konstrukcije prema deformisanju. *Elastična stabilnost konstrukcije sposobnost konstrukcije da izdrži početni ravnotežni oblik pod određenim opterećenjem. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 1

14 Napon, deformacija, osobine materijala Pojam napona Pretpostavke: Materijal je kontinuum Materijal je kohezivan F N lim =Pa A 0 A m (1.1) Normalni napon djeluje normalno na površinu z lim A0 F z A (1.) Smičući (tangencijalni) napon djeluje po površini zx zy lim A0 lim A0 Fx A F y A (1.3) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 13

15 Napon, deformacija, osobine materijala Srednji normalni napon F A sr N =Pa m (1.4) Istezanje pozitivan napon Pritisak negativan napon Ograničenja jednačine (1.4): vrijedi samo ako je napon jednoliko raspoređen po poprečnom presjeku (ukoliko sila P prolazi kroz težište!) bilo koji poprečni presjek udaljen od koncentracije napona za veličinu najveće dimenzije Normalni naponi teže da promijene dužinu/volumen elementa na koji djeluju, ne mijenjajući pri tome njegov oblik!!! MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 14

16 Napon, deformacija, osobine materijala Srednji tangencijalni i noseći napon noseći napon Sila P se prenosi s viljuške na ploču preko vijka kontaktom (tzv. noseći naponi) između vijka i viljuške (1 i 3, sl. (c)), te vijka i ploče (, sl. (c)). b F A b b Pa Površina A b je projektovana površina na kojoj djeluje sila (za zakrivljenu površinu vijka predstavlja pravougaonik stranica d (prečnik vijka) i l (dužina dodirne površine)) (1.5) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 15

17 Napon, deformacija, osobine materijala Srednji tangencijalni i noseći napon srednji smičući (tangencijalni) napon V A sr Pa (1.6) Tangencijalni naponi teže da promijene oblik elementa na koji djeluju! MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 16

18 Napon, deformacija, osobine materijala Dozvoljeni napon i opterećenje Čvrstoća konstrukcije sposobnost konstrukcije da izdrži ili prenese opterećenje Stepeni sigurnosti Obično odnos dvije kvantitativne veličine sa istom jedinicom (čvrstoća/napon, kritični napon/primijenjen napon, maksimalna brzina/brzina rada,...) Izbor zavisi od mnogo faktora i predstavlja mjeru nesigurnosti dizajnera u analitički model, teoriju razaranja, podataka o osobinama materijala, vrste materijala (krt, duktilan) Za krte materijale važi da se dizajniraju prema najvećoj čvrstoći, tj. lomu, dok se duktilni materijali pod statičkim naponom dizajniraju prema granici tečenja. Zato je faktor sigurnosti krtih materijala dva puta veći od onih za duktilne pod istim uslovima. S stvarna čvrstoća zahtjevana čvrstoća (1.7) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 17

19 Napon, deformacija, osobine materijala Dozvoljeni napon i opterećenje S1 Podaci o osobinama materijala iz testiranja Stvarni materijal koji se koristi je testiran 1.3 Osobine materijala (iz tablica) su na raspolaganju Približne osobine materijala (iz tablica) su na raspolaganju 3 Loše osobine materijala (iz tablica) su na raspolaganju 5+ S S3 Uslovi okoline u kojima se proizvod koristi Analitički modeli opterećenja i napona Identični sa uslovima testa 1.3 U osnovi okolina na sobnoj temperaturi Srednje teški uslovi okoline 3 Veoma zahtijevne osobine okoline 5+ Modeli poređeni sa eksperimentima 1.3 Modeli tačno predstavljaju sistem Modeli približno predstavljaju sistem 3 Modeli su gruba aproksimacija sistema 5+ Za duktilne materijale S=MAX(S1,S,S3) Za krte materijale S=MAX(S1,S,S3) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 18

20 Napon, deformacija, osobine materijala Dozvoljeni napon i opterećenje dozvoljeni napon napon pri otkazu stepen sigurnosti Duktilni materijali doz R eh ( ) S y doz R eh ( ) S y (1.8) Krti materijali doz R ( ) m S doz R ( ) m S (1.9) dozvoljeno opterećenje dozvoljeni napon površina P doz A P doz doz doz A (1.10) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 19

21 Napon, deformacija, osobine materijala Primjer 1.1: Čelična šipka (vješalo) konstrukcije na slici, prikačena je na oslonac pomoću vijčane veze. Glavni dio šipke ima pravougaoni oblik širine b 1 =38mm i debljine t=1mm. U području veze, šipka je proširena na b =75 mm. Vijak, koji prenosi opterećenje sa vješala na dva držača, ima prečnik d= 5mm. Odrediti vrijednosti dozvoljenog opterećenja P za sljedeće slučajeve: a) Dozvoljeni zatezni napon u glavnom dijelu je 110 MPa b) Dozvoljeni zatezni napon u vješalu u poprečnom presjeku kroz rupu vijeka je 75 MPa (dozvoljeni napon u ovom dijelu je manji zbog koncentracije napona oko rupe) c) Dozvoljeni noseći napon između vješala i vijka je 180 MPa d) Dozvoljeni smicajni napon je 45 MPa b =75mm vijak podloška držač vješalo b 1 =38mm t=1mm d=5mm MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 0

22 Napon, deformacija, osobine materijala Primjer 1.: Na slici je dat probijač za pravljenje rupa u čeličnoj ploči. Pod pretpostavkom da je prečnik probijača d=0 mm, ploča debljine 8 mm (kao na slici), a sila probijanja P=110 kn izračunati prosječni tangencijalni (smicajni) napon u ploči, te prosječni pritisni napon. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 1

23 Napon, deformacija, osobine materijala Pojam deformacije Deformacija promjena veličine i oblika tijela usljed djelovanja vanjskih sila. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01.

24 Napon, deformacija, osobine materijala Normalne deformacije Prije deformacije Poslije deformacije sr s' s lim - s BA duž n (1.11) L - (1.1) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 3

25 Napon, deformacija, osobine materijala Tangencijalne deformacije Prije deformacije Poslije deformacije nt lim ' - BA duž n CA duž t (1.13) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 4

26 Napon, deformacija, osobine materijala Primjer 1.3: Dio od gume početnog pravougaonog oblika ABCD deformiše se u oblik prikazan isprekidanim linijama na slici dole. Odrediti srednju tangencijalnu deformaciju u tačkama A, B i C, te srednje normalne deformacije dužina AB, AC i AD. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 5

27 Napon, deformacija, osobine materijala Mehaničke osobine materijala Uređaji za određivanje mehaničkih osobina Kidalica zatezanje pritisak Epruvete za ispitivanje na zatezanje/pritisak MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 6

28 Napon, deformacija, osobine materijala Mehaničke osobine materijala Dijagram napon-deformacija (zatezanje) Granica čvrstoće Granica tečenja Granica proporcionalnosti Lom materijala Područje loma Pojava vrata Linearno područje Idealna plastičnost ili tečenje Očvršćavanje Pojava vrata MEHANIKA MATERIJALA I 00/01.

29 Napon, deformacija, osobine materijala Mehaničke osobine materijala Dijagram napon-deformacija (zatezanje) Konstrukcioni čelik Legura aluminija Guma Krti materijal MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 8

30 Napon, deformacija, osobine materijala Mehaničke osobine materijala Beton Drvo (crveni hrast) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 9

31 Napon, deformacija, osobine materijala Mehaničke osobine materijala Dijagram napon-deformacija (zatezanje) Jabuka i krompir Čokolada MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 30

32 Napon, deformacija, osobine materijala Mehaničke osobine materijala Dijagram napon-deformacija (pritisak) Bakar Sivi Liv MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 31

33 Napon, deformacija, osobine materijala Mehaničke osobine materijala Dijagram napon-deformacija Elastično plastično Zaostala deformacija Elastična relaksacija Elastično ponašanje Plastično ponašanje MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 3

34 Napon, deformacija, osobine materijala Mehaničke osobine materijala Hooke-ov (Hukov) zakon Linearna zavisnost između napona i deformacije za šipku opterećenu na zatezanje: E Pa (1.14) napon deformacija E konstanta proporcionalnosti, (Young (Jang)-ov) modul elastičnosti čelik: 10 GPa liveno gvožđe: GPa legure aluminijuma: GPa beton (pritisak): GPa drvo: GPa plastični materijali: GPa : tg( ) E MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 33

35 Napon, deformacija, osobine materijala Mehaničke osobine materijala Poisson-ov (Poasonov) koeficijent Za linearno elastične materijale vrijedi da je poprečna deformacija proporcionalna uzdužnoj i predstavlja osobinu materijala poznatu kao Poisson-ov koeficijent poprecna deformacija uzdužna deformacija ' (1.15) Prije opterećenja čelik: 0.3 beton (pritisak): guma: 0.5 pluto: 0 auksetični materijali < 0!!! Poslije opterećenja Poprečna deformacija ' (1.16) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 34

36 Napon, deformacija, osobine materijala Primjer 1.4: Čelična cijev dužine L=1 m, vanjskog prečnika d =15 mm i unutrašnjeg prečnika d 1 = 10 mm, opterećena je na pritisak aksijalnom silom P=60 kn. Treba odrediti: a) napon, b) uzužnu deformaciju, c) skraćenje, d) poprečnu deformaciju, e) promjenu unutrašnjeg i vanjskog prečnika f) promjenu debljine cijevi Osobine materijala: E=10 Gpa, =0.3 MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 35

37 Napon, deformacija, osobine materijala Mehaničke osobine materijala Hooke-ov (Hukov) zakon u smicanju G Pa (1.17) tangencijalni napon tangencijalna (ugaona) deformacija G konstanta proporcionalnosti, modul klizanja G E (1 ) (1.18) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 36

38 Napon, deformacija, osobine materijala Primjer 1.5: Na slici je dat noseći pometač, koji se koristi za oslanjanje mašina i mosnih nosača. Sastoji se od linearnog elastičnog materijala (elastomer kao guma) poklopljenog čeličnom pločom. Ako pretpostavimo da je visina elastomera h, a dimenzije ploče a b, te da je čelična ploča izložena tangencijalnoj sili V, odrediti prosječni tangencijalni napon u elastomeru i horizontalno pomjeranje ploče, d. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 37

39 Napon, deformacija, osobine materijala Mehaničke osobine materijala U toku kursa, ukoliko se to ne naglasi, materijal će se smatrati: - linearno elastičan - homogen jednak sastav - izotropan sve osobine su jednake u svim pravcima. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 38

40 IV Aksijalno naprezanje* Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak. JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 009. *RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 011. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 39

41 Aksijalno naprezanje Saint-Venant-ov (Sen-Venan) princip Opterećenje iskrivljuje linije u blizini njegove primjene a-a b-b c-c Linije koje su daleko od primjene opterećenja i oslonaca su prave Napon i deformacija koji se javljaju u tačkama tijela koje su dovoljno daleko od područja primjene tog opterećenja biće isti kao napon i deformacija bilo kojeg opterećenja koje ima istu, statički ekvivalentnu, rezultantu i koji su primijenjeni u istoj oblasti. Opterećenje iskrivljuje linije u blizini oslonaca MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 40

42 Aksijalno naprezanje* Izduženje aksijalno opterećenog elementa I) konstantan poprečni presjek i opterećenje F A E L FL L L (.1) E EA *RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 011. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 41

43 Aksijalno naprezanje Izduženje aksijalno opterećenog elementa II) promjena parametara po segmentima Ukoliko je šipka podijeljena na nekoliko aksijalnih sila uzdužno, ili se mijenja poprečni presjek ili modul elastičnosti, ukupno izduženje je jednako zbiru izduženja pojedinačnih segmenata u kojima su ove veličine konstantne. FiL i A E i i i (.) Čelična cijev Al cijev MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 4

44 Aksijalno naprezanje Izduženje aksijalno opterećenog elementa III) proizvoljan poprečni presjek i/ili opterećenje F(x) F(x) F( x) A( x) d F( xdx ) A( xe ) E d dx L F ( xdx ) (.3) 0 A( xe ) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 43

45 Aksijalno naprezanje Primjer.1: Stub za jednu zgradu je napravljen od čelične cijevi (E=00 GPa, = / C) kvadratnog poprečnog presjeka dimenzija na slici (b). Na stub djeluju sile P A i P B kao što je prikazano na slici (a). Treba odrediti: a) napon, izduženje i deformaciju u pojedinim segmentima stuba, b) vertikalno pomjeranje kraja A i B, c) maksimalnu silu P A, ako je dozvoljeni napon materijala 300 Mpa, d) promjenu temperature dijela AB tako da ukupno izduženje usljed djelovanja temperature i opterećenja bude jednako nuli. Ostali podaci: L AB =L BC =0.8 m. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 44

46 Aksijalno naprezanje Primjer.: Element ABC na slici, dužine L, sastavljen je od dva dijela iste dužine (0.6 m), ali različitih prečnika, i izložen sili od P=110 kn. Dio AB ima prečnik d 1 =100 mm, a segment BC d =60 mm. Segment AB je uzužno izbušen do polovine dužine (0.3 m). Dio je napravljen od plastike modula elastičnosti E=4 MPa. a) Ukoliko je dozvoljeno sabijanje dijela 8mm, koliko je maksimalno dozvoljeni prečnik rupe? b) Ako je maksimalni prečnik rupe jednak d /, na kojoj udaljenosti od tačke C treba primijeniti silu P da se šipka ne skrati 8 mm. c) Ako je maksimalni prečnik rupe jednak d /, a sila primijenjena na krajevima, koja je dozvoljena dubina rupe ako je skraćenje ograničeno na 8 mm. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 45

47 Aksijalno naprezanje Primjer.3: Stub koji se koristi kao oslonac za opremu u laboratoriji je obrađen uniformno kao na slici čitavom dužinom H. Svaki poprečni presjek stuba je kvadrat, pri čemu je vrh dimenzija bb, a baza 1.5b1.5b. Izvesti formulu za deformaciju d usljed sile P koja djeluje na vrh. Pri tome pretpostaviti da je ugao zakošenja mali i da težina stuba nema uticaj na deformaciju. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 46

48 Aksijalno naprezanje Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi Problem je statički naodređen ako jednačine ravnoteže nisu dovoljne da bi se odredile sile reakcije. F 0 F F P0 B A Nedovoljno da bi se odredile reakcije!!! Dodatni uslov za određivanje sile reakcije su: uslovi kompatibilnosti ili kinematski uslovi specificiraju ograničenja u pomjeranju koja se javljaju u osloncima ili bilo kojoj drugoj tački u elementu. A B 0 Zadatak možemo riješiti koristeći dijagram sila u štapu, ili pomoću metode superpozicije. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 47

49 Aksijalno naprezanje Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi Dijagram aksijalnih sila F 0 F F P 0 B A A FL AE B 0 FL AE A AC B CB 0 L L CB FA P FB P L L AC MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 48

50 Aksijalno naprezanje Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi Princip superpozicije Princip superpozicije: rezultujući naponi ili pomjeranja u nekoj tački mogu se odrediti algebarskim sabiranjem napona ili pomjeranja koja su uzrokovana svakom komponentom pojedinačno. Uslovi za primjenu uslova superpozicije: 1. Opterećenje mora biti linearno u odnosu na napon ili pomjeranje koje treba odrediti. Opterećenje ne smije značajno promijeniti početnu geometriju ili konfiguraciju elementa na koji djeluje MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 49

51 Aksijalno naprezanje Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi Metod fleksibilnosti ili metod sila (jednačina kopatibilnosti predstavljena principom superpozicije) + P PL EA AC B FL B EA CB LAC P B 0 PLAC FBL 0 FB P L MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 50

52 Aksijalno naprezanje V Primjer.4: Dio ABCD s fiksiranim krajevima sastoji se od tri prizmatična segmenta, kao na slici. Krajnji segmenti imaju površinu poprečnog presjeka od A 1 =840 mm i dužinu L 1 =00 mm. Srednji segment ima površinu poprečnog presjeka od A =160 mm i dužinu L =50 mm. Opterećenja su: P B =5.5 kn i P C =17.0 kn. a) Odrediti reakcije R A i R D u fiksiranim osloncima. b) Odrediti pritisnu aksijalnu silu F BC u srednjem segmentu. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 51

53 Aksijalno naprezanje Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi (Villot-ov) Plan pomjeranja (rešetkasti nosači) Za male uglove rotacije dužina luka može se zamijeniti tangentom dijela kružnice pomjeranje se nanosi pod uglom 90º. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 5

54 Aksijalno naprezanje Primjer.5: Kruta šipka AB dužine L oslonjena je u tački A i ovješana pomoću dvije vertikalne žice u tačkama C i D. Obe žice imaju isti poprečni presjek A, i izrađene su od istog materijala modula elastičnosti E. a) Odrediti napone C i D u žicama usljed opterećenja P koje djeluje u tački B. b) Naći pomjeranje tačke B, c) temperaturu u užetu C tako da kruta poluga ostane u horizontalnom položaju. d) uraditi a-c, ako nema štapa D. Podaci: L=1700 mm, A=18 mm, E=10GPa, h=450 mm, c=500 mm, d=150 mm, P=750 N. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 53

55 Aksijalno naprezanje Primjer.6: Kruta poluga ABC, okačena o uže CD i oslonjena na elastični štap BE, nosi kontinuirano opterećenje, kao što je prikazano na slici desno. Odrediti: a) sile i napone u štapu BE i užetu CD, b) deformaciju užeta CD i štapabe, c) vertikalno pomjeranje tačke C. d) temperaturu u užetu tako da kruta poluga ostane u horizontalnom položaju. e) uraditi a-c, ako nema štapa BE. Podaci: poluga ABC L AB = 1.5 m, L AC = m; uže CD E CD = 00 GPa, A CD = 3 cm, L CD =.5 m, = 30º; štapbe E BE = 0 GPa, A BE = 0 cm, L BE = 00 mm; q = 0 kn/m. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 54

56 Aksijalno naprezanje Primjer.7: Za sistem štapova na slici odrediti sile u štapovima, te pomjeranje tačke C pod djelovanjem sile F. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 55

57 Aksijalno naprezanje Izduženje aksijalno opterećenog elementa: utjecaj temperature Promjene temperature u elementu proizvode širenje ili skupljanje elementa, stvarajući tako tzv. termičke deformacije i napone. Deformacija: T T (.4) koeficijent termalnog širenja materijala, [1/K] Napon: E T T ( T ) E (.5) Izduženje: L T T ( T ) L (.6) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 56

58 Aksijalno naprezanje Primjer.8: Plastična šipka ACB sačinjena od dva različita puna dijela cilindričnog poprečnog presjeka nalazi se između dva kruta oslonca kao na slici. Šipka je izložena povećanju temperature od 30C. a) Odrediti silu koja vlada u šipki, b) maksimalni napon u tački C, c) pomjeranje u tački C. Podaci: E=6 GPa, = /C. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01.

59 Aksijalno naprezanje Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi problemi Opšti princip rješavanja statički neodređenih aksijalno opterećenih elemenata 1. Postaviti jednačine ravnoteže (statičke, kinetičke jednačine). Postaviti jednačine kompatibilnosti (geometrijske, kinematičke jednačine, jednačine konzistentne deformacije) 3. Postaviti relacije sila-deformacija (konstitutivne relacije) 4. Riješiti sistem jednačine dobiven kroz korake 1-3 MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 58

60 Aksijalno naprezanje Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi problemi M1 M M3 MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 59

61 VI Aksijalno naprezanje Napon u kosom presjeku Pojam elementa napona izolovani segment nekog elementa s ucrtanim naponima koji djeluju na njegove površine/stranice. Element napona MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 60

62 Aksijalno naprezanje Napon u kosom presjeku MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 61

63 Aksijalno naprezanje Napon u kosom presjeku N Pcos V Psin N A 1 P = cos A Istezanje pozitivan znak Pritisak negativan znak V P = sincos A A 1 Pozitivan znak ako tangencijalni napon teži rotirati materijal suprotno kretanju kazaljke na satu. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 6

64 Aksijalno naprezanje Napon u kosom presjeku N P = cos x cos A A 1 V P = sincos x sincos A A 1 cos (1 cos ) 1 sin cos sin 1 x x (1 cos ) sin (.7) (.8) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 63

65 Aksijalno naprezanje Napon u kosom presjeku Maksimalni normalni i tangencijalni napon za 0 ( 0) max 0 za 90 ( 0) min x x x max za 45 ( ) x x min za 45 ( ) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 64

66 Aksijalno naprezanje Primjer.9: Plastična šipka, pravougaonog poprečnog presjeka, je ugrađena između krutih oslonaca, ali bez početnog napona. Kada se temperatura u šipki poveća 40 C, u ravni pq se javi pritisni napon od 1 MPa. a) izračunati tangencijalni napon u ravni pq. b) nacrtaj element napona orijentisan prema ravni pq i pokaži napone koji djeluju na sve površi elementa. Podaci: = /K, E=3 GPa, b=37.5 mm, h=75mm MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 65

67 Aksijalno naprezanje Primjer.10: Dvije ploče su spojene ljepljenjem, kao što je prikazano na slici. Radi lakšeg rezanja i ljepljenja, ugao između ljepljene površine i površine ploča mora biti između 10 i 40. Normalni napon u ploči pod djejstvom sile P je 4.9 MPa. Treba uraditi sljedeće: a) izračunati normalne i tangencijalne napone u ljepljenom spoju ako je =0, b) Ako je dozvoljeni tangencijalni napon u spoju.5 MPa, koji je najveći dopušteni ugao, c) Koji ugao bi se trebao koristiti da bi tangencijalni napon u ljepljenom spoju bio dvostruko veći od normalnog. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 66

68 Aksijalno naprezanje Deformacioni rad W Pd Izduženje šipke proizvodi deformaciju, čime se povećava energija šipke, tzv. energiju deformacije ili deformacioni rad. U W Pd (.9) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 67

69 Aksijalno naprezanje Deformacioni rad Linearno elastično ponašanje materijala U W 1 Pd P (.10) U U PL (.11) EA EA (.1) L Nejednake šipke U U PL i i A E i i i i U ( ) L Px dx (.13) 0 A( xe ) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 68

70 Uvijanje *Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 003 *JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 009. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 69

71 Uvijanje Osnovni pojmovi Moment sprega sila, [Nm] T Pd T Pd (3.1) Moment sprega sila vektorska reprezenacija (pravilo desne ruke) Moment sprega sila reprezentacija uvijenom strelicom Momenti koji uvijaju neki element nazivaju se uvojni ili torzioni momenti. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 70

72 Uvijanje Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka Čisto uvijanje svi jednaki poprečni presjeci opterećeni istim momentom uvijanja ugao uvijanja (rotacije) Element abcd postaje ab c d, kojem se ne mijenjaju stranice, ali se mijenja ugao između njih čisto smicanje (element izložen samo tangencijalnim deformacijama)! MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 71

73 Uvijanje Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka Maksimalan ugao uvijanja bb' rd max ab dx (3.) Odnos tangencijalne deformacije i ugla uvijanja na površini šipke Promjena ugla uvijanja d dx Za čisto uvijanje max r r L (3.3) Tangencijalna deformacija r max (3.4) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 7

74 Uvijanje Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka max r L r r min r 1 1 max L (3.5) Sve prethodne relacije važe za sve materijale, bez obzira da li su linearni ili nelinearni, elastični ili neelastični, ali za male uglove uvijanja i male deformacije! MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 73

75 Uvijanje Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka Veza deformacija i napona VII G max Gr r max Linearna zavisnost napona i udaljenosti od ose uvijanja!!! (3.6) Uzdužni i transferzalni naponi Uvijanje = čisto smicanje = dvoosno naponsko stanje bez tangencijalnih napona MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 74

76 Uvijanje Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka Veza deformacija i napona max r Formula uvijanja max dm da da r max max T dm da da da (3.6) r r A A A A 4 Io da m polarni moment inercije poprečnog presjeka A 4 d Io za kružni poprečni presjek 3 Tr T Formula uvijanja max I W (3.7) o o W o polarni moment otpora presjeka W o 3 d 16 za kružni poprečni presjek Opšta formula uvijanja r max T I o (3.8) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 75

77 Uvijanje Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka Veza deformacija i napona max Gr Tr T max I W o o Ugao uvijanja konstantni parametri Promjena parametera po segmentima T GI o TL L (3.8) GI o TL i i i (3.9) i i GI i o i MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 76

78 Uvijanje Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka Veza deformacija i napona max Gr Tr T max I W o o Proizvoljan uzdužni (kružni) poprečni presjek i/ili opterećenje T( x) dx GxI ( ) ( x) (3.10) L o MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 77

79 Uvijanje Primjer 3.1: Puni štap kružnog poprečnog presjeka, prečnika 40 mm, dužine 1350 mm i modula klizanja 80 GPa, opterećen je momentom uvijanja na svojim krajevima, kao što je dato na slici. Odrediti: a) Maksimalan tangencijalni napon u šipki, te ugao uvijanja ako je moment uvijanja 340 Nm b) Maksimalan mogući moment uvijanja, ako je dozvoljeni tangencijalni napon 40 MPa, a maksimalni dozvoljeni ugao uvijanja.5 40 mm 1350 mm RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 011. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 78

80 Uvijanje Primjer 3.: Vratilo cilindričnog poprečnog presjeka od čelika, izrađeno u dvije varijante, kao puno i šuplje (slika), treba prenese moment uvijanja od 100 Nm bez prekoračenja dozvoljenog tangencijalnog napona od 40MPa i dozvoljenog uzdužnog uvijanja od 0.75/m. Treba odraditi: a) Prečnik punog vratila b) Potrebni vanjski prečnik šupljeg vratila ako je debljina stjenke vratila jedna desetina vanjskog prečnika c) Odnos prečnika (d /d 1 ) i težina oba vratila RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 011. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 79

81 Uvijanje Primjer 3.3: Momenti uvijanja djeluju na puno čelično vratilo kao što je prikazano na slici desno. Odrediti: a) Ugao uvijanja diskova A i B u odnosu na disk C, b) Maksimalni napon u vratilu BC, c) Dimenzije šupljeg vratila od aluminijuma koje bi trebalo zamijeniti dio CD, ako se zna da je odnos vanjskog i unutrašnjeg prečnika 1.. Proračun uraditi prema kriterijumu čvrstoće. Podaci: T A = 00 Nm, T B = 400 Nm, T C = 100 Nm, d AB = 0 mm, d BC = 30 mm, d CD = 5 mm, L AB = 00 mm, L BC = 300 mm, L CD = 50 mm. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 80

82 Uvijanje Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka Ograničenja u korištenju prethodnih jednačina Samo za kružne poprečne presjeke (pune ili šuplje) Linearno elastični materijali Za dijelove vratila udaljene od koncentracija napona Ne mogu se koristiti za druge poprečne presjeke jer: Poprečni presjek ne ostaje u ravni Maksimalni naponi nisu uvijek u najudaljenijim tačkama presjeka Naprednije metode analize napona neophodne za rješavanje MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 81

83 Uvijanje Statički neodređeni problemi Cijev () Jednačine ravnoteže Šipka (1) Fiksna ploča T T T 1 Jednačine kompatibilnosti 1 Konstitutivne relacije Šipka (1) Šipka (1) 1 TL 1 GI TL GI 0 Cijev () GI T1 T GI GI 0 Cijev () GI 0 T T GI GI 0 MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 8

84 Uvijanje Statički neodređeni problemi Opšti princip rješavanja statički neodređenih elemenata opterećenih na uvijanje 1. Postaviti jednačine ravnoteže (statičke, kinetičke jednačine) moment uvijanja. Postaviti jednačine kompatibilnosti (geometrijske, kinematičke jednačine, jednačine konzistentne deformacije) ugao uvijanja 3. Postaviti relacije moment uvijanja-ugao uvijanja (konstitutivne relacije) 4. Riješiti sistem jednačine dobiven kroz korake 1-3 MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 83

85 Uvijanje Primjer 3.5: Vratilo ABC je uklješteno na oba kraja i opterećeno momentom uvijanja T 0 u tački C. Segmenti AC i CB vratila imaju prečnike d A i d B dužina L A i L B i polarnih momenata inercije I 0A i I 0B, respektivno. Potrebno je izvesti formule: a) za momente u uklještenjima A i B b) za maksimalan tangencijalni napon AC i CB u svakom segmentu vratila c) ugao rotacije C u poprečnom presjeku gdje je primijenjen moment uvijanja T 0 MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 84

86 Uvijanje Deformacioni rad U W T U T L GI0 GI L 0 V ht h U ht U W V G u G MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 85

87 Savijanje* VIII *Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 003 *JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 009. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 86

88 Savijanje Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka* Karakteristike poprečnih presjeka neophodnih za proračun napona: 1. Površina poprečnog presjeka aksijalno neprezanje. Moment površine prvog reda statički moment površine raspodjela tangencijalnih napona u poprečnim presjecima grede izložene savijanju silama 3. Momenti površine drugog reda (momenti inercije): a. Aksijalni moment inercije računanje normalnih napona i deformacija greda izloženih savijanju b. Polarni moment inercije računanje napona pri uvijanju c. Centrifugalni momenti inercije određivanje ekstremnih vrijednosti aksijalnih momenata inercije ravne površine *Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 003 MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 87

89 Savijanje Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka Težište geometrijski centar površine x y A A A xda A da yda da S y A S x A S x statički moment inercije s obzirom na x osu S S y statički moment inercije s obzirom na y osu S x y yda (4.1) A xda (4.) A Konačan broj jednostavnih oblika x y i i i i x A i A i i i i ya A i Centralne (težišne) ose prolaze kroz težište - centralni momenti jednaki nuli!!! MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 88

90 Savijanje Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka Momenti inercije momenti inercije drugog reda I x A y da aksijalni moment inercije s obzirom na x osu (4.3) I y A xda aksijalni moment inercije s obzirom na y osu (4.4) I xy xyda A centrifugalni moment inercije s obzirom na x i y osu (4.5) I 0 rda polarni moment inercije s obzirom na tačku 0 A (4.6) I rda x y da I I 0 ( ) x y A A (4.7) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 89

91 Savijanje Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka Momenti inercije momenti inercije drugog reda Polarni moment inercije za tačku se ne mijenja s rotacijom koordinatnog sistema zbir centralnih momenata inercije je konstantan Centralni momenti inercije su pozitivne veličine Centrifuglani moment inercije može biti pozitivan, negativan ili nula; jednak je nuli u odnosu na ravan simetrije, ako se jedna od težišnih osa podudara s ravni simetrije Momenti inercije u odnosu na težišne ose su centralni ili sopstveni momenti inercije Poluprečnici inercije i x I x A i y I y A (4.8) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 90

92 Savijanje Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 91

93 Savijanje Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 9

94 Savijanje Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka Steiner-ova (Štajner) teorema teorema paralelnih osa promjena momenata inercije s translacijom koordinatnog sistema I ( y d ) da y da d y da d da I Ad x C 1 C 1 C 1 x C 1 A A A A I I Ad x x C I I Ad y y C 1 Moment inercije površine u odnosu na bilo koju osu u ravni jednak je momentu inercije u odnosu na paralelnu težišnu osu i proizvoda površine i kvadrata udaljenosti između dvije ose I ( x d )( y d ) da xy C 1 C A I I Ad d xy xy C 1 x ydad ydad xdadd da C C 1 C C 1 A A A A (4.9) (4.10) (4.11) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 93

95 Savijanje Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka Promjena momenata inercije s rotacijom koordinatnog sistema I x A y da I y A xda I xy xyda A x1 xcos ysin y1 xsin ycos I y da ( xsin ycos ) da x x A 1 A I sin xdacos y da sincos xyda A A A I I I I x x cos y sin xy sin cos ( ) (1 cos( )) 1 sin ( ) (1 cos( )) 1 I x 1 Ix Iy Ix Iy cos( ) Ixysin( ) (4.1) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 94

96 Savijanje Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka Promjena momenata inercije s rotacijom koordinatnog sistema I I x y 1 1 Ix Iy Ix Iy cos( ) Ixysin( ) Ix Iy Ix Iy cos( ) Ixysin( ) (4.1) (4.13) I x yda ( xcos ysin )( xsin ycos ) da xy 1 1 A 1 1 A I xy cos xyda sin xyda sincos x da sincos y da 1 1 A A A A 1 Ixy 1 1 ( IxIy )sin Ixy cos (4.14) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 95

97 Savijanje Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka Invarijante momenata inercije (4.1) + (4.13) + (4.14) I I Io Ix Iy Ix I 1 y - prva invarijanta momenta inercije 1 I II I II x y xy - druga invarijanta momenta inercije Glavni momenti inercije di x 1 ( Ix Iy) sin( ) Ixycos( ) 0 d tg I I x xy I y (4.15) Ugao određuje ravan maksimalnog/minimalnog momenta inercije Jednačina (4.15) ima dva korijena u domenu (0,), a oni ovise od predznaka xy i ( x - y ) ovi korijeni se nazivaju i uglovi glavnih momenata inercije MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 96

98 Savijanje Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka Glavni momenti inercije I I 1 Ix Iy Ix Iy I Ix Iy Ix Iy I xy xy (4.16) I1 0 MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 97

99 Savijanje Primjer 4.1: Za ravni presjek dat na slici odrediti glavne centralne momente inercije i položaj glavnih centralnih osa inercije. Primjeri D.1-D.5 (str ), Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 003. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 98

100 IX Savijanje Dijagrami transferzalnih sila i momenta savijanja Usljed primijenjenog opterećenja u gredi se razvijaju tangencijalne (transferzalne) sile i momenti savijanja. U svrhu dimenzionisanja neophodno je odrediti maksimalne tangencijalne napone i momente! Jednostavno oslonjena greda Konzolna greda Pozitivno orijentisano kontinuirano opterećenje Pozitivno unutrašnje tangencijalno opterećenje Greda s prepostom Vrste greda Pozitivni unutrašnji moment savijanja Konvencija o predznaku opterećenja RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 011. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 99

101 Savijanje Veze opterećenja, transferzalnih sila i momenata savijanja Područje kontinuiranog opterećenja F 0, V w( x) x( V V) 0 i 0 i V w( x) x M 0, VxM w( x) x k( x) ( M M) 0 i i y M Vxw( x) k( x) (4.17) (4.18) dv (4.17) ( ) dx wx Nagib dijagrama transferzalnih sila = intenzitetu kontinutiranog opterećenja (4.18) dm V dx Nagib dijagrama momenta savijanja = transferzalna sila MEHANIKA MATERIJALA I 00/

102 Savijanje Veze opterećenja, transferzalnih sila i momenata savijanja Područje koncentrisanih sila i momenata Fy i 0, V F ( V V) 0 (4.19) i V Ukoliko sila F djeluje nadole, transferzalna sila na dijagramu skače nadole! F M 0, M M M VxM 0 i 0 0 i x0, M M 0 (4.0) Ukoliko moment M djeluje u smjeru kazaljke na satu, moment na dijagramu momenata skače nagore! MEHANIKA MATERIJALA I 00/

103 Savijanje Čisto savijanje Čisto savijanje se odnosi na savijanje grede pod konstantnim momentom savijanja; dešava se samo tamo gdje su transferzalne sile jednake nuli!!! Centralni dio grede u čistom savijanju, a krajevi u nejednakom savijanju!!! MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 10

104 Savijanje Čisto savijanje Horizontalne linije su zakrivljene Vertikalne linije ostaju ravne MEHANIKA MATERIJALA I 00/

105 Savijanje Zakrivljenjost grede 1 zakrivljenost grede radijus zakrivljenja grede 1 d d ds ds 1 d za male deformacije(ugibe): (4.1) dx MEHANIKA MATERIJALA I 00/

106 Savijanje Čisto savijanje uzdužne deformacije u gredi dx y Lef ' ( y) d d dx dx Uzdužna deformacija je sada: x Lef ' Lef Lef ' dx y y L dx ef (4.) Deformacije grede pri čistom savijanju mijenjaju se linearno s udaljenošću od neutralne površine bez obzira na model materijala (njegovu zavisnost napondeformacija) Neutralna površina s profilom se siječe u neutralnoj osi (d=dx) Uzdužni elementi grede pri čistom savijanju su izloženi jednoosnom naponskom stanju. MEHANIKA MATERIJALA I 00/

107 Savijanje Čisto savijanje normalni naponi u gredi X Ey x Ex Ey Gdje se nalazi neutralna osa u odnosu na koju se računa y?! Kod čistog savijanja aksijalna sila je nula rezultantna sila u x pravcu je nula A da x A EydA 0 A yda S x 0 z-osa mora proći kroz težište!!! Neutralna osa prolazi kroz težište poprečnog presjeka grede za materijal koji se ponaša po Hooke-ovom zakonu i ukoliko na njega ne djeluju aksijalne sile MEHANIKA MATERIJALA I 00/

108 Savijanje Čisto savijanje normalni naponi u gredi x Ey Relacija moment savijanja zakrivljenost grede Rezultantni moment jednak je momentu M dm yda x M x yda EyydA E y da A A A M 1 EIz M EI z EI savojna krutost!!! My x Formula savijanja!!!! (4.3) I z MEHANIKA MATERIJALA I 00/

109 Savijanje Čisto savijanje normalni naponi u gredi Maksimalni naponi u poprečnom presjeku Pritisni naponi Zatezni naponi 1 Mc I x 1 M S 1 (4.4) Mc I x M S Zatezni naponi Pritisni naponi S 1 i S sekcijski moduli poprečnog presjeka MEHANIKA MATERIJALA I 00/

110 Savijanje Čisto savijanje normalni naponi u gredi Ograničenja u korištenju formule savijanja važi samo za homogene, linearno elastične materijale izložene čistom savijanju ne važi za nejednako savijanje, jer transferzalne sile uzrokuju deformaciju poprečnog presjeka izvan ravni ne daje tačne rezultate za područja oko oslonaca, promjena poprečnog presjeka, diskontinuiteta u opterećenju (koncentracija napona!!!) IPAK, i u slučaju nejednakih momenata savijanja formula savijanja se može koristiti!!! MEHANIKA MATERIJALA I 00/

111 Savijanje Primjer 4.: Za gredu datu na slici odrediti maksimalne zatezne i pritisne napon u gredi usljed kontinuiranog opterećenja. Zadatak prvo uraditi za gredu pravougaonog poprečnog presjeka vanjskih dimenzija presjeka na slici. MEHANIKA MATERIJALA I 00/

112 Savijanje Primjer 4.3: Privremena drvena brana napravljena je od horizontalnih dasaka A oslonjenih na dva vertikalna stuba B. Stubovi su kvadratnog poprečnog presjeka (bb) postavljeni na udaljenosti 0.8 m, kao na slici. Pretpostaviti da je dubina vode do vrha brane, h= m. Odrediti najmanju dimenziju b stuba ako je dozvoljeni napon drveta doz =8 MPa. MEHANIKA MATERIJALA I 00/

113 Savijanje Tangencijalni naponi u gredi Pretpostavke: Tangencijalni naponi su paralelni s transferzalnim silama Tangencijalni naponi su uniformno raspoređeni po širini grede (ali mogu da se mijenjaju po visini) Vrijedi: Tangencijalnim naponima na elementu odgovaraju uzdužni naponi na gornjem i donjem rubu tangencijalni naponi su nula MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 11

114 Savijanje Tangencijalni naponi u gredi My 1 I z ( M dm ) y 1dA I z My I z da My F da da I 1 1 A A A ( M dm ) y F da da I A z z F3 F 3 bdx F F F 3 1 dm I A yda dm 1 dx Ib Q yda A A yda VQ Ib (4.5) Formula tangencijalnih napona!!! MEHANIKA MATERIJALA I 00/

115 Savijanje Tangencijalni naponi u gredi Pravougaoni poprečni presjek dm 1 dx Ib Q yda A yda VQ Ib A h / bh Q yda bydy y 4 A y 1 1 VQ V h Ib I 4 y 1 V h Vh 3V I 4 8I A max y1 y 0 1 (4.6) MEHANIKA MATERIJALA I 00/

116 Savijanje Tangencijalni naponi u gredi Ograničenja u korištenju formule tangencijalnih napona važi samo za homogene, linearno elastične materijale s malim deformacijama za pravougaone poprečne presjeke tačnost zavisi i od odnosa širina-visina što je presjek uži, tačnija je: za kvadratni poprečni presjek maksimalan napon je 13% viši od onog datog izrazom (4.6) izraz (4.5) ne važi za mnoge poprečne presjeke (trouglasti, polukrug,...) izraz (4.5) važi samo ako su ivice paralelne s y-osom (tangencijalni naponi djeluju paralelno y-osi) izraz (4.5) važi samo ako je tangencijalni napon ravnomjeran po širini poprečnog presjeka formula je primjenjiva samo na prizmatične poprečne presjeke parabolička promjena tangencijalnih napona uzrokuje paraboličku promjenu tangencijalnih deformacija = vitoperenje pokazuje se da vitoperenje usljed tangencijalnih napona ne mijenja značajnije uzdužne deformacije čak i kada se tangencijalne sile mijenjaju duž grede I u slučaju nejednakih momenata savijanja formula savijanja se može koristiti!!! MEHANIKA MATERIJALA I 00/

117 Savijanje XI Primjer 4.4: Drvena greda, pravougaonog poprečnog presjeka bh= mm, AB je opterećena kao na slici. Koncentrisana sila djeluje na udaljenosti a=0.5 m od svakog oslonca. Odrediti maksimalnu dozvoljenu silu P ako je dozvoljeni napon na savijanje 11 MPa (i za zatezanje i za pritisak), a dozvoljeni napon na tangencijalni napon 1. MPa. Uticaj težine grede zanemariti. MEHANIKA MATERIJALA I 00/

118 Savijanje Tangencijalni naponi u gredi Kružni poprečni presjek približan proračun Tangencijalni naponi nisu paralelni s y-osom (vidi tačku m) Ipak, tangencijalni naponi su najveći na neutralnoj osi, i pretpostavimo da su uzduž p-q jednaki moguće koristiti formulu (4.5) VQ Ib I 4 r 4 3 r 4r r Q Ayc b r 3 3 VQ 4V max Ib (4.7) 3A Kružni prsten 4 4 ( r r1 ) 3 3 I Q ( r r1 ) b ( r r1) 4 3 VQ 4 V r rr r ( ) 1 1 max Ib 3A r r1 (4.8) MEHANIKA MATERIJALA I 00/

119 Savijanje Tangencijalni naponi u gredi Profili Javljaju se tangencijalni naponi i u horizontalnom (mnogo veći) i u vertikalnom pravcu Javljaju se tangencijalni naponi samo vertikalnom pravcu (kao za pravougaoni poprečni presjek) MEHANIKA MATERIJALA I 00/

120 Savijanje Tangencijalni naponi u gredi Profili h h 1 A1 b h A t y 1 1 h h1 h1 y h 1 1 Q A1 Ay1 b t Q h h1 h1 4y1 8 8 VQ V b h h t h y Ib 8It ( b t) h1 1 ( ) 3 bh I bh bh th V max ( bh bh 1 th 1 ) 8It Vb ( h bh ) (1.11.6) 8It min 1 max min (4.9) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01.

121 Savijanje Tangencijalni naponi u gredi Profili tangencijalna sila V Adijagramt h1min h1 ( maxmin ) t 3 V th 3 1 max min Tangencijalna sila u vertikalnom dijelu nosi 90-98% ukupne tangencijalne sile!!! sr V th 1 Obično se koristi pojednostavljena formula koja daje 10% grešku u odnosu na izraz (4.9) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 10

122 Savijanje Primjer 4.5: Greda s poprečnim presjekom kao na slici izložena je transferzalnoj sili V=45 kn. Odrediti maksimalan i minimalan tangencijalni napon, te ukupnu silu koja djeluje na vertikalni dio profila. Dimenzije poprečnog presjeka su: b=165 mm, t=7.5 mm, h=30 mm i h 1 =90 mm. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 11

123 Savijanje Primjer 4.6: Greda s poprečnim presjekom kao na slici izložena je transferzalnoj sili V=45 kn. Odrediti tangencijalni napon u presjeku n-n, te maskimalan tangencijalni napon. Dimenzije poprečnog presjeka su: b=100 mm, t=5 mm, h=00 mm i h 1 =175 mm. b=100 mm h 1 =175 mm t=5 mm h=00 mm MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 1

124 Savijanje Maksimalni naponi u gredi My x Formula savijanja!!!! (4.3) I z VQ Formula tangencijalnih napona!!! (4.5) Ib MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 13

125 Savijanje Dimenzionisanje Savojni i tangencijalni naponi ne prelaze dozvoljene napone Grede su obično duge, pa su momenti savijanja veliki, a tangencijalni naponi služe kao konačna provjera. Sekcijski modul treba ispunjavati: S z S gr M max doz M I max y doz S max Za jednostavne poprečne presjeke jednostavno je naći potrebne dimenzije, dok se za složene izabere oblik, pa onda dimenzije. Nakon izbora provjerava se tangencijalni napon koristeći jedan od izraza VQ It doz S max Iako prethodni izraz ne predstavlja problem, za kratke i grede opterećene velikim tangencijalnim silama, te grede od drveta, neophodno je uzeti u obzir tangencijalne napone. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 14

126 Savijanje Primjer 4.7: Slojevita drvena greda data na slici izložena je kontinuiranom opterećenju od 1 kn/m. Ako odnos visine i širine grede mora biti 1.5, odraditi najmanju širinu koja može izdržati opterećenje. Dozvoljeni napon na savijanje je 9 MPa, a na smicanje 0.6 MPa. Težinu grede zanemariti. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 15

127 Savijanje Primjer 4.8: Za gredu kružnog prstenastog poprečnog presjeka vanjskog prečnika d=50 mm, opterećenu kao na slici, odredi dimenzije poprečnog presjeka, ako je dozvoljeni napon na savijanje 100 MPa, a dozvoljeni tangencijalni napon je 50 Mpa Podaci: L AB =0.4 m, L AC =1 m, L AD =1. m, F B =5 kn, M D =1 knm. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 16

128 Savijanje Deformacioni rad Čisto savijanje Transferzalna sila 1 My U dv dadx E E I V V 1 VQ U dv dadx G G It V V U L M dx 0 EI U L V Q da dx GI t 0 A MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 17

129 Ravno stanje napona i primjena* *JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 009. MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 18

130 Ravno stanje napona i primjena* Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac u kojem djeluje. Konvencija o predznaku napona Normalni napon je pozitivan ako se njegov smjer poklapa sa smjerom vanjske normale na elementu površine Tangencijalni napon je pozitivan ako je na gornjoj i desnoj površini elementa usmjeren ka pozitivnom smjeru ose. *Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 003 MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 19

131 Ravno stanje napona i primjena Ravno stanje napona Ravno stanje napona jedinstveno predstavljeno s dvije komponente normalnog napona i jednom komponentom tangencijalnog napona koji djeluju na element s određenim položajem u tački elementa. xy yx xy yx MEHANIKA MATERIJALA I 00/

132 Ravno stanje napona i primjena Naponi na kosoj ravni Fxi 1 i Fyi 1 i 0 A sec( ) A cos( ) A sin( ) x1 0 x 0 xy 0 0 A tg( )sin( ) A tg( )cos( ) 0 y 0 yx 0 A sec( ) A sin( ) A cos( ) xy x 0 xy 0 A tg( )cos( ) A tg( )sin( ) 0 y 0 yx 0 (5.1) (5.) x xcos ( ) ysin ( ) yxsin( )cos( ) 1 (5.3) xy ( x y)sin( )cos( ) yx(cos ( ) sin ( )) 1 1 (5.4) MEHANIKA MATERIJALA I 00/

133 Ravno stanje napona i primjena Naponi na kosoj ravni x xcos ( ) ysin ( ) yxsin( )cos( ) xy ( x y)sin( )cos( ) yx(cos ( ) sin ( )) (5.3) (5.4) cos ( ) (1 cos( )) 1 sin ( ) (1 cos( )) 1 1 sin( )cos( ) sin( ) x y x y x cos( ) sin( ) 1 xy (5.5) x y xy sin( ) cos( ) 1 1 xy (5.6) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 13

134 Ravno stanje napona i primjena Naponi na kosoj ravni x y x y x cos( ) sin( ) xy (5.7) x y x y 1 1 (5.8) x y x y x cos( ) sin( ) 1 xy x y xy sin( ) cos( ) 1 1 xy MEHANIKA MATERIJALA I 00/

135 Ravno stanje napona i primjena Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi XII x y x y x cos( ) sin( ) 1 xy (5.5) d x 1 ( x y) sin( ) xycos( ) 0 (5.8) d (5.8) xy tg( ) x y (5.9) Ugao određuje ravan maksimalnog/minimalnog normalnog napona Jednačina (3.9) ima dva korijena u domenu (0,), a oni ovise od predznaka xy i ( x - y ) ovi korijeni se nazivaju i uglovi glavnih ravni MEHANIKA MATERIJALA I 00/

136 Ravno stanje napona i primjena Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi x y x y x cos( ) sin( ) 1 xy (5.5) x y xy sin( ) cos( ) 1 1 xy (5.6) (5.7) x1 y1 x y 1 R x y x y cos( ) R xy sin( ) R xy x y x y 1 x y x y U ravni glavnih normalnih napona ne djeluju tangencijalni naponi, tj. 1 =0 xy xy (5.10) (5.11) MEHANIKA MATERIJALA I 00/

137 Ravno stanje napona i primjena Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi x y xy sin( ) cos( ) 1 1 xy (5.6) d xy 1 1 ( x y)cos( ) xysin( ) 0 (5.1) d (5.1) x y 1 tg( ) tg( ) xy (5.13) Ugao određuje ravan maksimalnog/minimalnog tangencijalnog napona Jednačina (3.13) ima dva korijena u domenu (0,), a oni ovise od predznaka xy i ( x - y ) za ugao prema (3.13) vrijedi = 45 MEHANIKA MATERIJALA I 00/

138 Ravno stanje napona i primjena Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi x y x y x cos( ) sin( ) 1 xy (5.5) x y xy sin( ) cos( ) 1 1 xy (5.6) (5.7) x1 y1 x y 1 R x y xy max,min x y 1 xy (5.14) xy cos( ) R U ravni najvećih tangencijalnih napona djeluju normalni naponi x sin( ) R y x y 1 (5.15) MEHANIKA MATERIJALA I 00/

139 Ravno stanje napona i primjena Mohr-ov (Mor) krug napona (grafičko određivanje naponskog stanja) Jednačine za računanje napona mogu se predstaviti grafički pomoću Mohr-ovog kruga napona. Iz jednačina (3.5) i (3.6) se eliminiše ugao x y x y x cos( ) sin( ) 1 xy x y xy sin( ) cos( ) 1 1 xy Jednačine za računanje napona mogu se predstaviti grafički pomoću Mohr-ovog kruga napona. Iz jednačina (3.5) i (3.6) se eliminiše ugao tako što se obje jednačine kvadriraju i saberu, pa se dobije: (5.5) (5.6) x y x y x xy xy (5.16) x sr x y R (5.16a) MEHANIKA MATERIJALA I 00/

140 Ravno stanje napona i primjena Mohr-ov (Mor) krug napona konstrukcija Dva načina crtanja Mohr-ovog kruga napona MEHANIKA MATERIJALA I 00/

141 Ravno stanje napona i primjena Mohr-ov (Mor) krug napona konstrukcija Nacrta se koordinatni sistem s abscisom x1 ( n ), pozitivna na desno, i ordinatom xy ( n ), pozitivna na dole U dijagramu se ucrta tačka A s koordinatama ( x, xy ) predstavlja naponsko stanje na pozitivnoj x površi (površ A) U dijagramu se ucrta tačka B s koordinatama ( y,- xy ) predstavlja naponsko stanje na pozitivnoj y površi (površ B) Povuče se duž od AB koja predstavlja prečnik kruga napona s centrom u tački C. Koristeći tačku C kao centar nacrta se kružnica koja prolaziu kroz tačke A i B. Ugao koji određuje ravan normalnih napona određuje se na osnovu ugla p Ugao koji određuje ravan maksimalnih tangencijalnih napona određuje se na osnovu ugla s MEHANIKA MATERIJALA I 00/

142 Ravno stanje napona i primjena Mohr-ov (Mor) krug napona konstrukcija JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 009. MEHANIKA MATERIJALA I 00/

143 Ravno stanje napona i primjena Mohr-ov (Mor) krug napona određivanje napona za proizvoljnu ravan *Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 003 MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 14

144 Ravno stanje napona i primjena Primjer 5.1: Element je izložen naponima kao na slici: x =85 MPa, y =-9 MPa, xy =-3.5 MPa. a) Odrediti glavne napone i prikaži na skici elementa napona b) Odrediti maksimalni tangencijalni napon i pokaži na elementu napona c) rezultate pod a) i b) potvrdi konstrukcijom Mohr-ovog kruga napona -9MPa 85MPa -3.5MPa MEHANIKA MATERIJALA I 00/

145 Ravno stanje napona i primjena Hooke-ov zakon za ravno stanje napona + + x x E x y E x z E y x E y y E y z E G xy yx E (1 ) G 1 x ( x y ) 1 E x ( x y ) T E 1 y ( y x ) + utjecaj temperature 1 E y ( y x ) T (5.17) E z ( x y) E z ( x y) T E MEHANIKA MATERIJALA I 00/

146 Ravno stanje napona i primjena Hooke-ov zakon za ravno stanje napona 1 x ( x y ) E 1 ( ) E x x y T 1 y ( y x ) + 1 E utjecaj temperature ( ) E z ( x y) ( ) E E y y x T z x y T (5.17) E ( ) x x y 1 E ( ) y y x 1 + utjecaj temperature E ( ) E x x y T 1 1 E ( ) E y y x T 1 1 (5.18) z 0 MEHANIKA MATERIJALA I 00/

147 Ravno stanje napona i primjena Promjena zapremine i deformacioni rad Promjena zapremine V0 abc V1 ( aa x )( bby)( ccz) abc(1 x)(1 y)(1 z) V V (1 )(1 )(1 ) 1 0 x y z V (1 ) 1 V0 x y z V V ( ) 1V0 V0 x y z (5.19) Specifična promjena zapremine (dilatacija): Deformacioni rad V 1 e x y z ( x y ) V E 0 (5.0) W W 1 ( x x y y xy xy ) 1 ( ) xy x y x y E G (5.1) MEHANIKA MATERIJALA I 00/

148 Ravno stanje napona i primjena Specijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanja XIII Aksijalno naprezanje 1 x 1 x y x y x cos( ) sin( ) 1 xy x y xy sin( ) cos( ) 1 1 xy x1 xy 1 1 x (1cos( )) x sin( ) MEHANIKA MATERIJALA I 00/

149 Ravno stanje napona i primjena Specijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanja Čisto smicanje (bez normalnih napona) 1 1 x y x y x cos( ) sin( ) 1 xy x y xy sin( ) cos( ) 1 1 xy sin( ) x xy cos( ) xy xy MEHANIKA MATERIJALA I 00/

150 Ravno stanje napona i primjena Specijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanja Čisto smicanje (bez normalnih napona) Element izložen čistom smicanju (nema normalnih napona) Naponi na kosoj ravni sin( ) x 1 cos( ) xy 1 1 MEHANIKA MATERIJALA I 00/

151 Ravno stanje napona i primjena Specijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanja Čisto smicanje (bez normalnih napona) Tangencijalna deformacija zaklapale ugao od 90 stepeni. je promjena ugla između dvije linije koje su prije opterećenja max (1 ) G E E E MEHANIKA MATERIJALA I 00/

152 Ravno stanje napona i primjena Specijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanja Čisto smicanje (bez normalnih napona) Veza modula elastičnosti i modula klizanja L h(1 ) bd max Lbd h h h cos( ) (1 max ) 1cos( ) 1max max 1sin max max (1 ) E E E G G E (1 ) (3.1) MEHANIKA MATERIJALA I 00/

153 Ravno stanje napona i primjena Specijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanja Dvoosno naprezanje, bez tangencijalnih napona x y x y x cos( ) sin( ) 1 xy x y xy sin( ) cos( ) 1 1 xy x 1 xy 1 1 x y x y x y sin( ) cos( ) MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 15

154 Ravno stanje napona i primjena Maksimalni naponi u gredi Pravougaoni poprečni presjek 1, x y x y xy max,min x y xy Normalni i tang. naponi Glavni normalni naponi Maksimalni tang. naponi MEHANIKA MATERIJALA I 00/

155 Ravno stanje napona i primjena Maksimalni naponi u gredi Profili MEHANIKA MATERIJALA I 00/

156 Ravno stanje napona i primjena Primjer 5.: Prosta greda AB dužine L=1.8 m opterećena je koncentričnom silom P= 48 kn koja djeluje na udaljenosti c=0.6 m od desnog oslonca. Greda je izrađena od čelika pravougaonog poprečnog presjeka bh= mm. Analiziraj glavne normalne i maksimalni tangencijalni napon u presjeku m-n koji se nalazi na udaljenosti x= 5 mm od lijevog oslonca. MEHANIKA MATERIJALA I 00/

157 XIV Ravno stanje napona i primjena Kombinovana opterećenja - općenito Postupak rješavanja: Odabrati (kritičnu) tačku u kojoj želimo odrediti napone i deformacije. Kritične tačke su one u kojima se nalaze najveći normalni ili tangencijalni naponi preko formule za savijanje ili formule za tangencijalne napone. Za svako opterećenje, odrediti rezultante opterećenja u poprečnom presjeku u kojem se nalazi odabrana tačka Izračunati normalne i tangencijalne napone u izabranoj tački za svaku od rezultanti opterećenja Kombinovati pojedinačne napone kako bi se dobile komponente napona, tj. x, y, xy Odrediti glavne normalne i najveće tangencijalne napone za izabranu tačku Odrediti deformacije u izabranoj tački, koristeći Hooke-ov zakon Izabrati dodatne tačke i ponoviti proces. Proces ponavljati sve dok se ne analizira neophodan broj tačaka. MEHANIKA MATERIJALA I 00/

158 Ravno stanje napona i primjena Kombinovana opterećenja - općenito Postupak rješavanja primjer: analizirati napone u tačkama A i B (+ C i D) Tr 1 3 Io r Tačka A T A Mr I 4M 3 r Tačka B 4V 4V 3A 3 r MEHANIKA MATERIJALA I 00/

159 Ravno stanje napona i primjena Primjer 5.3: Vratilo elise helikoptera pokreće elisu koja obezbjeđuje podižuću silu kako bi se helikopter održao u zraku. Kao posljedica se javlja kombinacija uvijanja i aksijalnog naprezanja. Ako je prečnik vratila 50 mm, moment uvijanja.4 knm i zatežuća sila 15 kn, odrediti maksimalan zatežući, maksimalan pritisni napon te maksimalan tangencijalni napon vratila. MEHANIKA MATERIJALA I 00/

160 Ravno stanje napona i primjena XIV Primjer 5.4: Tabla dimenzija x 1. m, kao na slici, postavljena je na stub u obliku cijevi unutrašnjeg prečnika 0 mm i vanjskog prečnika 180 mm. Početak znaka je 0.5 m od ose cijevi stuba, te 6 m iznad zemlje. Odrediti glavne napone i maksimalan tangencijalni napon u tačkama A i B na dnu stuba ako na znak djeluje vjetar koji izaziva pritisak kpa. MEHANIKA MATERIJALA I 00/

161 Ravno stanje napona i primjena Primjer 5.5: Stub od cijevi kvadratnog poprečnog presjeka služi kao nosač horizontalne platforme. Vanjska dimezija cijevi je 150 mm a debljina stjenke je 1.5 mm. Platforma ima dimenzije 170 x 610 mm i nosi kontinuirano opterećenje od 140 kpa koje djeluje na gornjoj površini. Rezultanta ovog opterećenja je vertikalna sila od 14.5 kn i djeluje na sredini platforme, udaljenom 30 mm od ose cijevi. Druga sila od 3.5 kn djeluje horizontalno na stub 1.3 m od osnove. Odrediti glavne normalne napone i maksimalan tangencijalni napon u tačkama A i B na osnovi. d=30 mm 1.4 kn P =3.5 kn b=150 mm t=1.5 mm 75 mm 75 mm h=1.3 m 1.5 mm MEHANIKA MATERIJALA I 00/

162 Ravno stanje napona i primjena XV Primjer 5.6: Pravougaoni blok izložen je vertikalnoj sili od 40 kn, s napadnom tačkom u uglu bloka (slika). Odrediti najveći napon koji djeluje u presjeku ABCD. Težinu bloka zanemariti. MEHANIKA MATERIJALA I 00/

163 Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma)* Granica napona koja definiše slom materijala: Duktilni/žilavi materijali početak tečenja materijala Krti materijali čvrstoća materijala Jednostavno za jednostavna opterećenja; za kompleksna opterećenja koriste se teorije o razaranju Nijedna teorija se ne može primijeniti na sve materijale niti na isti materijal pod različitim uslovima (temperatura, brzina deformacije,..) Prvo se odrede normalni i tangencijalni naponi tamo gdje su najveći, pa se odrede glavni naponi, a onda odredi ekvivalentni napon zavisno od teorije koja se primjenjuje!!! *JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 009. *Grupa autora, Elastostatika II, Tehnički fakultet, Bihać, 003 MEHANIKA MATERIJALA I 00/01. 16

164 Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma) Duktilni materijali Teorija (hipoteza) maksimalnog tangencijalnog napona (Tresca) R eh max R eh se uzima iz testa na zatezanje 1 R R 1 eh eh R eh Kada 1 i imaju isti znak Kada su 1 i različitog znaka Lüderove linije pri ispitivanju čelika MEHANIKA MATERIJALA I 00/

165 Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma) Duktilni materijali Teorija (hipoteza) najvećeg specifičnog deformacionog rada (Huber, von Mises, Hencky) U U E Čisto smicanje Y ReH U d 1 6 E Test na zatezanje 1 U d ReH 3E Biaksijalno opterećenje R 1 1 eh MEHANIKA MATERIJALA I 00/

166 Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma) Krti materijali Teorija (hipoteza) najvećeg normalnog napona (Rankine) ult Rm Test na zatezanje Test na uvijanje 1 R R m m MEHANIKA MATERIJALA I 00/

167 Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma) Krti materijali Mohr-ov kriterij (hipoteza) Za materijal s različitim osobinama na zatezanje i pritisak Neophodno uraditi tri testa (jednoosno zatezanje, jednoosni pritisak, test na uvijanje) Kriva loma MEHANIKA MATERIJALA I 00/

168 Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma) Krti materijali Mohr-ov kriterij (hipoteza) pojednostavljeni model MEHANIKA MATERIJALA I 00/

169 Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma) Otkaz duktilnih (žilavih) materijala određen je tečenjem materijala (granica tečenja) definiše se klizanjem između kristala koji čine materijal, a koje se dešava usljed tangancijalnih napona, a teorija maksimalnog tangencijalnog napona se zasniva na ovoj ideji Otkaz krtih materijala određen je lomom materijala (čvrstoća) dešava se samo usljed maksimalnih normalnih zateznih napona, a ne pritisnih, pa se koristi teorija najvećih normalnih napona (ukoliko je dijagram napon-deformacija isti za zatezanje i pritisak). Ukoliko materijal ima različite dijagame napon-deformacija, koristi se Mohr-ova teorija. Ipak, zbog nesavršenosti materijala, teško je predvidjeti lom krtih materijala, pa se rezultati moraju uzeti s oprezom! MEHANIKA MATERIJALA I 00/

170 Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma) Primjer 6.1: Puno vratilo od sivog liva izloženo je momentu uvijanja od 550 Nm. Odrediti najmanji poluprečnik pri kojem vratilo neće otkazati. Epruveta sivog liva izložena zatezanju ima zateznu čvrstoću od 140MPa. MEHANIKA MATERIJALA I 00/

171 Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma) Primjer 6.: Puno vratilo izrađeno od čelika s granicom tečenja R eh =50 MPa ima poluprečnik 1.5mm. Odrediti da li će vratilo otkazati koristeći hipoteze sloma za duktilne materijale, ukoliko je izloženo aksijalnoj sili od 65kN i momentu uvijanja od 360 Nm. 65 kn 1.5 mm T=360Nm MPa 13.4 MPa MEHANIKA MATERIJALA I 00/

172 Hipoteze o razaranju materijala (teorije loma) Primjer 6.3: Šipka od livenog aluminijuma izrađena je od legure s čvrstoćom na zatezanje od 60 MPa i čvrstoćom na pritisak od 10 MPa. Koristeći Mohrovu hipotezu odredi moment uvijanja pri kojem se može očekivati lom. MEHANIKA MATERIJALA I 00/