Предавање, 11.недеља наставе, 2019/20 шк.год.

Транскрипт

1 Техничка механика 1 Предавање, 11.недеља наставе, 2019/20 шк.год. На претходним предавањима смо приказали анализу статички одређених носача која обухвата одређивање реакција веза и цртање дијаграме сила у пресеку. Овладавање овом материјом је један од најважнијих исход учења у оквиру предмета Техничка механика 1, па се студентима саветује да посебно обрате пажњу на то градиво. С обзиром да би на редовним вежбама, дакле вежбама које се изводе на табли, радили доста задатака из тих области, у мaтеријалима са вежби је посебна пажња посвећена томе. ВИРТУЕЛНА ПОМЕРАЊА Варирање положаја материјалног система На претходним предавањима су анализирани непокретни системи који су представљали носач, и код којих је број степени слободе био једнак нули (n 0). Међутим, уколико систем располаже са слободом кретања, тј. када је n 0, онда он не може да буде носач и каже се да представља механизам. То значи да је такав систем померљив у границама расположиве слободе кретања. Број степени слободе кретања је само кавнтитативан показатељ способности неког система да врши кретање, али без указивања на то каква је могућност померања тог система. Да би се стекао увид у могућност померања, врши се варирање положаја тог система. То је уствари одређивање бесконачно малих померања система која су у складу са постојећим везама. На тај начин се уводи појам виртуелних померања која се дефинишу на следећи начин: ВИРТУЕЛНА ПОМЕРАЊА су произвољна бесконачно мала померања система из посматране конфигурације која су у складу са везама. Треба још једном нагласити да су та померања: - произвољна, тј. нису у вези са силама које делују на тело, - бесконачно мала и - компатибилна, тј. у складу су са постојећим везама. Значи, за разлику од елементарних померања неког система која се одвијају у бесконачно малом интервалу времена и која су последица сила које делују на сиситем, виртуелна померања се одвијају у посматраном тренутку и нису последица сила које делују. Тако може да се каже да виртуелна померања само представљају геометријску могућност кретања посматраног система из његове тренутне конфигурације у неку произвољну, бесконачно блиску, конфигурацију. 21/04/2020 1

2 Виртуелна померања материјалне тачке Као илустрација виртуелних померања, прво се посматра једна материјална тачка у простору. На почетку се претпоставља да је у питању слободна материјална тачка, тј. да та тачка располаже са три степена слободе кретања (n 3). На слици је приказан њен произвољан положај у простору (P) који је одређен са x, y и z координатом. С обзиром да не постоје никакве везе, њено виртуелно померање је било какво бесконачно мало померање у произвољан суседни положај (P ). То значи да је вектор виртуелног померања слободне материјалне тачке вектор који има три произвољне бесконачно мале координате: δr δx, δy, δz. Напомена: Све скице у оквиру овог предавања ће бити приказане у карикираној размери, како би боље могао да се уочи проблем које се разматра. Треба уочити ознаку δ са којом је обележена произвољна бесконачно мала промена, тј. варијација координате. При томе вектор δr представља бесконачно мали вектор виртуелног померања који представља геометријску могућност бесконачно малог померања тачке у посматраном тренутку. Одавде се види да ако тачка има 3 степена слободе кретања, онда и је њено виртуелно померање одређено са 3 бесконачно мале произвољне и међусобно независне координате. Међутим, треба анализирати и материјалну тачку чије кретање има неко ограничење (тј. везу). Тако се нпр. посматра тачка која може да се креће само у једној равни. Ако је то раван xy, онда је вектор положаја тачке у произвољном положају дат са: r x, y, 0. С обзиром да постоји једна веза (чија је једначина дата са z 0), то значи да посматрана тачка има два степена слободе кретања (n 2). Како је виртуелно померање бесконачно мало померање које је у складу са везама, онда је и оно у функцији 2 бесконачно мале варијације координата, тј. δr δx, δy, 0. Одавде може да се уочи да је при виртуелном померању материјалне тачке, број независних бесконачно малих варијација координата једнак броју степени слободе кретања те тачке. Виртуелна померања крутог тела Посматра се слободно круто тело у простору које је већ анализирано на првим предавањима у овом семестру. Тада је показано да је положај овог тела одређен са 3 неколинеарне тачке (у овом случају A, B, C). С обзиром да свака тачка има 3 степена 21/04/2020 2

3 слободе кретања и да постоје 3 везе (односно дужине између ове три тачке су непроменљиве), укупан број степени слободе кретања овог тела је: n У случају када овакво тело изврши виртуелано померања, тада ове три тачке прелазе у суседни бесконачно близак положај (A, B, C ). При томе, вектори положаја тачака A, B, C могу да се напишу као: r r δr x δx, y δy, z δz r r δr x δx, y δy, z δz r r δr x δx, y δy, z δz Према томе, потребно је укупно 9 координата вектора виртуелних померања, да би се описало виртуелно померање читавог крутог тела. Међутим, ових девет величина нису међусобно линеарно независне. Наиме, с обзиром да је у питању круто тело, размак између било које две тачке мора стално да буде константан. У овом случају то значи да да постоје 3 релације непроменљивости растојања између ове три посматране тачке: A B AB, A C AC, B C BC. Сваки од ових израза може да се напише као линеарна веза између варијације координата вектора виртуелних померања две посматране тачке. То овде није неопходно да се прикаже, већ само може да се закључи да постоје укупно 3 линеарне везе између варијација координата вектора виртуелних померања. То значи да укупно постоји независних варијација координата вектора виртуелних померања три посматране неколинеарне тачке. Одатле следи да: Број независних варијација координата једнак је броју степени слободе кретања, због тога што везе између варијација координата потичу из истих услова из којих потичу и везе између координата тачака. Може да се констатује да описивање виртуелних померања било које тачке крутог тела преко 6 независних варијација померања три неколинеране тачке није практично за било какву примену (нпр. не добија се информација о померањима других тачака тог тела, итд.). 21/04/2020 3

4 Зато се ВИРТУЕЛНА ПОМЕРАЊА тачака тела изражавају преко ВИРТУЕЛНЕ ТРАНСЛАЦИЈЕ референтне тачке и ВИРТУЕЛНЕ РОТАЦИЈЕ тела око произвољне осе кроз ту рефентну тачку. * ВИРТУЕЛНА ТРАНСЛАЦИЈА КРУТОГ ТЕЛА Транслаторно померање тела је такво померање при коме вектор положаја између било које две тачке задржава свој интезитет, паралелан правац и смер. На слици је приказано слободно круто тело у произвољном положају у коме је телу саопштена виртуелна транслација. To значи да било која тачка тела доспева у бесконачно близак суседни положај. При томе уочавамо две тачке на телу: - тачка A референтна тачка тела, - тачка P произвољна тачка тела. Виртуелано померање тачке A је вектор δr AA. При виртуелној транслацији дуж ρ AP задржава паралелан правац и исти смер, тако да је: AP A P PP AA δr δr То значи да, при виртуеланој транслацији све тачке тела имају исто виртуелно померање као и референтна тачка A. Вектор виртуелне транслације референтне тачке A може да се изрази преко три бесконачно мале величине: δr δr δx,δy,δz * ВИРТУЕЛНА РОТАЦИЈА КРУТОГ ТЕЛА Уколико круто тело има две непокретне тачке, онда су непокретне и све тачке на оси која пролази кроз те две тачке. У том случају једина могућност кретања тела је његова ротација око те непокретне осе. На следећој слици је приказана таква оса s, са јединичним вектором s, која пролази кроз тачку A. Та оса се назива оса ротације и при кретању тела све тачке на тој оси мирују, док остале тачке тела описују кружнице у равнима које су управне на осу ротације и при чему су центри кружница на самој оси ротације. Као и код виртуелне транслације крутог тела, тачка A је изабрана као референтна тачка тела, док је са P обележена произвољна тачка тела изван осе ротације. Вектор положаја 21/04/2020 4

5 тачке P у односу на референту тачку A је означен са ρ AP. Уколико се тело обрне за неки угао ε, онда се тачка P креће у равни π која је управна на осу s (s π) и која садржи тачку P. Као што је приказано на слици, тачка P се креће по луку кружнице са центром у тачки M која представља продор осе кроз раван π. а MP полупречник кружнице по којој се креће тачка P ε угао ротације тела PP а ε дужина лука који је описала тачка P У случају да је угао за који се обрнуло тело ε бесконачно мали, уводи се вектор виртуелне ротације тела δθ на следећи начин: - интезитет његовог вектора једнак је величини бесконачно малог обртања ε, - правац обртања се поклапа са осом s, - смер обртања је такав да одговара десном завртњу (као што је приказано на слици). Дакле: δθ εs где је s јединични вектор осе s. Пошто је угао бесконачно мали, дакле ε 1, интензитет вектора виртуелног померања, дакле растојање између тачака P и P'', је приближно једнак дужини кружног лука PP : PP " ε а δθ а δθ ρ sinγ 21/04/2020 5

6 Оформимо векторски производ δθ ρ при чему је ρ AP. Правац овог векторског производа је управан на векторе δθ и ρ, тј. управан је на раван која садржи тачке A, M и P. Смер вектора одговара смеру ротације тела, тј. од тачке P до тачке P. Имајући у виду предходно излагање, као и ε 1, за вектор виртуелног померања тачке Р услед виртуелне ротације може да се напише: PP δr δθ ρ Запазимо да имајући у виду својство векторског производа, важи: δr δθ MP δθ АP, ρ AP. Meђутим, поставља се питање да ли је израз за бесконачно мало померање δr δθ ρ δθ MP у складу са условом о непроменљивости размака између било које две тачке крутог тела. Одговор на ово питање је следећи: с обзиром да је угао ε мали ε 1, онда јe cos ε 1, па је MP MP cos ε MP, што значи да претпоставка о непроменљивости растојања није нарушена. Такође може да се покаже (што овде неће бити урађено) да се приликом бесконачно мале ротације не мења ни растојање између било које друге две произвољне тачке тела. При томе се при виртуелној ротацији све тачке тела обрћу око исте осе за исти бесконачно мали угао. На основу свега наведеног могу да се изведу следећи закључци: - вектор виртуелне ротације δθ је произвољан вектор чији је интезитет бесконачно мали, а правац пролази кроз референтну тачку тела, - одговарајућа бесконачно мала померања тачака тела, дата са релацијом δr δθ ρ су у складу са претпоставком о крутом телу, - та померања представљају ВИРТУЕЛНА ПОМЕРАЊА (зато што су произвољна бесконачно мала померања која су у складу са везама) услед виртуелне ротације. Вектор виртуалне ротације, у Декартовом координатном систему, може да се изрази преко три бесконачно мала и међусобно независна параметра: δθ δθ,δθ,δθ 21/04/2020 6

7 * ВИРТУЕЛНА ПОМЕРЊА ТАЧАКА КРУТОГ ТЕЛА У претходном делу су споменута 2 независна облика виртуелних померања тачака крутог тела: - ВИРТУЕЛНА ТРАНСЛАЦИЈА: δr δr - ВИРТУЕЛНА РОТАЦИЈА: δr δθ ρ То значи да укупно виртуелно померање тачака слободног крутог тела може да се прикаже као суперпозиција виртуелне транслације и виртуелне ротације: Овај израз садржи укупно 6 произвољних бесконачно малих величина, односно постоји 6 независних виртуелних варијација (δx,δy,δz,δθ,δθ,δθ ), тачно онолико колико степени слободе кретања има слободно круто тело у простору. Одатле може да се закључи да овај израз у потпуности приказује све могућности кретања слободног крутог тела у простору. δr δr δθ ρ * ТЕОРЕМА О ПРОЈЕКЦИЈАМА ВИРТУЕЛНИХ ПОМЕРАЊА ДВЕ ТАЧКЕ ТЕЛА Посматра се слободно круто тело у простору са референтном тачком A и две произвољно изабране тачке P и Q. Виртуелна померања ове две тачке могу да се прикажу у облику: δr δr δθ ρ δr δr δθ ρ На слици је приказана и оса m која повезује тачке P и Q. Јединични вектор те осе се приказује као: m PQ PQ ρ ρ ρ ρ 21/04/2020 7

8 Moже да се покаже да важи следећа теорема: Ортогоналне пројекције вектора виртуелних померања две различите тачке крутог тела на оријентисану праву кроз те две тачке су међусобно једнаке. Ова теорема може лако да се докаже. Наиме, прво треба да се одреде пројекције виртуелних померања ове две тачке на осу m. То се ради тако што се скаларно поможе вектор виртуелног померања и јединични вектор правца на који се пројектује: δr m δr m δθ ρ m δr m δr m δθ ρ m Ако се доња релација одузме од горње добија се следеће: δr m δr m δθ ρ m δθ ρ m, односно δr m δr m δθ ρ ρ m С обзиром да су ρ ρ и m колинеарни вектори, мешовит производ на десној страни једнакости је једнак нули, па се тако добија: δr m δr m 0 δr m δr m, чиме је теорема доказана. Виртуелна померања плоче у равни Посматра се слободно крута плоча која може да се креће у равни xy. Као што је приказано још на првим предавањима у овом семестру, таква плоча има 3 степена слободе кретања (n 3). Као и код крутог тела у простору, на плочи се уоче референтна тачка A и нека произвољна тачка P. Вектор положаја те произвољне тачке је дат у облику: r r ρ. С обзиром да је усвојено да плоча креће у xy равни, једначина везе може да се представи у облику z 0. У случају виртуелних померања, та веза гласи: δz 0. Вектор виртуелног померања произвољне тачке на плочи се пише у истом облику као и за тачку крутог тела у простору. δr δr δθ ρ При томе, у складу са дефиницијом виртуелних померања, у овом случају мора да буде задовољена веза δz 0, тако да вектори виртелног померања посматраних тачака треба да буду у облику: δr δx, δy, 0 и δr δx,δy,0. То значи да и трећи 21/04/2020 8

9 сабирак у горњој векторској једначини мора да буде облика: δθ ρ δx,δy,0. На основу тога може да се закључи да: ı ȷ k δθ ρ δθ δθ δθ δx,δy,0 ρ ρ 0 δθ 0, 0, δθ тј. вектор виртуелне ротације има само компоненту у правцу z осе. Другим речима, вектор виртуелне ротације мора да буде у правцу осе која је управна на раван кретања. Тако виртуелна померања било које тачке припадају xy равни, само ако је виртуелна ротација око z осе, тј. δθ δθ k. Према томе, 3 независне варијације при виртуелном померању круте плоче у xy равни су: δr δx,δy,0 и δθ 0, 0, δθ На основу овога, векторски производ δθ ρ може да се прикаже у скаларном облику. Пре тога, треба да се уочи да вектор положаја тачке P у односу на A може да се представи у облику: ρ r r x x,y y,0. Затим се векторски производ δθ ρ израчунава као: ı ȷ k δθ ρ 0 0 δθ y y δθ, x x δθ,0 x x y y 0 Одатле следи: δr δr δθ ρ δx δx y y δθ δy δy x x δθ Напомена: У оквиру овог предавања виртуелна ротација означена са δθ. Међутим у пракси ова вредност може да се означи и са δφ. * ШАЛОВА ТЕОРЕМА И ЦЕНТАР ВИРТУЕЛНЕ РОТАЦИЈЕ У вези са виртуелним померањима тела у равни, значајну примену има Шалова теорема која гласи: Виртуелна померања тачака плоче (која врши раванско кретање) могу да се прикажу само са виртуелном ротацијом око једне одређене тачке у равни, која се зове центар виртуелне ротације. Раније је више пута напоменутo да је уобичајено да се виртуелно померање неке тачке крутог тела (или плоче) представи као суперпозиција виртуелне транслације референтне тачке и виртуелне ротације око неке осе кроз ту референтну тачку. Међутим, на основу Шалове теореме се тврди да виртуелно померање плоче у равни 21/04/2020 9

10 може да се прикаже само преко виртуелне ротације око једне осе. То значи да та оса мора да се налази у посебној тачки у којој је виртуелно померање једнако у нули. Та тачка се назива центар виртуелне ротације и означава се са S. Имајући ово у виду, дефиниција центра виртуелне ротације је дата условом: δr 0. На основу тога могу да се изведу координате центра виртуелне ротације S x,y : δr 0 δx δx y y δθ 0 δy δy x x δθ 0 одакле се добија: x x δy δθ y y δx δθ На овај начин су одређене координате положаја центра виртуелне ротације плоче која се креће у равни (S). Затим се предлаже да се управо ова тачка изабере као нова референтна тачка. То значи да је идеја да се за референту тачку усвоји она тачка чије је виртуелно померање једнако нули. Тада се добија: δr δr δθ ρ δθ ρ Према томе, укупно виртуелно померање се своди само на виртуелну ротацију око тачке S. То уствари значи да се, при таквом виртуелном померању, свака тачка креће по елементарном кружном луку чији је центар у тачки S. На основу наведеног израза може да се закључи још и: - правац виртуелних померања свих тачака је управан на правац који повезује посматарну тачку и центар виртуелне ротације (тј. δr управан на ρ ), - смер виртуелних померања зависи од смера вектора виртуелне ротације, - интезитет виртуелног померања сваке тачке једнак је производу виртуелне ротације и растојања те тачке од центра виртуелне ротације (тј. за посмтарану тачку P на десној слици једнак је δθ L). То значи да што је тачка удаљенија од центра виртуелне ротације, то је њено виртуелно померање веће. 21/04/

11 Из свега наведеног закључује се да је један од најважнијих задатака у овој анализи да се одреди положај центра виртуелне ротације. Међутим, примена изведених израза за x и y у пракси није тако једноставна. Проблем представља то што у тим изразима фигуришу количници по две произвољне бесконачно мале величине. Зато су неопходни и неки допунски услови да би се одредио положај центра виртуелне ротације. У случају када због присуства допунских веза систем располаже са једним степеном слободе, положај центра виртуелне ротације може лако да се једнозначно одреди. То је могуће урадити директно, на основу анализе додатних постојећих веза. На наредним сликама је приказано неколико примера одређивање положаја центра виртуелне ротације за тела која врше раванско кретање са једним степеном слободе кретања. Напомена: Центар виртуелне ротације се у пракси често назива и пол, па ће и тај термин бити коришћен у наставку текста. У првом примеру је приказана крута плоча која је у тачки A везана непокретним ослонцем. Због тога овај плоча има n степен слободе кретања. С обзиром да је непокретан ослонац уствари непокретна тачка око које плоча може да се обрће, то аутоматски значи и да је виртуелно померање те тачке једнако нули. Због тога је јасно да је та тачка истовремено и центар виртуелне ротације (односно пол ). На следећем примеру је приказана крута плоча која је у тачкама A и B везана са по једним покретним ослонцем. То значи да и овај систем има један степен слободе кретања. Правац виртуелног померања тачке у којој је везан покретан ослонац је јасно дефинисан и то не треба посебно објашњавати. Тако су на слици приказана виртуелна померања у ове тачке, при чему треба нагласити да смер померања није дефинисан сам 21/04/

12 по себи. Раније је показано да се центар виртуелне ротације налази на правцу који је управан у односу на познати правац виртуелног померања тачке где се налази покретан ослонац. Тако су управно на дозвољени правац померања у тачкама A и B повучене линије. У пресеку тих линија се налази пол, тј. тренутни центар ротације приказане плоче. На слици је затим претпостваљен смер виртуелне ротације (δθ) и у односу на њега су нацртани и смерови виртуелних померања у тачкама A и B. Специјални случај оваквог примера је када оба покретна ослонца омогућавају померање две тачке тела у паралелним правцима, као што је приказано на слици лево. То значи да су два правца која су конструисана кроз тачке где су аплицирани покретни ослонци, а у правцима у којима је спречено померање, међусобно паралелни. Тако се пресек те две паралелне линије, тј. центар виртуелне ротације, налази у бесконачности (али у датом правцу). То значи да се тело транслаторно помера управно на првац у коме је пол у бесконачности, па може да се каже и да тело врши виртуелну транслацију у правцу у коме то омогућавају два покретна ослонца. Одатле следи да је виртуелна ротација тог тела једнака нули (δθ 0) и да све тачке тела имају међусобно иста виртуелна померања (у овом случају δr δr ). Напомена: У материјалима за ово предавање центар виртуелне ротације је означен са S. Међутим у пракси се овај центар често означава и словом O. * ТЕОРЕМА О ТРИ ЦЕНТРА У досадашњем делу су разматрана виртуелна померања једног крутог тела. Међутим, потребно је анализирати и сложене системе, тј. системе који се састоје од више од једне круте плоче. У том случају посебан значај има теорема о три центра или Aronhold-Kennedy-ева теорема. Ова теорема се односи на два круте плоче које су међусобно зглобно повезане у једној тачки. Ова теорема гласи: Ако су две плоче, које имају слободу кретања у једној равни, међусобно зглобно повезане, онда се при виртуелним померањима плоча, центри виртуелних ротација једне и друге плоче, као и зглоб који повезује плоче, налазе на истој линији. Раније је напоменуто, да се центар виртуелних ротација често у жаргону назива пол. Исто тако, зглоб који повезује две плоче назива се и међупол. Ови термини ће бити коришћени током израде задатака из ове области. 21/04/

13 Да би се доказала ова теорема, полази се од две слободне круте плоче које се крећу у равни и које су међусобно зглобно повезане у заједничкој тачки G. При томе се сматра да су познати положаји центара виртуелних ротација једне и друге плоче: S и S. Ако се центри виртуелних ротација усвоје као рефернтне тачке, онда су виртуелана померња тачака оба тела дата само као виртуелне ротације око одговарајућих полова. При томе се скреће пажња да се виртуелна померња тачака на плочи I одређују искључиво у односу на пол те плоче (S ), а такође је аналогно и за тачке на плочи II (у односу на S ). Виртуелно померање заједничке тачке за обе плоче G (или међупола ) може да се израчуна на два начина. Наиме, тачка G може истовремено да се сматра као део плоче I и као део плоче II. Тако се добија: - тачка G као део плоче I : δr δθ ρ - тачка G као део плоче II : δr δθ ρ При томе виртуелно померање тачке G мора да буде исто, тј. јединствено без обзира преко које референтне тачке се изражава. Одатле следи: δr δr δθ ρ δθ ρ Како је δθ δθ k и δθ δθ k, онда важи: δθ ρ δθ ρ и одатле се добија: ρ δθ ρ δθ Ова релација представља услов колинеарности вектора ρ и ρ, што значи да је доказано да тачке S, G и S леже на једној правој линији. При томе, из овог израза се уочава да је однос интезитета виртуелних ротација (δθ и δθ ) завистан од интезитата вектора положаја заједничког зглоба. На следћој слици су та два интезитета вектора положаја означена са L и L. 21/04/

14 Тако, с обзиром да је интезитет вектора виртуелног померања међупола G једнак: δr δθ L δθ L, следи да је: δθ L δθ L Одавде следи да је однос између интезитета виртуелни обртања ове две плоче обрнуто пропрционалан растојањима њихових полова и заједничког међупола. Такође треба обратити на смерове виртуелних ротација. Наиме, у пракси се обично произвољно претпостави смер једне виртуелна ротације, па се смер друге добија у зависности од прве претпостављене. У овом случају је претпостављен смер δθ у смеру супротоном од смера казаљке на сату. Да би био задовољен услов да зглоб G има исто виртуелно померање без обзира преко које референтне тачке се изражава, смер δθ мора да се узме супротан од смера δθ. Ово важи за приказани пример где се међупол G налази између полова S и S. Међутим, треба скренути пажању да у случају када би се оба пола налазила правој линији са исте стране зглоба G тада би смерови δθ и δθ морали да буду исти. Напомена: У оквиру овог предавања међупол се означава са G. Међутим у пракси се овај зглоб при решавању задатака често означава и са нпр. S (или O ) у случају када је су у тој тачки међусобно зглобно повезане плоче I и II. Као што је већ речено, Aronhold-Kennedy-ева теорема се примењује пре свега за одређивање центар виртуелне ротације код сложених носача. Тако је овде дат пример две круте плоче које врше раванско кретање и које су зглобно повезане у тачки G. 21/04/

15 Као што се види на слици, плоча I је у тачки A везана непокретним ослонцем, док је плоча II у тачки B везана покретним ослонцем. Број степени слободе приказаног система је n С обзиром да је плоча I у тачки A везана непокретним ослонцем, јасно је да је та тачка истовремено и центар виртуелне ротације те плоче, тј. A S. Плоча II је везана само једним покретним ослонцем у тачки B. То значи да се њен центар виртуелне ротације налази на правцу који је управан на правац дозвољеног померања услед присуства покретног ослонца у тачки B. Међутим, тај податак сам по себи није довољан да се одреди S. Наиме, с обзиром да се тачка налази у пресеку два првца, у овом случају је потребно да се постави још један услов. Тај други правца се добија управо применом теореме о три центра. Наиме, с обзиром да су познати положаји пола плоче I и међупола између плоча I и II, на првацу који је дефинисан са те две тачке треба да се налази и пол S. Тако се у пресеку ова два наведена правца добија центар виртуелне ротације S, као што је приказано на слици. При томе, као и у претходном примеру δθ и δθ су супротног смера с обзиром да се међупол G налази између полова S и S. Пример Одредити виртуелна померања означених тачака система приказаног на скици. 21/04/

16 Као што је већ речено, виртуелна померања представљају само геометријску могућност кретања неког система и нису последица сила које на њега делују. Зато у овом примеру и није задато оптерећења на посматаном систему. Иначе, у питању је исти статички систем као и у последњем анализираном примеру у оквиру теоријског разматрања овог проблема. То значи да се ради о механизму са једним степеном слободе кретања. Он се састоји од два тела (полигонални штапови ADC и CEB) који су међусобно зглобно повезани у тачки C. Тело са леве стране тачке C (ознака I ) је у тачки A везано везано непокретним ослонцем, па је та тачка и његов пол S. Тело са десне стране тачке C (ознака II ) је везано покретним ослонцем у тачки B па је његов пол управан на правац дозвољеног хоризонталног померања те тачке. Применом теореме о три центра добија се правац S S S на коме очигледно треба да се налази и пол плоче II. Тако се у пресеку наведена два правца се добија пол S. У следећем кораку треба да се претпостави виртуелна ротација једног тела. У овом случају је претпостављена δθ и то у смеру казаљке на сату. На основу услова да виртуелно померање међупола треба да буде исто независно у односу на коју референтну тачку се изражава, одређује се и смер друге виртуелне ротације δθ. Због проблема који ће бити разматрани на следећем предавању, потребно да се одреди однос између ових виртуелних ротација. То се ради тако што се δr израчунава у односу на референтне тачке S и S и онда се вредности изједначавају (при томе су дужине растојања S S и S S израчунате на основу Питагорине теореме): δr δθ S S δθ 5 δr δθ S S δθ 2.5 δθ 5 δθ 2.5 δθ 2 δθ Као што је раније речено, однос виртуелних ротација је обрнуто пропорционалан растојањима одговарајућих полова до међупола. Може да се уочи да, у случају компликоване геометрије, није неопходно да се рачунају коса растојања између одговарајућих тачака, већ је довољно да се израчунају хоризонталне или вертикалне компоненте тих растојања. Тако је у овом случају могло да се рачуна и преко унапред познатих хоризонталних компоненти наведених растојања: δθ 4 δθ 2 δθ 2 δθ. Када су познате виртуелне ротације, лако могу да се одреде и виртуелна померања тражених тачака. То се ради тако што се одговарајуће виртуелне ротације множе са растојањима од полова до посматраних тачака. При томе само треба водити рачуна 21/04/

17 да виртелно померање сваке тачке треба да се изражава у односу на пол тела на коме се налази та тачка. δr 0 δr δθ S D δθ 3 3 δθ δr δθ S C δθ 5 5 δθ δr δθ S E 2 δθ δθ δr δθ S B 2 δθ δθ Правци и смерови израчунатих виртуелних померања су дати на слици. При томе је приказан и положај тела након извршених виртуелних ротација. С обзиром да су у питању крута тела, треба уочити да крути углови између штапова AD и DC (односно између CE и EB) остоју прави и после извршених померања. Тема следећег предавања је, између осталог, принцип виртуелних радова. У оквиру задатак из те области ће бити потребно да се понови приказани поступак одређивања виртуелних померања тачака система са једним степеном слободе кретања. # Ово поглавље је детаљније приказано у предметном уџбенику (С.Брчић, Техничка механика 1) на странама /04/