GLAVA IV ELEMENTI TEORIJE VEROVATNOĆE. 1. Osnovni pojmovi i definicije

Транскрипт

1 GLAVA IV ELEMENTI TEORIJE VEROVATNOĆE Osovi pojovi i defiiije Osovi odel u teoriji verovtoć je opit kod kog ostvrivje odreďeih uslov e dovodi do jedozčog rezultt Skup svih logički ogućih ishod ekog opit ozčvo s, jegove eleete tj pojediče ishode ili kko se još zovu eleetri dogďji s DogĎj A se defiiše ko podskup A skup i o se relizuje ko i so ko se ostvri eki ishod koji pripd podskupu A DogĎje ozčvo veliki slovi A, B, C, s ili ez ideks Ceo skup je dogďj koji se relizuje uvek i zto g zoveo sigur ili izvest dogďj rz podskup je eoguć dogďj Zir (uij) dv dogďj A i B, je dogďj A+B (ili AB) koji se relizuje ko se relizuje r jed od dogdj A i B roizvod (presek) dv dogďj A i B, je dogďj AB (ili AB) koji se relizuje ko se relizuje i A i B Ako je AB= tj ko se dogďji A i B e ogu istovreeo relizovti reći ćeo d su dogďji A i B disjukti ili d se eďusoo isključuju Operij "-" doijj kopleetrog podskup u je operij doijj suprotog dogďj: A je suprot dogdj dogďju A ko i so ko se o relizuje kd se A e relizuje Čijeiu d relizij dogďj A povlči reliziju dogďj B zpisujeo AB i čito A ipliir B Kls F dogďj koji se postrju kod jedog opit s slučji ishodi čii -polje (- lgeru) ko: F, A F A F, A F,,, A F Defiiij verovtoće Verovtoć () je ueričk fukij defiis d -polje dogďj F, koj i sledeće osoie: eegtivost: z svko F orirost: A vži A 0 7

2 8 Eleeti teorije verovtoće -ditivost: ko su A F,,, uzjo disjukti dogďji tj A i A j z i j td A A Klsič defiiij verovtoće Nek j roj ishod ekog opit koč i ek su svi ishodi jedkoverovti, tj,, i i, i,, Td se verovtoć ekog dogďj A i A defiiše ko A roj u ili kko se često kže: verovtoć dogďj A je odos roj povoljih ishod (tj ishod koji pripdju A) pre roju svih ishod rieri: Bju se istovreeo ovčić i hooge ueris kok pri čeu se registruje pojv lik i gr ovčiću i roj gorjoj stri koke Opisti skup ishod Rešeje: Skup ishod je: G, G, G, G, G5, G6, L, L, L, L, L5, L6 Strel gď u ilj put, pri čeu se registruju pogoti i prošji Opisti skup ishod i dogďj: A - d je gďje zpočeto prošje, B - d je rezultt svih gďj isti, C - d je ilj pogoďe dv put, D - d je ilj pogoďe r dv put Rešeje: Ozčio pogodk s, prošj s 0 Skup svih ishod je: 0000,000, 000, 000, 000,00,00,00, 00, 00, 00,0, 0,0, 0, A 0000, 000, 000, 000, 00, 00, 00, 0, B 0000,, C 00,00,00, 00, 00, 00, D 00,00,00, Odrediti suprote dogďje dogďji: A - pojv dv gr pri ju dv dir, 00, 00, 00,0,0,0,0,

3 Dr Ved Kilird B - pojv ele kuglie priliko izvlčej jede kuglie iz kutije u kojoj se lze ele, re, rvee kuglie, C - tri pogotk u tri gďj, D - kr jed pogodk u pet gďj, E - e više od dv pogotk u pet gďj Rešeje: A - pojv r jedog pis pri ju dv dir, B - pojv re ili rvee kuglie, C - kr jed prošj, D - svih pet prošj, E - više od dv pogotk Tri igrč A, B i C igrju turir sledeći či: rvu prtiju igrju A i B, C je slood Drugu prtiju igr C s poediko prve prtije i tko dlje sve dok jed od igrč e postige dve poede z redo Registruju se rezultti prtij Opisti skup ishod i dogďje: D - d je u trećoj prtiji poedio C, E - d je turir zvrše s je od 5 prtij, F - d je igr pr roj prtij Rešeje: Ozčio s A i poedu igrč A u i-toj prtiji, s B i poedu igrč B u i-toj prtiji i C poedu igrč C u i-toj prtiji Od j skup ishod i A A, B B, AC C, BC C, AC BB, BC A A, tržei dogďji su: D AC C, B C C, E A A, B B, AC C, B C C, AC B B, B C A A, F A A B B, AC B B, B C A,, A 5 Met se gď s tri etk Uočio dogďje A i - pogodk pri i-to gďju i,, ooću zir i proizvod dogďj A i i A i predstviti sledeće dogďje: A - sv tri pogotk, B - sv tri prošj, C - r jed pogodk, D - kr jed prošj, E - e je od dv pogotk, F - e više od jedog pogotk 9

4 0 Rešeje: Eleeti teorije verovtoće A A A A, B A A A, C A A A, D A A A, E A A A A A A A A A A A A, F A A A A A A A A A A A A 6 Novčić se do prve pojve gr, li jviše dv put i registruje se iz od grov i likov Opisti sve oguće dogďje veze z ovj opit Rešeje: Skup svih ishod je G, LG, LL opit je F,, skup svih dogďj vezih z ovj G, LG, LL, G, LG, G, LL, LG, LL, G, LG, LL 7 Ako je F polje dogďj iz i A, B F, dokzti d A B, A \ B i B \ A F Dokz: Iz A, B F sledi d A, B F, od A B F, odkle A B F tj A B F odoso A B F Kko je A\ B A B, B \ A B A, od A \ B, B \ A F 8 Nek se eksperiet sstoji u ju dv dir Nći verovtoću pojve dv gr Rešeje: Skup svih ishod je GG,, G, G, dogďj čiju verovtoću tržio je A GG Od osovu klsiče defiiije vrovtoće A 9 Jed kugli je izvuče iz kutije koj sdrži 6 rveih, ele i 5 plvih kugli Odrediti verovtoću d je izvuče kugli: ) rve, ) el, ) plv, d) ije rve, e) rve ili el Rešeje: N osovu klsiče defiiije verovtoće io: ) 6 p, ) 5 p, ) 5 5 p, d) p, e) p

5 Dr Ved Kilird 0 Kok se jedo Nći verovtoću sledećih dogďj: A - pr roj, B - pojvio se roj e ji od 5, C - pojvio se roj e veći od 5 Rešeje: Skup svih ishod je,,,, 5, 6, tržei dogďji su A,, 6 A={,, 6}, B 5, 6, C,,,, 5 Od, osovu klsiče defiiije verovtoće, A, B C 6 Kok se dv put Nći verovtoću dogďj A - d se o put pojvi isti roj Rešeje: DogĎj A,,,, 55, 66, skup,,,6,,,66 6 trže verovtoć A 6 6 Bju se istovreeo dve koke Nći verovtoću dogďj: A- su rojev je 8, B- su rojev je već od proizvod; C- proizvod rojev je 8 Rešeje: Tržei dogďji su: A, 6, 6,,, 5, 5,,,, B,,,,,,,,, 5,, 6,,,,,,, 5,, 6, C,,,, skup ishod,,,,, 6, 6, p je, p su tržee 5 verovtoće A, B, C Io dve kutije: u prvoj elih i rih kugli, u drugoj elih i d rih kugli Iz svke kutije uzio po jedu kugliu Nći verovtoću d oe kuglie udu ele Rešeje: Svk kugli iz prve kutije se ože koiovti s svko kuglio iz druge kutije, p je ukup roj ishod d Broj povoljih ishod je, odkle je verovtoć tržeog dogďj p d

6 Eleeti teorije verovtoće Uz uslove prethodog zdtk ći verovtoću d izvučee kuglie udu rzličitih oj Rešeje: Ko i u prethodo prieru d d p d, d, odkle je 5 Od pet slov sstvlje je reč "kjig" Dete e zjući d čit izešlo je slov i poovo ih sstvilo u proizvoljo poretku Kolik je verovtoć d je opet doilo reč "kjig" Rešeje: p 5! 0 6 U jedoj zgrdi stuje pet porodi s po jedi deteto, tri porodie s po troje dee i dve s po petoro dee N slučj či se irju tri porodie Odrediti verovtoću d: ) kr dve porodie iju isti roj dee, ) sve tri porodie iju ukupo sedoro dee Rešeje: ) Izrčujo prvo verovtoću dogďj A - d ikoje dve od tri slučjo izre porodie eju isti roj dee, od, trže verovtoć je p A Kko je A 5, to je 0 5 p 0 0 ) Ukup roj ishod je ko i prethodo slučju ovolji ishodi su kd se izeru dve porodie s po jedi deteto i jed porodi s 5 petoro dee, ukupo ili kd se izere jed porodi s jedi 5 deteto i dve s tri detet, ukupo Odkle je p 0

7 Dr Ved Kilird 7 Špil od 5 krte deli se slučj či dv jedk del po 6 krt Nći verovtoću d: ) u svko delu udu po dv s, ) u jedo delu e ude i jed s, u drugo sv četiri, ) u jedo delu ude jed s, u drugo tri Rešeje: ) 8 p, ) p, ) p 5 6 Uslov verovtoć roizvod i zir verovtoć S A B oeležvo uslovu verovtoću dogďj A pod uslovo d se desio dogďj B DogĎji A i B su ezvisi, ko relizij jedog od jih e ej A B A ; verovtoću relizije drugog Z ezvise dogďje vži: B A B Z proizvolj dv dogďj A i B AB A B A B A B Ako io dogďj A A A A A, A,, A, od A A A A A A A A DogĎji A,, su ezvisi (u ukuposti) ko z svki koč iz ideks A k k Ak Ak Ak A k Ak A k k Z dogďje A i B vži A B A B AB U slučju, d su dogďji A i B disjukti A B A B Su verovtoć dv suprot dogďj je jedk : A A Verovtoć sue ekoliko disjuktih dogďj jedk je sui jihovih verovtoć: i A i i i A

8 Eleeti teorije verovtoće rieri: Ako su A i B ezvisi dogďji, dokzti d su: ) A i B ; ) A i B ; ) A i B ezvisi Dokz: Kko je A AB AB, vži A AB AB tj AB A AB AB A AB A B AB, pošto su A i B ezvisi io d je, što je i trelo dokzti Dokz pod ) i ) sličo ) Ako je A B ogu li A i B iti ezvisi? ) Dokzti d je dogďj A z koji je A 0 ili A kog drugog dogďj Rešeje: ) Kko je A B, to je A ko je B ili A 0 ezvis od ilo AB, p je AB A A B ) : Nek je A 0 ošto AB A z svko B, iće AB A 0 tj AB 0, od AB AB ) : Ako je A tie i, od je A 0 A A i B pre zdtku,, p su A i B ezvisi osovu, Ako dogďj AB ipliir dogďj C, dokzti d je A B C Dokz: Iz AB C, zključujeo d AB C, iz A B sledi: A B Dlje, A B A B AB A B AB C A B C, tj Nek je A B 0, 8, B A 0, 6 Rešeje: Iz AB A B A, p je, što je trelo i dokzti B A B A B A B 0,0,8 8 B A 0,6 5 i B 0, Nći A, io i A B

9 Dr Ved Kilird dlje, A AB B AB AB AB AB 8 A AB B A B tj 0, 0,8 0, 6 A B Dkle A B, odkle je 5 Od svih učeik koji su polgli poprvi ispit iz tetike i strog jezik u jedoj školi, 0% ije položilo tetiku, % stri jzik, % i jedo i drugo Ako slučjo odereo jedog učeik d li su dogďji: A - ije položio tetiku i B - ije položio stri jezik ezvisi? Kkvi su A i B po zvisosti? Rešeje: ošto je A 0, i B 0,, to AB 0, 0 A B 0, 0, 0, 0 p su dogďji A i B zvisi, od su A i B zvisi (videti zdtk ) 6 Iz špil od krte slučjo je izvuče krt Nći verovtoću d je izvuče krt her ko je pozto d ije tref Rešeje: Nek je: A - dogďj izvuče krt je her, B - dogďj izvuče krt ije tref Kko je A B, to je AB A Dlje, AB A A B B B 7 U jedoj kutiji se lzi 8 elih i 0 rih kugli Dv put uzstope se izvlči po jed kugli Nći verovtoću d su oe izvučee kuglie ele, ko se izvuče kugli: ) e vrć u kutiju, ) vrć u kutiju Rešeje: Nek je: A - dogďj d je prv izvuče kugli el, B - dogďj d je drug izvuče kugli el 5

10 6 U prvo slučju AB A Eleeti teorije verovtoće B A 8 7 8, u drugo AB A B Studet je izšo ispit zjući 0 od ogućih 5 pitj Ispitivč je do studetu tri pitj Nći verovtoću d će studet zti sv tri pitj Rešeje: Ozčio s A, B, C redo dogďje d studet z prvo pitje, drugo pitje i treće pitje Koristeći poj uslove vrovtoće, io U jedu istu etu vrše se tri gďj Verovtoć d će ilj iti pogoďe pri prvo, drugo i treće gďju su respektivo p 0,, p 0, 5 i p 0, 7 Odrediti verovtoću d će u tri gďj iti so jed pogodk, Rešeje: Ozčio s A dogďj d je et pogoďe jedput Tj dogďj se ože relizovti ekoliko či: pogodk ostvre prvi put, pri drugo i treće gďju se proši; ili pogodk u drugo, prošj u prvo i treće gďju, ili pogodk u treće, prošj u prvo i drugo gďju Od je ABC A B A C AB A A A A, A A A A A A gde su A, A, A pogoti pri prvo, drugo i treće gďju Sd io A A A A A A A A A A 0, 0,5 0, 0,6 0,5 0, 0,6 0,5 0,7 0,6 0 U kutiji se lzi elih i rih kugli Dv igrč izeičo izvlče po jedu kugliu iz kutije, vrćjući svki put u kutiju izvučeu kugliu Igr se produžv dok jed od igrč izvuče elu kugliu Odrediti verovtoću d elu kugliu izvuče igrč koji je počeo igru Rešeje: Ozčio s A dogďj d elu kugliu izvuče igrč koji je počeo igru N osovu defiiije klsiče verovtoće, verovtoć d igrč izvuče elu kugliu je p, verovtoć d igrč izvuče ru kugliu je q Dlje, io A p q p q p p q q p p p q q q p q

11 Ako su i i Dr Ved Kilird 5 Forul potpue verovtoće Bjesov forul,,, uzjo disjukti dogďji, i 0, od je A i A i i, A F, i,, i ko je Bjesov forul (forul verovtoć hipotez) od uslovi prethode teoree vži i A i i A i i A i,,, i rieri: U kupi je pet pušk od kojih dve iju sjper Verovtoć d strel pogodi ilj iz puške s sjpero je 0,95, iz puške ez sjper j 0,7 Nći verovtoću d je ilj pogoďe, ko je strel slučjo iro pušku Rešeje: Rzotrio hipoteze: - puo je iz puške s sjpero; - puo je iz puške ez sjper, i dogďj A - ilj je pogoďe Verovtoće hipotez su: 5 i 5 Uslove verovtoće dogďj A pri ti hipotez su: A 0, 95 i A 0, 7 riejujući forulu totle verovtoće doijo A A A 0,95 0,7 0, N tri strug orďuju se isti šiski eleeti i to prvo 50%, drugo 0% i treće 0% od svih eleet ri to prvi strug dje 90%, drugi 95%, treći 85% stdrdih eleet ) Nći verovtoću d je slučjo izri eleet stdrd ) Ako je izri eleet stdrd, kolik je verovtoć d je orďe drugo strugu? Rešeje: ipoteze su: - slučjo odri eleet je orďe prvo strugu; - slučjo odri eleet je orďe drugo strugu; 7

12 8 Eleeti teorije verovtoće - slučjo odri eleei je orďe treće strugu, i dogďj A - slučjo odri eleet je stdrd Verovtoće hipotez su: 0, 5 ; 0, ; 0, Uslove verovtoće dogďj A pri ovi hipotez su: A 0, 9 ; A 0, 95; A 0, 85 ) riejujući forulu totle verovtoće doijo A 0,5 0,9 0, 0,950,0,85 0, 905 ) N osovu Bjesove forule io A 0, 0,95 A A 0,905 0,5 N vio se ispljuju tri pojedič hi Verovtoć d vio ude pogoďe prvi hie je 0,; drugi 0,5; treći 0,7 D i vio io izče iz stroj potre su tri pogotk; u slučju jedog pogotk vio će iti izče iz stroj s verovtoćo 0,, u slučju dv pogotk 0,6 Kolik je verovtoć d će ko ishod tog gďj vio iti izče iz stroj? Rešeje: DogĎj A - vio je izče iz stroj, hipoteze su: 0 - vio ije pogodio ijed hit; - vio je pogodio jed hit; - vio su pogodil dv hi; - vio su pogodil tri hi Verovtoć tih hipotez su: 0 0,6 0,5 0, 0, 09 0, 0,5 0, 0,6 0,5 0, 0,6 0,5 0,7 0, 6 0,6 0,5 0,7 0, 0,5 0,7 0, 0,5 0, 0, 0, 0,5 0,7 0, Uslove verovtoće dogďj A pri ti hipotez su: A 0 0 ; A 0, ; A 0, 6 ; A N osovu forule totle verovtoće doijo A 0,0900,60, 0,0,6 0, 0, 58 Dv strel ezviso jed od drugog gďju jedu etu ispljujući po jed etk Verovtoć d će prvi strel pogoditi etu je 0,8, drugi 0, Nko

13 Dr Ved Kilird izvedeog gďj kosttov je jed pogodk u etu Nći verovtoću d je pogodio prvi strel Rešeje: ipoteze su: - i jed strel ije pogodio; - prvi strel je pogodio, drugi prošio; - prvi strel je prošio, drugi pogodio; - o strel su pogodil, i dogďj A - jed pogodk u eti Verovtoće hipotez su: 0, 0,6 0, 0,8 0,6 0, 8 0, 0, 0, 08 0,8 0, 0, Uslove verovtoće dogďj A pri ti pretpostvk su: A 0 ; A ; A ; A 0 N osovu forule z totlu verovtoću doij se A 0,00,80,080,0 0, 56 riejujući Bjesovu forulu doijo d je trže verovtoć A 0,8 6 A A 0, U kutiji su tri ovčić od kojih su dv isprv, treći je iskov tko d oe stre i piso Slučjo se uzi jed ovčić i put Nći verovtoću d je uzet isprv ovčić, ko je u sv četiri j plo piso Rešeje: Rztro hipotze: - uzet je isprv ovčić; - uzet je eisprv ovčić, i dogďj A - četiri put je plo piso Verovtoće hipotez su: i Uslove verovtoće dogďj pri ti hipotez su: A i A 9

14 0 Eleeti teorije verovtoće Verovtoć dogďj A je A, 8 trže verovtoć osovu Bjesove forule je A A A U kutiji se lze tri kuglie, od kojih svk ože iti el ili r Sve pretpostvke o oji kugli su jedkoverovte Iz kutije se put, s vrćje ir kugli Koji je jverovtiji sstv kutije, ko je jedo izvuče r i tri put el kugli Rešeje: DogĎj A - izvuče je jed r i tri ele kuglie ipoteze su: 0 - u kutiji e elih kugli; - u kutiji je jed el kugli; - u kutiji su dve ele kuglie; - u kutiji su tri ele kuglie Verovtoće hipotez su jedke i izose 0 Uslove verovtoće dogďj A pri ti pretpostvk su: A 0 0 ; 8 A ; 8 A ; 8 A 0 N osovu forule totle verovtoće doijo 8 0 A N osovu Bjesove forule io 0 A A 0 ; A ; A 5 5 Zči, jverovtiji sstv kutije su ele i r kugli

15 Dr Ved Kilird 7 U korpi se lzi 8 teiskih lopti, od kojih su ove Z prvu prtiju se slučj či irju tri lopte koje se posle igre vrćju u korpu, p se z drugu prtiju poovo slučj či irju tri lopte Kolik je verovtoć d se drug prtij igr so ovi lopt? Rešeje: DogĎj A - d se drug prtij igr ovi lopt ipoteze i - d je z prvu igru izro i-ovih lopti (i=0,,,) Verovtoće hipotez su: 0, Uslove verovtoće dogďj A pri ti pretpostvk su: 8 A, A ; A A N osovu forule totle verovtoće doijo 5 A U jedo skupu studet i odličih, prosečih i slih studet Odlič studet predstojeće ispitu ože doiti so odliču oeu, proseč s jedki verovtoć doij odliču ili doru oeu, sl s jedki verovtoć doij doru, zdovoljvjuću ili slu oeu ) N ispitu se slučj či proziv jed studet iz skup Nći verovtoću d doije doru ili odliču oeu ) N ispitu se slučj či prozivju dv studet Nći verovtoću d jed doije doru, jed zdovoljvjuću oeu Rešeje: ) Rztro hipoteze: - izr je odlič studet; - izr je proseč studet; - izr je sl studet, i dogďj A - d izri studet doije doru ili odliču oeu ; ;

16 Eleeti teorije verovtoće Trže verovtoć je od A ) DogĎj A d jed studet doije doru, drugi zdovoljvjuću oeu ipoteze su: - izr su dv sl studet; - izr jed sl i jed proseč studet; - izr ili dv odlič, ili dv proseč, ili odlič i proseč, ili odlič i sl studet Verovtoće hipotez su: Uslove verovtoće dogďj A pri ti pretpostvk su: 9 A A 0 A Trže verovtoć je A 9 U jedoj kutiji lze se tri ele i dve re kuglie, u drugoj tri re i dve ele kuglie Iz prve kutije slučjo odiro kugliu i preio je u drugu kutiju, zti iz druge kutije slučjo izvlčio kugliu ) Nći verovtoću d se iz druge kutije izvuče el kugli (dog A) ) Ako je izvuče kugli iz druge kutije r, kolik je verovtoć d je preče el kugli?

17 Rešeje: ipoteze su: Dr Ved Kilird - iz prve kutije je preče el kugli; - iz prve kutije je preče r kugli ) 5 ; 5 Trže verovtoć je: A 6 ; A 6 A ) N osovu Bjesove forule io C C A A C A Od edulj studet z odgovor, e z edulj Kolik je verovtoć d studet izvuče edulju koju z, ko izvlči: ) prvi; ) drugi; ) treći Rešeje: DogĎj A - d studet izvuče edulju koju z ) N osovu defiiije klsiče verovtoće A ) Rzotrio hipoteze: - d je jegov prethodik izvuko edulju koju studet z; - d je jegov prethodik izvuko edulju koju studet e z ; ; A ; A Td je trže verovtoć A ) ipoteze su: - izvučee su dve edulje koje studet z; - izvuče je jed edulj koju z i jed koju e z;

18 Eleeti teorije verovtoće - oe edulje koje su već izvučee studet e z A A A N osovu forule totle verovtoće doijo d je A A A A Dkle, "sreć" ispitu e zvisi od redosled izvlčej edulj