UVOD U KVANTNU MEHANIKU. Valna funkcija vrijednosti

Транскрипт

1 Gustoća vjerojatnosti p( x) wdx Princip neodređenosti UVOD U KVANTNU MEHANIKU Postulati kvantne mehanike Valna funkcija Operatori Mjerne vrijednosti Vremenska ovisnost

2 Princip neodređenosti p x x h 2

3 DIFRAKCIJA Princip neodređenosti pozitiv difrakcijski uzorak

4 Princip neodređenosti destruktivna interferencija u točki P zrake nisu paralelne (fotofilm blizu pukotine) fotofilm zrake pribiližno paralelne (fotofilm daleko od pukotine)

5 Princip neodređenosti a a sin 2 2

6 Princip neodređenosti komponente količine gibanja elektrona, p x i p y p difrakcijski difrakcijski uzorak uzorak elektroni fotofilm p y i ur p sin pukotina sin a y (85 % elektrona) py ur p a x

7 py 0 Princip neodređenosti p y - najmanja pogreška y komponente količine gibanja h ( p ) p p () i (odabir-elektroni koji pogađaju ekran u prvom ur h ur py p ur p h a ap y y minimumu) STVARNO: y 2 ( y( i) y ) Ni N a - pogreška u y komponenti položaja elektrona (y) pyy h ( pyy h ) 2 p y 2 y() i y i ( p p ) N N

8 Princip neodređenosti fotofilm 28 elektrona 1000 elektrona elektrona elektroni pukotina 1 pukotina 2 difrakcijski uzorak (shematski prikaz intenziteta)

9 (a) velika neodređenost količine gibanja (mala neodređenost položaja) Princip neodređenosti (a) (b) nemoguće (b) velika neodređenost položaja (mala neodređenost količine gibanja, odnosno valne duljine)

10 py E y h 2 t h 2 Princip neodređenosti Prirodna širina linija u apsorpcijskom spektru: kratko i dugo živuća stanja.

11 Princip neodređenosti POSLJEDICE: Deterministički opis mikroskopskih sustava (poznati položaj i količina gibanja čestice u svakom trenutku) valja napustiti. Kvantnomehanički opis mikroskopskih sustava temelji se na postulatima kvantne mehanike koji omogućavaju izračun očekivanih vrijednosti fizikalnih veličina (brzine, energije, količine gibanja čestica)

12 PRIMJERI Princip neodređenosti 1. Brzina metka mase 1,0 g poznata je unutar intervala 1, m/s. Izračunajte minimalnu nesigurnost u položaju metka na putanji leta. 2. Brzina protona iznosi 350 km/s. Nesigurnost količine gibanja procijenjena je na 0,01 %. Izračunajte minimalnu nesigurnost u položaju protona. 3. Elektron se nalazi unutar atoma promjera 100 pm. Procijenite minimalnu nesigurnost brzini elektrona ako je neodređenost položaja reda veličine radiusa atoma.

13 Valna funkcija i Schrödingerova jednadžba d 1 Hˆ q, t ih t qt,

14 Postulati kvantne mehanike Valna funkcija Operatori Očekivane vrijednosti Vremenska ovisnost ( qt, ) Jednoznačna Kontinuirana Konačna funkcija Integral konačan Konačna vrijednost prve derivacije

15 Valna funkcija Nije kontinuirana (i prva derivacija) (a i b) Nije jednoznačna (c) Nije konačna (d)

16 Bornova interpretacija valne funkcije Valna funkcija Funkcija Ψ nema fizikalno značenje područje visoke kinetičke energije područje niske kinetičke energije

17 NORMIRANOST VALNE FUNKCIJE Valna funkcija d 1 Valna Valna funkcija funkcija (Ψ) g gustoća vjerojatnosti (Ψ 2 ) Rubni uvjeti Rubni uvjeti vjerojatnost

18 PRIMJERI FUNKCIJA Valna funkcija 1. Kretanje čestice u jednoj dimenziji: sin x

19 PRIMJERI FUNKCIJA 2. Vibracija čestice: x n exp(-ax 2 ) Valna funkcija

20 Operatori Postulati kvantne mehanike Valna funkcija Operatori Mjerne vrijednosti Vremenska ovisnost ˆ Matematička uputa kako djelovati na valnu funkciju da bi se izračunala neka vrijednost fizikalne veličine -linearni -međusobno usklađeni

21 Linearni operatori Operatori Djelovanje operatora prikazujemo: ˆ 1 2 Za linearne operatore vrijedi: c 1 c ˆ1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Zakon komutacije FG ˆ, ˆ FG ˆ ˆ GF ˆ ˆ FG ˆ, ˆ 0 FG ˆ, ˆ 0 FG ˆ ˆ GF ˆ ˆ

22 Tablica 2.1 Osnovni kvantnomehanički operatori u koordinatnoj reprezentaciji. Veličina Kvantnomehanički Naziv Simbol operator koordinata x x ˆ x Operatori količina gibanja, impuls p x ˆ p x ih x Tablica 2.2 Neki izvedeni kvantnomehanički operatori. Veličina Kvantnomehanički Naziv Simbol operator potencijalna energija (1-D) kinetička energija (3-D) ukupna energija za česticu u 3-D prostoru* komponente kutne količine gibanja, impulsnog momenta V T E L x L y L z T ˆ h2 2m ˆ V (x) V (x) x y z 2 H ˆ h2 2m 2 V(x,y,z) L ˆ x ih r y z r z y L ˆ y ih r z x r x z L ˆ z ih r x y r y x Operator ukupne energije: Hamiltonov operator ili hamiltonijan

23 Postulati kvantne mehanike Valna funkcija Operatori Mjerne vrijednosti Vremenska ovisnost sustav opisan funkcijom - očekivana kvantnomehanička vrijednost veličine ˆ - operator veličine ˆ d d ˆ d ˆ i i i n-struko DEGENERIRANO STANJE - n funkcija pripada istoj svojstvenoj vrijednosti

24 Postulati kvantne mehanike Valna funkcija Operatori Mjerne vrijednosti Vremenska ovisnost qt, q t d ( t) dt E i () t h Ĥ q E q Hˆ q, t ih Vremenski nezavisna Schrödingerova jednadžba t qt,

25 Teoremi kvantne mehanike Ortogonalne funkcije: valne funkcije koje pripadaju različitim svojstvenim vrijednostima operatora jedne dinamičke veličine. 1 2 d 2 1 d 0 Operatori koji komutiraju: moguće je naći valne funkcije koje su istovremeno svojstvene funkcije oba operatora (npr. p i E) Aˆ, Bˆ ˆ ˆ ˆˆ AB BA AB ˆ, ˆ 0

26 Schrödingerova jednadžba ĤΨ E 1. Napisati klasičan hamiltonijan 2. Pretvoriti klasični hamiltonijan u kvantnomehanički operator 3. Postaviti Schrödingerovu jednadžbu 4. Riješiti Schrödingerovu jednadžbu i. Rješenja Schrödingerove jednadžbe: beskonačan broj funkcija ii. Nisu sve funkcije dobre valne funkcije (uvjeti!) iii. Sve rješenja nemaju fizikalno značenje. iv. Rješenja moraju zadovoljavati rubne (granične) uvjete.

27 Pitanja za ponavljanje (uvod u kvantnu mehaniku) 1. Kako glasi načelo neodređenosti? 3. Što je valna funkcija? 4. Kakva svojstva mora imati funkcija stanja? 5. Bornova interpretacija valne funkcije. 6. Što su rubni uvjeti? 7. Zašto valna funkcija mora biti normirana? 8. Što su rješenja Schrödingerove jednandžbe? 9. Što su svojstvene funkcije u Schrödingerovoj jednadžbi? 10. Što su svojstvene vrijednosti u Schrödingerovoj jednandžbi? 11. Što je Hamiltonijan?