Prilog modeliranju koeficijenta otpora trenja u nestacionarnom strujanju fluida u cijevima

Транскрипт

1 log modela koea opoa ea esaoaom sa flda ema Koba, Radosla Dooal hess / Dseaa Degee Gao / Usaoa koa e dodella akademsk / sč spa: Uesy of Zageb, Faly of Mehaal Egeeg ad Naal Ahee / Sečlše Zageb, Fakle soasa bodogade emae lk / Taa poeza: hps://.sk.h/:b:h:35:74763 Rghs / aa: I opygh Dowload dae / Dam pezmaa: --8 Reposoy / Repozo: Reposoy of Faly of Mehaal Egeeg ad Naal Ahee Uesy of Zageb

2 FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE Radosla Koba RILOG MODELIRANJU KOEFICIJENTA OTORA TRENJA U NESTACIONARNOM STRUJANJU FLUIDA U CIJEVIMA DOKTORSKI RAD Zageb,.

3 FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING AND NAVAL ARCHITECTURE Radosla Koba CONTRIBUTION TO MODELING OF FRICTION COEFFICIENT FOR TRANSIENT FLOW IN IES DOCTORAL THESIS Zageb,

4 FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE RADOSLAV KORBAR RILOG MODELIRANJU KOEFICIJENTA OTORA TRENJA U NESTACIONARNOM STRUJANJU FLUIDA U CIJEVIMA DOKTORSKI RAD Meo: ZDRAVKO VIRAG Zageb,

5 FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING AND NAVAL ARCHITECTURE Radosla Koba CONTRIBUTION TO MODELING OF FRICTION COEFFICIENT FOR TRANSIENT FLOW IN IES DOCTORAL THESIS Speso: Zdako Vag Zageb,

6 ODACI ZA BIBLIOGRAFSKU KARTICU: UDK: 53.5 Klče eč: Hdalčk da; Nesaoao sae; Sae e; Dodmezsk model; Tee; oačske meode Zaseo podče: TEHNIČKE ZNANOSTI Zaseo pole: Dge emele ehčke zaos Isa koo e ad zañe: Fakle soasa bodogade, Zageb Meo ada: of. d. s. Zdako Vag, dpl. g. Bo saa: 4 Bo slka: 67 Bo abla: 5 Bo košeh bblogafskh eda: 58 Dam obae: oeeso:. of. d. s. Zdako Vag, dpl. g., Fakle soasa bodogade, Zageb. of. d. s. Mao Šaa, dpl. g., Fakle soasa bodogade, Zageb 3. of. d. s. Velko Flpa, dpl. g., Fakle kemskog žeesa ehologe, Zageb Isa koo e ad pohae: Fakle soasa bodogade, Zageb

7 Zahalem meo, pof. d. s. Zdak Vag a moš kosh saea, a posebo a esebčom d, požoos dobo ol koom e ek spemo pskakao pomoć kad s se ad poale poeškoće. oseb zahalos dgem pof. d. s. Ma Šaa a zdšo pomoć podš, e aočo a popo opmzm ema kad b se člo da se s adom šlo slep l.

8 SADRŽAJ Sadža... edgoo... 4 Sažeak... 5 Smmay... 5 Klče eč... 6 Keywods... 6 ops ozaka... 7 ops slka... ops abla Uod... 5 Cl hpoeza ada egled posoećh modela meoda Model hdalčkog daa osoe edadžbe peposake D kaz-d model D model Model ea za klasč D model hdalčkog daa Kaz-saoa model Izaz za koek kaz-saoaog modela ko se baza a eo akelea Aalčk zaz za koek kaz-saoaog modela Model ea za kaz-d model model blee Sablos saa eposaka 'zamze' kaz-saoae blee Nmečko ešaae D modela, mečke sheme... 38

9 .7 Nmečko ešaae kaz-d modela, mečke sheme edlože model meoda ešaaa Meoda kaakeska Općeo mea MK a aksalo smeča model saa osoeć kaz-d model Maemačk model Dskezaa edlože maemačk model meoda ešaaa edlože maemačk model Jedadžba za bz Jedadžba za lak Uspoedba s meodom Vady Hwag edložea dskezaa meoda ešaaa Rb poče e Rb e oče e Model blee za hdalčk glake e Rešaae 3-dagoalog ssaa edadžb Rezla Smlae odžaae saoaog saa Lamao sae Tbleo sae, glake e Hdalčk da Hdalčk da lamaom ežm Hdalčk da bleom ežm hdalčk glaka e Aalza ezlaa Zaklčak... Leaa... 3 log : Jedadžbe koea kolče gbaa... 9

10 Žoops Clm ae

11 REDGOVOR Isažae esaoaog saa ema em mežama eć ma dž ad a Fakle soasa bodogade Sečlša Zageb. Iz og podča apsao e z zaseh adoa, e eć bo magsaskh adoa dokoskh dseaa. U oom ek ek s poek ko obhaća sažaa esaoaog saa km žlama [], [] kao model hdalčkog čka s m poeza hdalčk da [3]. oeba da se saže kalee eše poblem ea plkom hdalčkog daa psa e sm sama koe saž hdalčk da l plzaće sae, pa e ako eć dže psa a oom Fakle. Kaz-D model pedsala aoče modele ko se pakčk kose za smla hdalčkog daa. Zbog složeos, ačešće se kose za ka edosah D modela. Kao počeak sažaa ea, ode se pedlaže o kaz-d model. edložea meoda ešaaa ebala b spada ed aočh meoda. No soemeo bza ešaaa ebala b b olko elka da meod ssa ed od abžh. Dala sažaa mogla b zam ć da smea. sme eza e z poeb za kalem edosam D modelom, pa b pedložea meoda mogla poslž saža koe b koačo ezlalo s akm edm modelom, kao za ego ka. Dg sme eza e z esablos koa e očea esaoaom sa. Zbog e esablos model ko se daas kose e da doolo oča ešea sm poebm ežmma saa. Temelo sažae zoka h pogešaka ek pedso. U l zalažea očh modela emelog azmeaa fzke p hdalčkom da, moa će se se še čmbeka zma obz, a se mae h zaemaa. U om smsl će se bdćm sažama možda čak moa odsa od peposake ose smee saa e. 4

12 SAŽETAK U poačma esaoaog saa e se češće e poebo pezo odeñae ea flda, šo ee da se z D modele saa kose oč kaz-d model. Za poač hdalčkog daa ačešće se kose D model Vady Hwag ko e oč pozda ezzga ko zahea mae ačaa. Ode e pedlože o kaz-d model ko posede očos meode Vady Hwag bz ačaa meode ezzga. Uedo e poñea ogala mečka meoda koa e oso meoda kaakeska, al ma eke elemee meode koačh olmea. Nape se dae pegled posoećh modela za poač hdalčkog daa od složeh pema edosama z pospo oñee peposak. Zam e ssao zložea meoda kaakeska za šedmezske sae. Koseć se kaakesčm edadžbama, dealom aalčkom spoedbom pedložee meode meode Vady Hwag pokaze se da obe meode moa daa se ezlae pod eom da se kos popo mpla shema epolae za adal bz. Na ka s ezla pedložee meode spoeñe s ekspemealm ezlama za slča lamaog bleog saa, kao s ezlama poača pomoć meode Vady Hwag za e se se sae. U sm m spoedbama pedložea meoda pokaze zso poklapae ezlaa. SUMMARY pe flow ase allaos demad easgly pese fo models. Theoe, moe aae qas-d flow models ae sed addo o smple D models. The mos ommoly sed qas-d models fo wae hamme allaos ae hose of Vady ad Hwag moe aae ad elable ad ezzga demads less allao seps. Hee a ew qas-d model s poposed ha ombes he aay of Vady ad Hwag mehod ad he allao speed of ezzga s mehod. Fhemoe, a ogal meal mehod s offeed. The mehod esseally eles o he mehod of haaess, b also ompses some fe olme mehod feaes. 5

13 Fs a oeew of esg models s ge, ha goes fom omple models owads smple oes, ad odes assmpos pogessely. The a dealed despo s ge of he mehod of haaess fo mldmesoal saos. Applyg haaes eqaos, a dealed aalyal ompaso of he poposed ad he Vady ad Hwag mehod shows ha boh mehods ms ge he same esls, poded ha a flly mpl epolao sheme s sed fo adal eloes. Fally he poposed mehod esls ae ompaed o he epemeal oes fo saos of lama ad ble flow, as well as o he Vady ad Hwag mehod esls fo he same flow saos. Resls of he poposed mehod show eelle ageeme all hese ompasos. KLJUČNE RIJEČI Hdalčk da; Nesaoao sae; Sae e; Dodmezsk model; Tee; oačske meode. KEYWORDS Wae hamme; Tases; pe flow; Two-dmesoal models; Fo; Compaoal mehods. 6

14 OIS OZNAKA A koe ežske fke W, s -,5 a kompoea ekoa bze keaa ala sme egoog posaa; koe 3- a k ã k dagoalog ssaa edadžb, m/s koe DJ koe DJ zapsah za sosee aable w B koe ežske fke W, s - b b debla gačog sloa dosloog modela blee, m koe 3-dagoalog ssaa edadžb C A koe 5-zoskog modela blee C A,9 C B koe 5-zoskog modela blee C B, C C koe 5-zoskog modela blee,5 C C,7 C m koe 5-zoskog modela blee C m,77 D d E E E f e f f bza zka, m/s koe 3-dagoalog ssaa edadžb pome e, m slobod člao 3-dagoalog ssaa edadžb soč čo,, z koeg se pomoć MK ača oe edos fka Yogo modl elasčos e, a olmesk modl elasčos flda, a edč baz eko sme koodae os spča masea sla, N/kg kaakesča fekea ala, Hz g kosaa gaae, m/s H pezomeaska sa, m magaa eda K K k Caese deks; deks adalog koaka Caese deks; deks aksalog koaka maa za odeñae soseh ekoa ssaa DJ sme ekoa κ koe 5-zoskog modela blee K,4 Caese deks; koe doposa ea sled akeleae flda 7

15 k k L - L l Ma N N ekalea sa hapaos, m bo DJ maa kompoe soseh ekoa dla e, m kompoea soseog ekoa Maho bo bo podela po os bo podela po os deks emeskog koaka kompoea gadea a kaakesč hpe poš Sξ p p čo,, koem se pomoć MK ača oe edos fka lak D pole laka,, a kosa lak spemk, a lak pole laka p p,, a koe za začaae 3-dagoalog ssaa edadžb Q olmesk pook flda koz e, m 3 /s q q q ~ R Re Re R * koe geomeskog za zosk člao DJ; pook koz poš os -og elemea po ; koe za začaae 3-dagoalog ssaa edadžb zosk člao DJ zapsah za sosee aable w polme e, m Reyoldso bo Reyoldso bo saoaom sa bezdmezsk polme e R * R * /υ adala koodaa, m S popeč pesek e, m S,Sξ s s T d U U kaakesča hpe poša kompleksa aabla poše zosk čla pklada za meod kaakeska kaakesčo eme dfze adalom sme T d R /υ, s eme, s seda pooča bza, m/s seda pooča bza saoaom sa, m/s 8

16 û aksala kompoea bze, m/s bza ezg dosloog modela blee, m/s epozae fke ešea DJ amplde ešea DJ * kaakesča bza bleog g. sloa bza ea, m/s bza, m/s adala kompoea bze, m/s ' ' doa koelaa bleh plsaa bze, m /s W maa soseh aabl; zapad čo,, z koeg se pomoć MK ača oe edos fka W ežska fka W' Laplaeo asfoma ežske fke w klaa kompoea bze, m/s w y y * z sosee aable aksala koodaa, m koodaa Caeseog ssaa, m daleos od seke y R, m bezdmezska daleos od seke y * y * /υ koodaa ča e os smeea ekalo s spoo od gaae, m α koe dosloog modela blee, m - Γ bezdmezska začaka eaa ea hdalčkom da gbak laka p sa e, a adal koak, m S poša edog elemea p os, m emesk koak, s aksal koak, m δ debla seke e, m δ ε ζ η ϑ Koekeo smbol fako za odab eksple od. mple sheme za ε bezdmezsko eme smlae smlae /L spsska aabla za aalčk ega pofla bze polaa koodaa 9

17 fako za odab eksple od. mple sheme za κ koe ežske fke W κ kompoea ekoa alog boa. gadea poše S,os, m - Λ dagoala maa soseh edos λ Daye koe saoaog ea p sa e; sosea edos λ MT edos koea ea λ poačaa košeem modela blee damčk koe skozos flda, as damčk koe eke skozos T, as T damčk koe blee skozos, as koe olmeske skozos, as,, 3 pozole kosae soseh ekoa odabao 3 υ kemačk koe skozos flda, m /s υ υ a b gačog sloa dosloog modela blee, m /s υ kemačk koe eke skozos, m /s υ w υ a se dosloom model blee, m /s ξ k ezase aable DJ gsoća flda, kg/m 3 Σ do ezoa apezaa blzak deaoskom del, a σ ezo apezaa, a σ koe dosloog modela blee τ agealo apezae; bezdmezsko eme za ežsk fk W, a τ τ w τ w ' τ ws τ w ω agealo apezae a b gačog sloa dosloog modela blee, a agealo apezae a se, a Laplaeo asfoma agealog apezaa a se agealo apezae a se saoaom sa, a esaoa dopos agealom apeza a se, a kaakesča kža fekea, Hz

18 OIS SLIKA Sl.. ofl bze p hdalčkom da [4] 8 Sl.. Tek pezomeaske se p hdalčkom da, ekspeme model [4] 9 Sl..3 Saoa pofl bze eke skozos [7] 3 Sl. 3. Maho kos sosea aa za D sa 45 Sl. 3. Maho kos kaakeske za kaz-d model 53 Sl. 3.3 Rešeka dskezae za pedlože meod meod Vady Hwag, z os 56 Sl. 3.4 osoa ešeka za meod Vady Hwag 63 Sl. 3.5 Rb e posoe ozake čooa za obe meode 65 Sl. 3.6 osoa ešeka za pedlože meod 69 Sl. 3.7 Dae boa podča bh čooa 7 Sl. 3.8 Apoksmaa koea C 76 Sl. 3.9 Kemačk koe eke skozos υ odabaog modela blee; poea mplemeae modela 77 Sl. 3. Kemačk koe eke skozos υ odabaog modela blee blz seke; poea mplemeae modela 78 Sl. 3. oačae edos eke skozos do smeale e za Re4 79 Sl. 3. oačae edos eke skozos do smeale e za Re3 79 Sl. 3.3 oačae edos eke skozos do smeale e za Re 8 Sl. 3.4 oačae edos eke skozos do smeale e za Re 8 Sl. 4. oszae odžaae lamaog pofla bze 83 Sl. 4. Koe ea λ pema Colebookoom zaz λ MT dobe egaom modela blee a mež od 3 elemeaa, e egoo odspae od λ, za edos Reyoldsoog b.: 4 q,5, 3 q,8 q,5 85 Sl. 4.3 Koe ea λ pema Colebookoom zaz λ MT dobe egaom modela blee a mež od 6 elemeaa, e egoo odspae od λ, za edos Reyoldsoog b.: 4 q,5, 3 q,8, q, q,5 85 Sl. 4.4 Koe ea λ pema Colebookoom zaz λ MT dobe egaom modela blee a mež od elemeaa, e egoo odspae od λ, za

19 edos Reyoldsoog b.: 4 q,5, 3 q,8, q, q, 86 Sl. 4.5 Uspoedba pofla bze p Re4. dobeh mečkom egaom modela blee a mežama s 3, 6 elemeaa adalom sme q,5 za se meže s ekspemealo dobem poflom [57] 87 Sl. 4.6 Uspoedba pofla bze p Re3. dobeh mečkom egaom modela blee a mežama s 3, 6 elemeaa adalom sme q,8 za se meže s ekspemealo dobem poflom [57] 87 Sl. 4.7 Uspoedba pofla bze p Re. dobeh mečkom egaom modela blee a mežama s 3 q,5, 6 q, q, elemeaa adalom sme s ekspemealo dobem poflom [57] 88 Sl. 4.8 Uspoedba pofla bze p Re.. dobeh mečkom egaom modela blee a mežama s 6 q,5, q, 5 q, elemeaa adalom sme s ekspemealo dobem poflom [57] 88 Sl. 4.9 Shema eñaa za spae hdalčkog daa [58] 89 Sl. 4. Tek pomee laka kod ela poača pomoć de meže 9 Sl. 4. oača zmee [58] ek pomee laka kod ela 9 Sl. 4. Tek pomee laka kod ela poača pomoć pedložee meode meode Vady Hwag [9] 93 Sl. 4.3 oača zmee [58] ek pomee laka a sed dle e 93 Sl. 4.4 Tek pomee laka a sed dle e poača pomoć pedložee meode meode Vady Hwag [9] 94 Sl. 4.5 Tek sede bze kod spemka poača pomoć pedložee meode 95 Sl. 4.6 Tek sede bze a sed dle e poača pomoć pedložee meode95 Sl. 4.7 Tek smčog apezaa a sed dle e poača pomoć de meže 96 Sl. 4.8 Tek smčog apezaa a sed dle e poača pomoć pedložee meode meode Vady Hwag [9] 97 Sl. 4.9 Tek koea ea, esaoaog odeñe z smčog apezaa τ w kazsaoaog odeñe pema edos Re 98 Sl. 4. ofl bze a sed dle e ek /L 4 poača pomoć če azlče meže 99 Sl. 4. ofl bze a sed dle e 'bzo' ako polaska pa da poemećaa, poača pema pedložeo meod pema meod Vady Hwag [9] Sl. 4. Razo pofla bze a sed dle e ako polaska pog poemećaa

20 Sl. 4.3 Razo pofla bze a sed dle e ako polaska dgog ećeg poemećaa Sl. 4.4 ofl bze a sed dle e eposedo ako polaska pa če poemećaa Sl. 4.5 Raspoed laka dž e po peod /L pkaza sakom čeom emeskom koak 3 Sl. 4.6 Raspoed laka dž e po peod /L pkaza sakom emeskom koak 3 Sl. 4.7 Raspoed laka dž e po peod /L zasos od poze emea 4 Sl. 4.8 Raspoed sede bze dž e po peod /L pkaza sakom čeom emeskom koak 4 Sl. 4.9 Raspoed sede bze dž e po peod /L pkaza sakom emeskom koak 5 Sl. 4.3 Tek pomee laka kod ela poača pomoć de meže 6 Sl. 4.3 oača zmee [58] ek pomee laka kod ela 6 Sl. 4.3 Tek pomee laka kod ela poača pomoć pedložee meode meode Vady Hwag [9] 7 Sl oača zmee [58] ek pomee laka a sed dle e 7 Sl Tek pomee laka a sed dle e poača pomoć pedložee meode meode Vady Hwag [9] 8 Sl Tek sede bze kod spemka poača pomoć pedložee meode 8 Sl Tek sede bze a sed dle e poača pomoć pedložee meode9 Sl Tek smčog apezaa a sed dle e poača pomoć de meže9 Sl Tek smčog apezaa a sed dle e poača pomoć pedložee meode meode Vady Hwag [9] Sl Tek koea ea, esaoaog odeñe z smčog apezaa τ w kazsaoaog odeñe pema edos Re Sl. 4.4 Jeda pofl bze a sed dle e poača pomoć azlče meže Sl. 4.4 ofl bze a sed dle e 'bzo' ako polaska pa da poemećaa, poača pema pedložeo meod pema meod Vady Hwag [9] Sl. 4.4 Razo pofla bze a sed dle e ako polaska pog poemećaa 3 Sl Razo pofla bze a sed dle e ako polaska pog poemećaa deal A sa pehode slke 3 3

21 Sl ofl bze a sed dle e eposedo ako polaska pa če poemećaa 4 Sl Raspoed laka dž e po peod /L pkaza sakom dgom emeskom koak 4 Sl Raspoed laka dž e po peod /L zasos od daleos emea 5 Sl Raspoed laka blz seke dž e po peod /L pkaza sakom emeskom koak 5 Sl Raspoed laka blz seke dž e po peod /L poača pomoć meže sa elemeaa aksalom sme 6 Sl Raspoed sede bze dž e po peod /L pkaza sakom dgom emeskom koak 7 Sl. 4.5 Raspoed sede bze blz smeale dž e po peod /L pkaza sakom emeskom koak 7 OIS TABLICA Tabla 3. Bo edadžb pedložee meode 66 Tabla 3. Bo epozaa pedložee meode 66 Tabla 3.3 Bo edadžb meode Vady Hwag mogćh *skošeh 67 Tabla 3.4 Bo epozaa meode Vady Hwag 68 Tabla 4. oda o ekspemema hdalčkog daa [58] 9 4

22 . UVOD oeba da se azme esaoao sae flda ala se padao eme s poaom ph ssaa za aodaae opskb odom. Meñm, ozbla apedak ssaog azmeaa zakoos saa flda dogodo se ek dadeseom soleć, kao posleda sažog azoa maemačkog apaaa, a kase azoa dgalh ačala. a ozbla sažaa esaoaog saa ezaa s z pobleme ko s se poal eoodma odm bama hdoelekaa, a koso se model eskozog flda. U daaše eme, zbog azka ehologe poblem esaoaog saa flda posa se zača šokom podč pmee, od eooda za aspo opskb flda do bzgaaa goa aomoblske mooe [4]. ome e ačešće poebo obača gbke eege,. ze obz ee. Osm ea, zma se pema poeb obz elasčos maeala e /l poaa kaae koa aočo eče p zagaña pke ode [5], [6], a poseb kaego poblema doos smlaa damčkog poašaa eh meža p. za deek pkća e [7]. Iako se aglo zaaae ela zbegaa, a hdalčk da ko me asae se e dopša dogaña se zmo, pak počaae pgšea oslaa p akom da ma pakč zača. Name, sazaa o akom pgše mog b od kos dgm oslaom sama. Uea ea ba e p. plkom smlae eh meža, kaae, dgoah smlaa, zam ako s b amplda oblk aloa kao železčkm elma [8], l kad e poebo oded maksmalo smčo apezae kao aalz kalee pke ode. Doedao esaoao ee e blo doolo sažeo, pa se e zmalo obz l se koso kaz-saoa model Day-Wesbaho obaza. Daas se za smla poaa zazah hdalčkm daom peežo kose D l kaz-d model esaoaog saa. U ok D modela kose se model ea a baz ee bze akeleae l slože model s egalom koole s ežskom fkom. U kaz-d modelma peposala se D pole laka D pole bze. omea bze popečom sme ača se peseo za odeñae ea. Za bleo sae kose se glaom algebask kaz-saoa model blee. odab modela hdalčkog daa zača log ma ke ekoomčos poača, od. asoae da se poač oba šo kaćem eme z košee šo mae 5

23 ačalh essa, pa se modele pal aso maksmalo poedosa. Toč D model česo se kose za ka oh D modela l za bole azmeae fzkale pozade poae, a eñe za komeal smla. Od poeba zadaka, al od paameaa spae poae zas da l će ezla dobe pomoć oh modela b zadoolaać l e. U oom ad se za hdalčk da pmee ogal kaz-d model ko se ešaa pomoć akoñe ogale aae mečke meode kaakeska. Nmečka meoda asala e egaom kaakesčh edadžb po popečo poš elemea, pa ma eka sosa meode koačh olmea. Koak meže zdžom sme odabe se ako da se egzako zadoolaa ke Lewy-Coaa, šo zač da e meoda a samo ga sablos. Zbog sablos se za epola bze kos čsa mpla shema. U pakčom smsl poač e edosaa lo bz; zasebo se ek ešaa samo ssa edadžb za eda popeč pesek. Ssa h edadžb e 3-dagoal, šo omogćaa pme bzog Thomasoog algoma TDMA. edlože model aalčk e spoeñe s edm od aočh semeh modela, modelom Vady Hwag [9]. okaze se da se pedlože model doba aalčkom maplaom modela Vady Hwag, a akoñe algebaskom maplaom og modela zapsaog dskezao fom, al z e da se kos popo mpla shema za adal bz. Meñm ok pedložeog modela e poebo ešaa edadžbe za adal bz, čme se poeba bo ačskh opeaa pepolala. U ok ada zañe e kompesk pogam za ešaae oako daog modela. Točos meode esaa e spoedbom ezlaa pedložee meode s ekspemealm ezlama za lama ble slča saa. Takoñe e zšea spoedba s ezlama meode Vady Hwag. Zbog oe poslede spoedbe, koše e ok oog sažaa s algebask model blee s pe zoa kaka se pmee o meod. oklapae ezlaa pedložee meode s ekspemealm poačskm ezlama pokazalo se zzeo dobo sm saama. 6

24 CILJ I HIOTEZA RADA CILJ RADA Cl ada e saae oog kaz-dodmezskog modela meode za poač esaoaog saa e. Model će ma dodmezsk edadžb za aksal bz egal edodmezsk edadžb za lak, zbog čega se gb poeba za odeñaem adale kompoee bze. Meoda će se baza a meod kaakeska z oñee elemeaa meode koačh olmea. HIOTEZA RADA Noopedlože model mečka meoda, ko će se emel a meod kaakeska, će daa oče ezlae /l ma kaće eme poača esaoaog saa od posoećh dodmezskh modela. edložea meoda će b doolo bza da se može kos pakčo pme meso edosah eočh edodmezskh modela. 7

25 . REGLED OSTOJEĆIH MODELA I METODA Ode s ezma akal model meode za ačae hdalčkog daa slabo slačog flda. ome e poseba pozoos posećea ač zmaa obz eaa ea fld. Ns ze obz kaaa odaaa spa flda, ačaa složee ee geomee eh meža. O model ko s sekl eć poplaos zaspleos dealo s obaše. Model hoe osoe maemačke edadžbe ape s po kaegoama aede edosledom od složeh pema edosama, kako b se mogao pa sagleda edosled oñea peposak ogačea. U asak, edosledom od edosah pema složema, model s azañe deale. haćea e sledeća osoa podela akalh modela a Jedodmezsk D model deal model bez ea kaz-saoa model ea model s koekom a baz ee akeleae model s aalčkom koekom b Dodmezsk D kaz dodmezsk model. Model hdalčkog daa osoe edadžbe peposake Osoe edadžbe saa Newooskog flda s edadžba koea D D. 8

26 9 edadžba kolče gbaa p f D D Σ,. Σ ' ' 3 k k δ..3 Tezo bleh apezaa česo se modela pomoć blee skozos T,. odelak o modelma blee. pem zaza T ' ',.4 T.5... D kaz-d model elazom a ldask kooda ssa koodae os,, ϑ, kompoee bze,, w zaemać člaoe č ea e začaa od. oñeem sledećh peposak: ; 3 k k δ ; aksala smea obzom a os ϑ ; ϑ w; osoe edadžbe popma sledeć fom: edadžba koea,.6 -kompoea edadžbe kolče gbaa p f Σ Σ,.7

27 -kompoea edadžbe kolče gbaa p Σ Σ Σ f p čem ϑϑ,.8 Σ ' ',.9 Σ Σ '',. Σ ' ',. Σ ϑϑ w' w',. od. kolko se kos model blee skozos Σ,.3 Σ Σ,.4 Σ..5 Σ ϑϑ..6 Uode se dale elae peposake od. poedosalea: Σ Σ Σ, Σ σ agealo apezae kompoea ezoa apezaa; ; D model laka lak e fka od -koodae,.,, pa še e poebo ešaa -kompoe edadžbe kolče gbaa, oom peposakom D model posae kaz-d model;

28 bza apedoaa lačog poemećaa bza zka d,.7 d D D dakle apomea: D modelma kos se opće zaz za bz D D apedoaa lačog poemećaa,. že; z f g,. masea gaaska sla se ea edodmezsk, z 3 e geodeska sa; pezomeaska sa H z,.8 g gde e os počea gsoća flda; adale D g DH z g DH g z ; D D D z,. ode se a edadžbe koea zaemae do. [] koeke pomee gsoće; ače se občo o edadžb zaemae komplea koeka pomea gsoće, od. zma se DH D H ; doba se sledeće edadžbe koe se česo kose kao polaze edadžbe za kaz-d modele edadžba koea g H H,.9 -kompoea edadžbe kolče gbaa H σ g,.

29 p čem σ '',. l z košee modela blee skozos σ.. Ghdao e al. [4] pokazal s spoedbom eda elče poedh člaoa da e slča Ma<< opadao zaema koeke člaoe oh edadžb,.: H,, ; kaz-d model se ada poedosale doba se poza model Vady Hwag [9]: edadžba koea g H,.3 -kompoea edadžbe kolče gbaa H σ g..4 Maplaom /l poedosalaem oh edadžb mogće e zes dale poplae modele hdalčkog daa. Iegaom edadžbe koea po poš popečog peseka e S: pook koz e Q, ds ; S ds zbog ose smee; S

30 doba se poedosale kaz-d model ko e eo ezzga []: edadžba koea H gs Q,.5 -kompoea edadžbe kolče gbaa H σ g..6 Oako klaae adalh bza z modela ekm saama zoke zkale oslae. Sla-Aaya Chady [] Ohm e al. [3] akoñe s egal kaz-d edadžb kolče gbaa, al samo za odeñae koeke esaoaog smčog apezaa τ w ok modela ko se dale sod a D model. Wood Fk [4] akoñe s mečk egal kaz-d edadžb kolče gbaa a a ač odeñal pofle bza.... D model Za lamao sae ed: σ, os; pa se om slča -kompoea edadžbe kolče gbaa može zapsa fom f..7 Ode s pse deae bze samo po kooda eme, pa e ega oe edadžbe mogće poes sakom pesek ezaso od koodae. Zelke [5] e zšo ak aalčk ega, čme e dobe popla D aalčk model. Vady e al. [6] s a aalog ač sačl model pklada za esaoao bleo sae glakm ema p skm Reyoldsom boema. Vady Bow [7] s 3

31 kase a model pošl a slčaee bleog saa glakm ema p sokm Reyoldsom boema, e [8] a bleo sae popo hapam ema. Čs D model doba se oñeem sede bze: U, ds. S S Uzmać osm oga obz da ed σ τ w σ 4τ w D D,.8 gde τ w ozačaa smčo apezae a se e, doba se klasče edadžbe hdalčkog daa: edadžba koea H g U,.9 -kompoea edadžbe kolče gbaa U H g 4τ w D..3 Is zaz mog se dob od. ede kad se dops pomea peseka e S sled elasče domae e. p. []. Meñm, ada se bza apedoaa lačog poemećaa da sledećm općem zazom: d ds,.3 d S d E δ f E D p čem s E Yogo modl elasčos e, E f olmesk modl elasčos flda, a δ e debla seke e. 4

32 Kad se goem model zaema ee, doba se adoal Allee model hdalčkog daa: edadžba koea H g U,.3 -kompoea edadžbe kolče gbaa U H g..33 Iegaom Alleeh edadžb po pomčom koolom olme, ko obhaća fo hdalčkog daa po elom popečom pesek e z košee Lebzoog pala može se dob zaz Žkoskog za s pog lačog daa U H..34 g. Model ea za klasč D model hdalčkog daa očekom dadeseog soleća Žkosk e posao apoza edadžb esaoaog saa koa se poekad aza osoom edadžbom hdalčkog daa. U H..35 g Dobea e z peposak eskozog flda zaemao male bze saa odos a bz zka. Oplke so eme Alle e pokazao da e opadao zaema koeke člaoe edadžbama posao opć eo hdalčkog daa. Allee deal model obhaća edadžb koea H g U,.36 5

33 -kompoe edadžbe kolče gbaa U H g..37 Nako šo e oš zeo obz ee a se e, poloom dadeseog soleća općeo s phaćee sledeće klasče edadžbe edodmezskog D modela hdalčkog daa: edadžba koea H g U,.38 -kompoea edadžbe kolče gbaa U H g 4τ w D..39 Te edadžbe ede za edodmezsko sae aksalo smečo sae z doma kompoe bze sme os slačog flda elasčo e z elao mal edos Mahoog boa. ema [4] ea smčog apezaa a se e τ w poećaa se s poećaem edos bezdmezske začake L Td Γ ζ Ma λ ζ,.4 D L gde e sa ζ ozačeo bezdmezsko eme smlae ome emea smlae emea L/ čee klsa, λ e koe saoaog skozog ea e, a T d R /υ e kaakesčo eme dfze adalom sme. ema ome ea ea začaa e slčaema kad eme smlae zao pemaše peod klsa elk ζ, l e e elao elke dle L od. malog pomea D, l e koe ea λ elao elk, l kad e kaakesčo eme adale dfze T d eće od emea L/ poaa poemećaa edom sme. ozao e da se kod elao kakog emea smlae mal ζ zadoolaać ezla doba z košee blo koeg modela ea. akč zada kod koh e modelae ea od bog začaa klč aalz sez eoodh meža eglae esaoaog saa; smla opskbe pke ode s lem zbegaaa zagañea; zad pogama za obad meh podaaka sh 6

34 kalbae paameaa, dagoske okae popšaa; modelae kaae odaaa spa kaplee.... Kaz-saoa model U saoaom sa pad laka sled ea e ača se pema Day- Wesbahoom obas L U λ..4 D Iz ea aoeže sla a eleme flda saoaom saa sled zaz za smčo apezae a se e πd 4 U U τ w λ..4 πdl 8 U kaz-saoaom model peposala se da go zaz sakom čas ed za slča esaoaog saa, p čem e U ea seda bza saa. Ta peposaka dae zadoolaaće ezlae edo slča lo spoh esaoaos. Kod hdalčkog daa emeske pomee s bze, a seda bza saa ako p. eog zaaaa ela edaka e l. Meñm, popo spoo ezla ko dae saoa model ea, smčo apezae e maksmalo pao odmah ako polaska foe ala. Name p polask lače foe bza flda smae se sm očkama peseka oplke za s zos. Zao se pao blz seke ala aeće bze om podč mea se sme bze, šo zaedo s eom leplea ezla maksmalm gadeom bze blz seke. 7

35 Sl.. ofl bze p hdalčkom da [4] Zao se zaz za smčo apezae a se e zapse kao zbo kaz-saoaog apezaa τ ws esaoaog doposa apeza τ w τ τ τ..43 w ws w Za azlk od oog modela, peosal D model ea zma obz o koek τ w, a azlk se pao po model og doposa.... Izaz za koek kaz-saoaog modela ko se baza a eo akelea Ekspeme [9] pokazao e da τ w popma poz edos p bza saa, a ega edos p spoe saa. Daly e al. [9] pedložl s ela kd U τ w Koe k općeo zas od poze emea, pa se pgšae oslaa koe dae oa model elao loše poklapa s ekspemeom. Sl... Boe e al. [] pedlaž sledeć modfka kd U U τ w

36 Oa poza model edosaa e za košee, a doba se zadoolaaće pgšee oslaa ako hdalčkog daa. Sl... Zao se od sh modela ea a baz akeleae oa model ačešće kos. oebo e odaba adeka edos samo edog paamea koea k. Bega e al. [] dobl s abole ezlae p edosma k zmeñ,33,85. Boe e al. [] kosl s edos k,4. Sl.. Tek pezomeaske se p hdalčkom da, ekspeme model [4] Takoñe s sgeal da se k odabee pema zaz H H,.46 k p čem s H H - maksmale edos pezomeaske se da koseka aa. Nekolko aoa pedložlo e mae modfkae oog modela, kao p. ezzga [] kdu U U τ w sgu,

37 Bega e al. [] kd U U τ w sg U Osm spomee modfkae, ezzga [] e odedo edos koea k za las model za model Boe e al. [] a baz ezlaa složeeg kaz-d modela ezzga []. Dmezskom aalzom dobo e aao sledeće bezdmezske začake o koma os edos koea k: poče Reyoldso bo Re U D/υ, ela ekale hapaos k /D kaakesč paamea eooda y y gh L U 4Lτ f ws λ,.49 U D DU p čem H f ozačaa lsk gbak, a τ ws smčo apezae a se; oboe počeom saoaom sa. okazalo se da se edos k za oba modela e azlk. Meñm, D model ešaao se pomoć de mečke meode, meodom kaakeska MK meodom koačh dfeea MKD, a ezla dobe k e zaso od pmeee mečke meode. Rezla e akoñe zaso od emea smlae boa oslaoh klsa. ema ome, mogće e da koe k zas od odabaog emea pomaaa poae, al s dge sae poeba e emela ekspemeala kaa kako D ako kaz-d modela. Vady Bow [3] podl s eosk zaz za odeñae koea k. ome se peposala da se koe blee skozos e mea s emeom da ma aspodel s kao kod saoaog saa. Zao e pozdaos akog modela pa...3. Aalčk zaz za koek kaz-saoaog modela O model česo se aza modelma s ežskom fkom. Košee e fke egal koole, zahea da se zm obz poda od počeka poae pa se do daog eka. Model z oe kaegoe baza se a aalčkom eše Zelke [5] paalelog ososmečog saa. Iegać zdž kompoe edadžbe kolče gbaa f,.5 3

38 po podč popečog peseka e pomoć Laplaeoe asfomae, dobe se za slča lamaog saa e λ64/re64υ/du sledeć zaz za koek smčog apezaa a se e ko sadž egal koole 4ν U τ w W ϑ ϑ dϑ D..5 ϑ Težska fka W za slča τ, glas 5,356 τ 8,474 τ,6984 τ 4,79595 τ 7,9598 τ W e e e e e,.5 dok za slča τ<, a fka glas W,895τ,5,57855 τ,9375 τ, τ 3,35563τ,.53 p čem τ pedsala bezdmezsk emesk koe da zazom 4ν τ..54 D Nmečko začaae egala koole zahea memoae bze sm očkama sm emeskm ema sm očkama posoo-emeske meže. Tkha [4] e poedosao oa mečk pospak ako da e ežsk fk apoksmao pomoć ekspoeale fke. Ekspoeale fke omogćaa edosao košee ekzh fomla, pa e doolo memoa pošla saa oblk skph paameaa samo z pehodog koaka. Szk e al. [5] za eme τ<, ežsk fk ača pema ogalom Zelkeoom zaz, a eme τ, ekzo pop Tkhe [4], e s člao ežske fke om azdobl oako ma oblk ekspoealh fka. Tkha [4], Bega e al. [], Bega Smpso [6], Vady e al. [6] saol s da model Zelke [5] dae phale ezlae za bleo sae p skom Reyoldsoom bo, maka e model zede za lamao sae. Vady e al. [6] s a aalog ač kao šo e za lamao sae ačo Zelke [5], zel model pklada za esaoao bleo sae glakm ema p skm Reyoldsom boema. Vady Bow [7] s kase a model pošl a slčaee 3

39 bleog saa glakm ema p sokm Reyoldsom boema, e [8] a bleo sae popo hapam ema. Rad se dakle o modelma ko poka se slčaee saa glakm ema od lamaog do azeog bleog. Model Vady Bow [7] doba se egaom dosloog ezga gač slo modela paalelog oso-smečog bleog saa po podč popečog peseka e. mee doslo model Sl..3 pmee e plagoñe saoaom sa e. eposala se da e ezg e bza saoaog saa kosaa, a eka skozos υ beskoačo elka. Sl..3 Saoa pofl bze eke skozos [7] Uz peposak da e seda bza gačom slo edaka /, pomoć edadžbe koea za saoao sae doba se sledeć zaz za sed bz saa U U b b,.55 R R gde b ozačaa debl gačog sloa, a R polme e RD/. U slča elao elkh Reyoldsoh boea p. λre >4 može se sa U. meeo saoaom sa, gačom slo peposala se lea pofl eke skozos υ w y υ α,.56 3

40 p čem s υ w skozos a se υ w υ, a y e popeča koodaa gač slo se ea kao ask z košee Caeseog koodaog ssaa. Da se zbege košee koea smea α, od se ozaka υ w σ αb,.57 υ p čem e υ eka skozos a b gačog sloa υ υ p yb. Uzdža kompoea edadžba kolče gbaa za gač slo glas z υ g f,.58 y y a za ezg e z τ g R b,.59 gde τ ozačaa agealo apezae a b ezge e. Iegaom oh edadžb za slča saoaog saa z peposak da za saoao sae ede sledeć zaz za ek skozos υ a b gačog sloa [7]: υ τ R,7 ; τ ws U τ λ,.6 8 za koe ea glakm ema Nkadse log Re λ,8,.6 λ dob se za saoao sae sledeć zaz za odeñae σ b σ,4 λre Re,.6 b R 6 λre U, logσ 3,,366 λ σ,.63 lσ ko se kose kao ažeć za slča esaoaog saa, a akoñe se dobe sledeć zaz za saoa do smčog apezaa a se e 33

41 σ lσ σ τ ws υ w..64 lσ σ b R b σ lσ Jedadžbe kolče gbaa za esaoao sae gačom slo ezg se ako oga podgaa Laplaeoo asfoma. Jedadžba za gač slo se pomoć spse η s αy α υ,.65 w s e kompleksa aabla peod Besselo edadžb log eda kak e dobo Zelke [5], pa se zam ega. Uzeš obz asfoma edadžbe za ezg, kao koač ezla dobe se Laplaeo asfoma smčog apezaa z sek e τ w ' od koeg se zam odzma asfoma saoaog dela τ ws ', pa a a ač peosae asfoma esaoaog doposa smčog apezaa z sek τ w '. Iezom asfomaom doba se zaz τ 4υ U W ϑ ϑ dϑ D,.66 ϑ w ko sadž ežsk fk W, a po oblk e deča s Zelkeom [5] zazom. Rad poedosalea, asfoma ežske fke W's se ape zamee pblžm zazom W a 's, čom ezom asfomaom se dobe ežska fka sledećem oblk W Aep B / π,.67 D A,.68 4 υ κ υre B,54,.69 D 4,3 κ log..7, 5 Re Slčo kao šo e Tkha [4] eo apoksma ežske fke za model Zelke [5] me zbegao poeb da se memoa se edos bze od počeog časa, ako s Ghdao Maso [8] pedložl apoksma zaz za ežsk fk modela Vady Bow [7]. Ako se kos a zaz, poebo e memoa samo edos bza z pehodog emeskog koaka. 34

42 okaze se da za slča kosae akeleae model Vady Bow [7] esaoa do smčog apezaa τ w dolaz zasćee maksmm, ako kosaa akeleaa ae dle od mmalog emea m 3,33β. Tada τ w zas glaom od edos e akeleae, ako da ada oa model zaz ko se baza a eo akelea p. [] da podedake edos τ w. Veme m skaće se poećaem Reyoldsoog boa ežska fka W ada ma zae edos samo blz emea, pa zaz ko se baza a eo akelea da abole ezlae kada se p sokm Reyoldsom boema akeleaa mea polako eko eme e pblžo kosaa..3 Model ea za kaz-d model model blee U kaz-d modelma ee lamaom sa zma se obz pomoć odgoaaćeg člaa Nae-Sokesoe edadžbe od. koseć Newoo zako skozos. Za bleo sae kos se ekolko modela blee. Iskso pokaze da se eć pomoć lo edosah pofla bze bleog saa doba zadoolaać ezla pogled osoh kaakeska esaoaog saa. S dge sae pofl bze e alk poflma saoaog saa, a azlkoae lamaog bleog ežma oežao e čeom da se blea ala samo faz spoaaa saa, dok plkom bzaaa dolaz do elamazae. Za Reyoldsoa apezaa glaom s se kosl algebask model, p. Vady Hwag [9], ezzga [], Sla-Aaya Chady [], Sla-Aaya Chady [9], Ohm e al. [3] dok s se sofsa model pop κ-ε modela kosl eñe. Rezla dobe κ-ε modelom algebaskm modelma s se be azlkoal. Meoda ko s azl Vady Hwag [9] kos se 5-zoskm algebaskm modelom blee ko s za esaoao sae azl Ka e al. [3]. Zoe s sledeće: lama podslo, de pelaze zoe, zoa logaamskog zakoa ezga. Upoeba oog modela za slča esaoaog saa poekad saa poeškoće e esaoaom sa blea e zas samo od smčog apezaa a se e τ w, kao šo pedña oa model blee. Meoda ko e azo ezzga [] kos algebask model blee s de zoe To s lama podslo blea zoa koo se kos adloa hpoeza pa mešaa. 35

43 Iako a hpoeza zma obz pofl bze, koe zaz za p mešaa baza se a saoaom sa. Ghdao e al. [3] saol s da oa da modela da pblžo edake ezlae za slča esaoaog saa e, kao da pezomeaska sa H e zas od aspodele blee skozos ezg e. Valaos Reyoldsoh edadžb za slča esaoaog saa e pa e, za pozdao emesko osedaae, kaakesčo eme za ble moa b zao kaće od kaakesčog emea esaoae poae, a o e ek mogće. Možda će se zao bdćos ećo me kos meoda smlae elkh loga..4 Sablos saa Spoo adašm očekama, ekspeme koe e zšo Shy [3] pokazal s da se smčo apezae z sek poećaa p spoaa saa smae p bzaa. Shy peposala da p bzaa bleog saa dolaz do elamazae. Ekspeme koe s poel Das Aake [33] pokazal s da esaoao sae posae esablo kad se peñe kča edos Reyoldsoog boa kaakesčog emea. Nesablos ekspeme pokšal s obas koseć kaz-saoa aalz sablos leah ssaa. Sa smaeem pooka očka flekse poflma bze ko ma ekla dalaa se od seke, čme se smae sablos saa. Isoemeo Reyoldso bo se smae, poećaać me sablos saa. oaa esablos zas će o ome ko od oa da spoa eaa pelada. Nesablos se oče asak spalh loga ko se aglo aspada ble. Boe e al. [34] smal s pofle bze esaoaom bleom sa e saol da se ako polaska foe lačog daa aažo saa ala azmečo od. peodčk goem doem del e, čme se zao ašaa aksala smea. Kaz-saoaa leaa aalza ko s ačl Ghdao Kolyshk [35], ako da s esaoae pofle bza s eklaom podgl odmezoalm pebaama, pokaze da, zaso od Reyoldsoog boa bezdmezskog emea, esaoao 36

44 sae e može b a sable l esable domee. Dobl s kle eale aoeže a ga h d domea. To s kle a koma se poemeća e poećaa sma. Kle eale aoeže pedsala paoe kčh edos Reyoldsoog boa emea. Takoñe se pokazalo da e aesabl asmeč mods z azm al bo edak ed. Ekspeme koe e zšo Shy [3] bl s p ekspeme zše a esable domee. Sae se sablza ako se okol očke flekse pofla bze gade bze s emeom smae. Ta gade poećaa se p. zam smaaem pooka. Takoñe, desablzaće dele dalaae očke flekse od seke e. Nesablos se poale elao bzo, a zmeñ osalog ašaa aksal sme pofla bze, mea sk eze blee. Seme D model esaoaog saa s sa smla ak esablos saa. Ghdao e al. [3] poeaal s ezlae da pozaa kaz-d modela. okazalo se da se podč koem se očeke esablos spal loz ezla dobe m modelma do % azlk od ekspemealh ezlaa..5 eposaka 'zamze' kaz-saoae blee U modelma smčog apezaa ko se baza a aalčkom eše pomoć egala koole, Vady e al. [6], Vady Bow [7] peposal s da aspodela blee skozos saoaog saa osae sa, emesk epomela 'zamza', za eme esaoaog saa. U som D modelma Vady Hwag [9], ezzga [], Sla-Aaya Chady [] peposala da esaoaom sa ede zaz za ble skozos saoaog saa peposaka kaz-saoae blee skozos. edložea meoda kos kaz-saoa model blee po zo a meod Vady Hwag. Ghdao e al. [3], Geebla Moss [36], He Jakso [37] zešaa da ako polaska foe ala dolaz do kašea pomee blee zazae m alom. Jedolk pomak elog pofla bze plkom polaska ala ma za posled epomelos gadea bze eposedo ako polaska ala. Tada se edo mea gade z sek e šo dood do asaka lože poše om podč. S emeom, ako polaska foe, loz se dfzom peose pema ezg e, pa se ećo me eč a gade 37

45 bze, eze sk blee pelazo zo gačog sloa. He Jakso [37] pedložl s ač za poe oog kašea. Ghdao e al. [3] kao ke opadaos peposake kaz-saoae bleos pedlaž omee kaakesčh emea adale dfze emea popagae ala. halm s ozačl sae koma e edo od emea zao eće od dgog, dok e peposaka pa saama gde s a emea sog eda elče. U oom ad pmee se peposaka 'zamze' blee..6 Nmečko ešaae D modela, mečke sheme Meoda kaakeska MK apklada e ačešće košea mečka meoda za ešaae D modela esaoaog saa ema. Osm oe meode, mao me oš s se kosle meoda koačh dfeea MKD, meoda koačh olmea MKV ala meoda. Meoda koačh elemeaa za sada e košea komealm pogamma. U MK ačešće se kos fksa ešeka. U eoodm ssama oa zahea soea emesk koak za se doe. Obzom da doe eooda ma azlče dle, a ek pa azlče bze zka, z soea emesk koak pp e mogće popo zadool Coao ke. Oa poblem ešaa se epolaom, p čem se kos z epolaskh ehka od. shema. Wgge Sdqs [38] kosl s epolask shem koo komba poso lea epola mpl shem. Goldbeg Wyle [39] azl s shem eksplog dfeeaa koo s kosl ešea z ećeg boa ah emeskh koaka. La [4] e soo še-modso shem kombao ekspl shem epola l eksapola po poso s klasčom leaom epolaom poso eme. Zaso od elče emeskog posoog koaka, kao od boa košeh pehodh emeskh koaka, oa shema može fkoa kao eda l dga l pozola kombaa obe sheme. Tme se kosk pža popa fleksblos. Yag Hs [4] akoñe kose ekspl shem koo kose podake z ećeg boa ah emeskh koaka. Zam kose meod Holly- essma za epola poso l eme. Sbeheos e al. [4] spešo s pmel sple meod edosam poblemma eoodma, dok se složem 38

46 saama ala poblem daa bh ea za sple. Rad bzaa poača smaea košea ačala Kaey Ghdao [43] azl s slože algoam ko se može kos za al poač. Nho hbd psp kos epola dž kaakeske, epola z ablže očke meod plagodbe pae ala. Vala meoda ko s pmel Wood e al. [44] alke MK, al poemećae fke moa po odsečma b kosae. To polač da se ad o shem pog eda očos poso eme. Takoñe ee se moa apoksma fkama kosam po odsečma. To eše zaza zkale oslae male amplde. oblem pedsala čea da e eše ač a ko b se shem klčo egal koole ežska fka. okša da se pomoć MKD mple sheme ealh dfeea a ač sablos mplh shema omogće eć emesk koa česo e dae zadoolaaće ezlae, e mple sheme skl popaga ala s posebo pogode za ačae popagae aloa. Takoñe, mpla meoda zahea ešaae elao elkh ssaa edadžb. Zao se za mečko ešaae hpebolčkh edadžb peežo kose eksple sheme. Chadhy Hssa [45] pmel s eksple MKD-sheme dgog eda očos po poso eme sheme MaComak, Lambda Gab za edadžbe hdalčkog daa. okazalo se da oe meode da bole ezlae ego MK sa shemom pog eda očos, al se pofl ala poal sme oslae. MKV se e česo kosla za ešaae poblema hdalčkog daa. Go [46], Hwag Chg [47] ešaal s model hdalčkog daa bez dfze bez ea. O ešaa Remao poblem kose Godoe sheme. Go [46] koseć Godo shem pog eda očos doba meod alk MK s posoom leaom epolaom. Hwag Chg [47] kose meod dgog eda očos. ome s kao epoza meso pezomeaske se odabal gsoć, šo zahea da se da eza pezomeaske se gsoće, e zaza pobleme p da bh ea. 39

47 .7 Nmečko ešaae kaz-d modela, mečke sheme Osoe edadžbe kaz-d modela edadžba koea g H H,.7 -kompoea edadžbe kolče gbaa H σ g,.7 pedsala ssa hpebolčkh-paabolčkh paalh dfeealh edadžb. Uz zaemaae koekh člaoa, Vady Hwag [9] oa model ešaa a hbd ač hpebolč do pomoć MK, a paabolč do pomoć MKD. Ta ač e sglas s fzkalom pozadom hdalčkog daa, e se MK kos za poač alog dela edadžb, a eale dfeee za dfzsk do. Takoñe, ako s adal mase poo elao mal, hoo klčee edadžb koea ma opadae očos, sablos fzkalo koekos. Košee MK općeo omogćaa sažačma da kose aalze, meode, epolaske sheme sksa azlčh D MK modela. Kaakesč oblk oh edadžb e dh d ± d g d ± g g σ,.73 dž kaakeska d d ±..74 Dskezaom oog ssaa Vady Hwag [9] dobl s 5-dagoal ssa N N edadžb, gde e N bo podela adalom sme. Za ešaae og ssaa poebo e eme ealog poesoa eda elče N 3. Zhao Ghdao [48] a ssa s sel a da 3-dagoala ssaa N N edadžb čme se eme ealog poesoa selo a ed elče N. 4

48 ezzga [] odeñe lak ešaaem edadžbe koea koseć ekspl MKD shem. Nako oga odeñe pofle bze ešaaem edadžbe kolče gbaa, p čem kos mpl MKD shem. Na ka se kp pook ača egaom bze po poš peseka e. oač e bz e s edadžbe koea kolče gbaa azdoee pa se ešaa zasebo, a adala dskezaa edadžbe kolče gbaa dood do 3-dagoale mae. Nažalos ačae pooka egaom bze ek pa zoke zkale oslae poačaog laka. Da b se oslae zbegle, poeba e fa dskezaa adalom sme. Ohm e al. [3] ešaaem D modela odeñe lak sed bz. U asak, dobe gade laka kos se kaz-d edadžb kolče gbaa za odeñae pofla bze. ofl bze se ako oga kos za ačae agealog apezaa a se e poebog D model. Slča e meoda ko kose Sla-Aaya Chadhy [], [9]. Nako šo se zača pofl bze, o se kos za ačae pooka dspae eege. Iz e dspae dobe se ome dspaa, a emel koeg se odeñe koeka člaa s eem D edadžb. Koga D model ešaa se za lak pook. Zam se koga gade laka poač se poala se dok se doolo e sma azlka pooka dobeog egaom pofla bze oog dobeog D modelom. 4

49 3. REDLOŽENI MODEL I METODA RJEŠAVANJA 3. Meoda kaakeska mea meode kaakeska za sae D 3D saa flda opsaa e Hsh [49], [5], a pme speše ealzae a kaed za Mehak flda FSB-a Zageb da e Šaa [5], Šaa e al. [5], [53], [54]. Meoda kaakeska pmee se za paale dfeeale edadžbe DJ koma se ops poae domao koekog od. alog kaakea,. za DJ pog eda hpebolčkog pa. Za pme meode kaakeska, fzkal model eba pkaza oblk ssaa DJ pog eda še deae pp se obačaa pem zoskog člaa. U odlomk 3. dae se opć pkaz meode kaakeska pklada za D 3D modele. pklada za dal ad. Meoda će se pme a pme popog D modela,. a slča aksale smee saa slabo slačog flda. Kase će se pop D model eda a kaz-d model kaka se azmaa oom ad Općeo Ssa DJ zapse se kao ssa k edadžb,k oblka a k ξk q, 3. k epozah fka dakle,k. ξ k ozačaa ezas aabl k,k, k e bo posoh koodaa k, a k e koe, a q e zosk čla. Homoge do goeg ssaa ma alo ešee oblka ˆ l ξl e, 3. p čem û ozačaa ampld,, l e kompoea ekoa. Očo e da e ešee kosao kada e skala podk l ξ l kosaa. 4

50 Za esaoae ssae občaeo e posebo zaz emesk kooda emeske pomee. Tada e ξ,,k ; k e bo posoh koodaa k ; ξ 3. zapse oblk k, pa se ssa a k k q,,,k ; k,k, 3.3 gde e koe a k eleme Jaobee mae. Rešee homogeog ssaa 3. občo se zapse oblk ˆ e κ ω, 3.4 p čem e ω kaakesča kža fekea ala ωπf, f e kaakesča fekea ala, a κ e eko alog boa ča apsola edos e π κ, 3.5 λ gde e λ ala dla. Takoñe ed elaa a κ ω, 3.6 p čem a ozačaa eko bze keaa ala sme egoog posaa, pa slča koleaos ekoa a κ ed ω a, 3.7 κ ωκ a. 3.8 κ Nadale, ako Sξ S,os ozačaa sose hpe poš od. poš foe ala, ada za hpe poso ko klče eme kao ed od dmeza ξ ed gad ξ S ξ S ξ e ξ, 3.9 ξ. gade-eko omala e a hpe poš Sξ, dok za fzčk poso ed S, gad S, e κ, os 3. 43

51 . gade-eko κ omala e a pod-poš koa asae peseaem S, aom os. Očo e da ed elaa S, ω, 3. p čem ozačaa kompoe ekoa sme koodae os, kao da se ešee 3. aleao može zapsa oblk ˆ e ξ k k ˆ e κ ω k k ˆ e S S k k. 3. ome će edos b kosaa sme okomom a. kad e aš podk k ξ k, a o zač agealo a poš Sξ os oea gadeom. Go zaz e ešee homogeog ssaa DJ a k k,,,k ; k,k, 3.3 pa se egom šeem a ssa, ako delea s e κ k k ω doba S S ωδ ˆ ˆ κ kak δ ak. 3.4 k Oa ssa edadžb može ma ešea azlča od alog ešea ˆ edo slča kad e deemaa ssaa edaka l S S de ωδ κ kak de δ ak. 3.5 k Iz og ea odeñe se kaakesča kža fekea ω. Za sak odaba sme κ, edadžba će ma k e-alh ešea ω, ω,,k. Vdlo e da oa zapao pedsala sosee ege edos mae κ k a k. Ako se edadžba podel s κ, doba se edadžba za odeñae kaakesče bze posaa ala a sme omale a sose poš S, os. od. sme gadea a poš. ω κ k κk de δ ak de aδ ak. 3.6 κ κ κ Za pozol sme κ κ /κ sosee poše poso k soseh edos λ a ω /κ a,,k. 44

52 Aelopa sh sosem poša oeah sm smeoma κ o Maho kos. Obzom a očk ha kosa, Maho kos pošlos omeñe zo osos, a bdćos zo eaa e očke. Sosea poša dode Maho kos po l koa se aza kaakeska bkaakeska sme ekoa b. Maho kos, e sosea poša kaakeska za odaba sme κ pkaza s a sl. 3. Ako se edadžb sosee poše κ ω odabee, spoedbom s dom bze a doba se a. a b Sl. 3. Maho kos sosea aa za D sa Izazom l a κ κ m k m m k λ l, 3.7 e sma se po deks zagad,. oom slča po m da e le sose ege eko l m ko odgoaa soseo edos λ m. Ako se se sosee edos zapš oblk dagoale mae m [ Λ ] [ λ δ ] Λ, 3.8 m m 45

53 ede ozaka za ma κ [ ] k K K a k, 3.9 κ mogće e zaz za eda sose eko 3.7 mačo zapsa za se sosee ekoe L K ΛL, 3. gde l m sose eko pedsala m- edak mae L -. Dagoalzaa mae K pood se ako da se goa edadžba pomož maom L s lee sae, pa se dobe K L Λ L. 3. Ako se oso ssa DJ pomož sosem ekoom s lee sae l m l m a k k l m q, 3. doba se edadžba kompablos. Zapsom oe edadžbe za se sosee ekoe [ ] m p m [ L ] m amk [ L] [ L ] p [ L ] m qm L, 3.3 omogćaa se pelaz a sosee aable w w w a~ k q ~ k p čem s edee ozake [ L ] m a mk [ L] [ ] m m a ~ k k, 3.4, 3.5 ~ q L q, 3.6 δw l δ, 3.7 k k a smbol δ ozačaa odgoaać emesk l poso pome. Teba aglas da dobee kaakesče aable w zase od odabaog smea popagae κ. Ukolko se odabee eko κ sme koodae os, κ e, 3.8 p čem e e edč baz eko sme koodae os, edadžba sosee poše koz shodše κ ω dae edadžb kaakeske za a sme 46

54 ω m a m, 3.9 p čem deks m ozačaa aze sosee edos za a sme. Deaem oe edadžbe po eme doba se občae zaps dae kaakeske d a. 3.3 m d Dž oe kaakeske može se edadžba 3.4 zažea pomoć soseh aabl zapsa oblk dw d m w w d w w m m m m a s, 3.3 d p čem s peosal člao edadžbe pebače o zosk čla s mea MK a aksalo smeča model saa Osoe edadžbe aksalo smečog modela za slabo slač fld Bza apedoaa lačog poemećaa bza zka dp, 3.3 d dakle D D Dp D ; eposala se da ed Bossesqoa hpoeza,. Reyoldsoa apezaa zažaa se pomoć koea blee skozos T, a kpa apezaa modela se pomoć koea eke kpe skozos T. Osoe edadžbe saa za aksalo smeč sa zapsae ldaskom koodaom ssa koodae os, kompoee bze, : edadžba koea p p p,

55 48 -kompoea edadžbe kolče gbaa p f υ υ, kompoea edadžbe kolče gbaa p f υ υ υ, 3.35 Model zapsa kaakesčom oblk Za dodmezsk k model da edadžbama eko ezash aabl glas [ ] k, 3.36 pa se model sklado edadžb 3.3 može zapsa oblk q a a, 3.37 p čem s z,,k ; k 3 [ ] p, 3.38 [ ] a, 3.39 [ ] a, 3.4

56 49 [ ] f f q υ υ υ υ υ. 3.4 Kad se ede ozaka κ κ /κ za edč eko omale, sosee edos ača se z ea de de k k a λδ κ λi K, 3.4 p čem m m m λ κ κ κ λ κ κ κ κ κ λ κ κ λi K, 3.43 gde s aže smeo koodah os κ κ ; κ κ. Odabe se omala κ κ. κ sme koodae os sme os e κ,. κ ; κ, ako da go zaz posae m m m λ λ λ λi K, 3.44 pa sosee edos λm moa zadoolaa e [ ] de m m λ λ λi K, 3.45 ko ma sledeća 3 ešea λ, 3.46 λ, 3.47 λ Le kaakeska bkaakeske doba se z ea κ λ m, 3.49 pa se šeem goh soseh edos λ m doba, 3.5,

57 5 Sose eko l m odeñ se ešaaem sglaog ssaa edadžb [ ] m k k m m a l l δ λ κ λi K, 3.53 [ ] 3 m m m m m m l l l λ λ λ Ušaaem sake od 3 sosee edos λ m m,3 doba se odgoaaća 3 sosea ekoa l,,, 3.55 l,,, 3.56 l3 3,,, 3.57 gde,, 3, ozačaa pozole kosae za koe se odabe edos 3. O eko oe ma L, 3.58 s deemaom del-, 3.59 ezom maom L, 3.6 Odgoaaće sosee aable odeñ se pema zaz p δ δ δ δ δ L U W, 3.6

58 5 glase p p δ δ δ δ δ δw. 3.6 Tasfomae Jaobee mae s [ ] ~ a a m L L, 3.63 a ~, 3.64 [ ] ~ a a m L L, 3.65 a ~ Tasfoma zosk člao glase [ ] [ ] 3 ~ q q q q q L, 3.67 [ ] 3 ~ q q q q q q Zaps modela pomoć kaakesčh aabl k k q w a w ~ ~, 3.69

59 5 aspsaom oblk glas - dž kaakeske C : ed q q p p p d dw, dž kaakeske C : ed q q p p p d dw, dž kaakeske 3 ed 3 3 q p d dw. 3.7 osleda edadžba deča e -kompoe edadžbe kolče gbaa. Zaps kaz-d modela kaakesčom oblk Kao šo e čeo pehodom poglal, a aže kaz-d model pelaz se ako da se popom D model zaemae s koek člao, člao dela ezoa domae člao aspoaog ezoa gadea bze, člao maseh sla. Na ka od se peposaka p, koom se pelaz a kaz-d model gb poeba za ešaaem - kompoee edadžbe kolče gbaa. Jedadžbe kaz-d modela kakog kose p. Vady Hwag [9] glase - edadžba koea, kompoea edadžbe kolče gbaa Od pog aksalo smečog modela kaakesčo fom zaemaaem odgoaaćh člaoa, zaps kaz-d modela kaakesčom oblk posae

60 53 - dž kaakeske C : ed d dw υ, dž kaakeske C : ed d dw υ Sl. 3. Maho kos kaakeske za kaz-d model 3. osoeć kaz-d model edlože kaz-d model meoda ešaaa hdalčkog daa ma slčos s da apoplaa posoeća kaz-d modela Vady Hwag [9] ezzga []. Za meod Vady Hwag česo se sče da e aoča apozdaa. Za meod ezzga e ečeo da e zao bža e zahea mae ačaa, al zaosae kako pogled očos, ako sablos obsos. edložea meoda ebala b ma edak očos pozdaos kao

61 meoda Vady Hwag, a kolč ačaa bz ebala b b podedaka s ezzgom meodom. Ne eško sao da pedložea meoda meoda ezzga zasa zahea podedak kolč ačaa. Za spoedb ezlaa koe da pedložea meoda meoda Vady Hwag ape će se obe meode emelo opsa, kako b se slčos azlke sagledale s aalčkog saoša. Nako oga će se sledećem poglal spoed ezla dobe pomoć obe meode Maemačk model Ode se pooo aode edadžbe kaz-d modela Vady Hwag [9] ezzga [] ad kase spoedbe s pedložem modelom. Nako oga dealo će se zlož meoda Vady Hwag. Jedadžbe modela Vady Hwag s - edadžba koea, kompoea edadžbe kolče gbaa Nmečko ešee oog ssaa [9] sod se sakom pesek sakom koak po os a ešaae 5-dagoalog ssaa N N edadžb, gde e N bo podela adalom sme. Za ešaae og ssaa poebo e eme ealog poesoa eda elče N 3. Algebaskom maplaom Zhao Ghdao [48] s a ssa sel a da 3- dagoala ssaa N N edadžb, čme se eme ealog poesoa selo a ed elče N. Iegać aede edadžb koea po pesek e, ezzga [] e go model seo a sledeće de edadžbe - edadžba koea U,

62 - -kompoea edadžbe kolče gbaa. 3.8 Na a ač edadžbama se zgbla adala bza, pa se gb poeba za em ačaem. Jedadžba koea e daa egalom oblk, pa sad samo edadžb kolče gbaa e -kompoe eba dskeza po pesek e. ezzga [] odeñe lak ešaaem edadžbe koea pomoć meode koačh dfeea MKD koseć ekspl shem. Nako oga odeñe pofle bze ešaaem edadžbe kolče gbaa, akoñe pomoć MKD, al p ome kos mpl shem. Na ka se kp pook ača egaom bze po poš peseka e. oač e bz e s edadžbe koea kolče gbaa azdoee pa se ešaa zasebo, a adala dskezaa edadžbe kolče gbaa dood do 3-dagoalog ssaa edadžb. Račae pooka mečkom egaom bze po pesek ek pa zoke zkale oslae poačaog laka. Vady Hwag [9] kosl s meod kaakeska MK za ešaae sog modela. Bdć da model sadž samo de edadžbe, kaakesče edadžbe mog se ofom a občae edosa ač. Ako se ed ozake δw δδ, δw δ δ za kaakesče aable w w, možeem edadžbe kolče gbaa s bzom zka em pbaaem edadžb koea doba se kaakesča edadžba koa ed dž kaakeske C : dw d. 3.8 Nem odzmaem od edadžbe koea doba se kaakesča edadžba koa ed dž kaakeske C : dw d Dskezaa Dobe model kaakesčom oblk dskeza se pelaskom a koače azlke sme kaakeska. Jedadžbe se može odgoaaćm emeskm koakom. Vedos epozah fka, oom emeskom ek ača se očk 55

63 Sl. 3.3, a ača se z hoh edos pehodom emeskom ek, al očkama koe leže a kaakeskama koe polaze koz očk a obe kaakeske. Te de očke s W Wes, a kaakes C E Eas, a kaakes C. Na oa ač doba se de dskezae edadžbe modela kaakesčom oblk. Sl. 3.3 Rešeka dskezae za pedlože meod meod Vady Hwag, z os Ode će se pkaza dskezaa modela Vady Hwag [9] apeñea modfkaom Zhao Ghdao [48]. Točka e oom emeskom koak, pa ea meža ozaka glas,,, gde ozačaa koak po -os, a koak po -os. U aksalom sme podče egae e e podeleo a edake koake. Obzom da se zaemao ea koeke pa e bza šea poemećaa pao edaka bz zka, emesk koak e odaba ako da se egzako zadoolaa ke Lewy-Coaa,., 3.83 pa se očka W poklapa s očkom meže,,, a očka E s očkom meže,,. Oaka epolaska shema e aoča, al se alaz a samo ga sablos. Zbog sablos e zao sge ba šo ećo me mpl shem dskezae deaa. elaskom a koače azlke, kaakesče edadžbe popma sledeć fom W W,