VII vežba. Teoreme mehanike

Величина: px
Почињати приказ од странице:

Download "VII vežba. Teoreme mehanike"

Транскрипт

1 VII vežb St od 4 Teoeme mehnike - Teoeme mehnike- teoem o omeni mehničke enegije em o omeni moment imus (koičine) ketnj - Pinudno ketnje mteijne (dinmičke) tčke - Ketnj mteijne (dinmičke) tčke u oju centne sie - ine-ov obzc Zdtk Kojom očetnom bzinom teb ustiti tešku mteijnu tčku mse m iz vh hve stme vni koeficijent tenj kiznj µ = visine h = [ m] ngibnog ug α=6 d bi stig u tčku C ideno gtkog kužnog uk sedišnjeg ug 3 α ouečnik = h od etostvkom d se keće u vetiknoj vni? h α α ϕ C h F F wtwn α ešenje: Sik Mtijn tčk im jedn steen sobode ketnj je se inudno keće o iniji koj je jednostno ydžvjuć vez Z geneusnu koodintu izbćemo koodintu duž stme vni u vcu utnje meeno od očetnog oožj N mteijnu tčku dejstvuje ktivn si težine u vetiknom vcu si inecije suotno usmeen u vetiknom vcu nniže i dve sie oto jednostne neidene veze hve vni Jedn je nomn komonent F wn i dug je oto tenj kiznj F wt Pvo ćemo oučiti ketnje mteijne tčke o vom deu ut o hvoj stmoj vni od do ztim o dugom deu ut o kužnom uku od do C Iz inci dinmičke vnoteže z mteijnu (dinmičku) tčku koj se keće u vetiknoj cvni i o hvoj stmoj vni dobijmo dve skne jednčine: m && = sinα F wt = cosα + Fwn Iz ve jednčine sedi difeencijn jednčin ketnj mteijne tčke o hvoj jednostnozdžvjućoj vezi: & = g sinα µ g cosα odnosno d& & = g sinα µ g cosα d koj omogućv zdvjnje omenjivih i ose integjenj dobijmo sedeću jednčinu: ( &) = gsinα µ g cosα + C Integcion konstnt C se odeđuje iz očetnih usov: Pedmetni nstvnik: of d Ktic (Stevnović) Hedih

2 St od 4 t = ; & = v; = je C = v Sd immo: ( &) = g( sinα µ cosα ) + v Iz usov d u ožju tčk im bzinu & = v ; i eđe ut = L; dobijmo: v = gl( sinα µ cosα ) + v Kko z ketnje mteijne tčke o stmoj vni iz oožj u oožj d si koje dejstvuju n mteijnu tčku duž ut mteijne tčke to se ovj ethodni izz z bzinu v mteijne tčke i osku koz oožj može dobiti n osnovu teoeme o omeni kinetičke enegije mteijne tčke i ovko: C E k Ek = gde je d ktivnih si i si oto veze n utu izmđu oožj i α odnosno: m( v v ) = Lsinα µ Lcosα F wn odke je: ϕ v = v gl( sin α µ cosα ) Ztim mteijn tčk s stme vni ezi n oukućnu utnju Imjući u vidu d mteijn tčk i n ovom deu ut im jedn steen sobode ketnj I u d je utnj uk kužnice njšogodnije je ovde n ovom deu z geneisnu koodintu ketnj mteijne tčke izbti oni system koodint s koodintnim očetkom u cenu kivine tog uk utnje s tim d z geneisnu koodintu bimo ugo ϕ ikzn n sici Jednčin jednostne veze inud ketnj o iniji jednčine N mteijnu tčku kd se keće o ovom deu utnje o gtkoj kužnici su: ktivn si težine u vetiknom vcu si inecije koj im dve komonente dv v I FT = mt = m i I FN = mn = m i oto veze nomnu siu F wn dt Jednčine dinmičke vnoteže mteijne tčke o uku u sknom obiku I u iodnom sistemu koodint su: dv m = F T dt v m = F N Kko je bzin mteijne tčke v = ϕ& ktivnu siu težine možemo zožiti u dve komonente u vcu nome n utnju i ngencijno n istu tko d ethodni system ostje: m && ϕ = sin( ϕ α) m & ϕ = Fwn cos( ϕ α) Pv jednčin ethodnog sistem edstvj difeencijnu jednčinu ketnj o geneisnoj koodinti dug jednčinu iz koje se odedjuje oto veze Iz ve jednčine ose zdvjnj omenjivih sedi: d & ϕ m & ϕ = sin( ϕ α) dϕ ose integjenj: g ϕ& = cos( ϕ α) + C integcionu konstntu C odeđujemo iz očetnih usov koji su zdti ugonom koodintom I ugonom bzinom u očetnom tenutku ketnj ugon bzin u očetku ketnj o ovom deu utnje se uzim iz usov d je mteijn tčk n tj deo utnje uč eko (ii koz) tčku u kojoj stm ven ezi u Pedmetni nstvnik: of d Ktic (Stevnović) Hedih

3 St 3 od 4 kužni uk je bzin v koju smo odedii ko bzinu mteijne tčke n stmoj vni u oožju sd očetn bzin z ketnje o kužnom uku te su sd očetni usovi: v t = ; & ϕ = ; ϕ = je: V g C = cosα tko d je: g v g & ϕ = cos( ϕ α) + cosα Sd iz duge jednčine dinmičke vnoteže u vcu nome n utnju kužni uk odeđujemo nomnu komonentu sie oto veze F wn : v Fwn = Fn = cos( ϕ α) + m cosα + cos( ϕ α)??????====???? odnosno: v Fn = 3 cos( ϕ α) + m cosα C Usov d dinmičk tčk stigne do oožj C mtemtički se može nisti ko: α F wn ; ošto je ϕ = 8 = 3α ; ond se dobij bzin u tčki F wn v = g??????====???? ϕ Sd je tžen očetn bzin mteijne tčke: v = g gl( sin α µ cosα ) Do ovog ezutt možemo doći i diektno eko teoeme o omeni kinetičke enegije Kko z ketnje mteijne tčke i o stmoj vni iz oožj u oožj vži teoem o omeni kinetičke enegije ko i z ketnje o kužnom uku od oožj do oožj C to se ovj ethodni izz z bzinu v mteijne tčke i osku koz oožj do C može dobiti n osnovu teoeme o omeni kinetičke enegije mteijne tčke i ovko: E E = k k E kc Ek = C gde su i C d ktivnih si i si oto veze n utu izmđu oožj i C koz odnosno: Sbeimo ove dve ethodne jednčine dobijmo: E kc Ek = + C d si n deu ut o stmoj vni već smo odedii te ostje d odedimmo d si n deu ut o kužmom uku Kko je kužni uk iden vez I im smo nomnu komonentu to je on u svkoj tčki kužng uk uvn n ut te je d te sie jednk nui n dez od oožj do C ktivn si težine vši d odiznj mteijne tčke s visine koj odhov tčki do visine u tčki C kko je si suotno smen od sme ketnj o utu tj d je negtivn je: C = [ cosα + cos( π α )] = [ cosα cos α ] = [ cosα + cos α ] I sedi: m ( v v ) = Lsinα µ Lcosα cosα + cos( π α ) C [ ] Pedmetni nstvnik: of d Ktic (Stevnović) Hedih

4 v [ L( sinα µ cosα ) [ cosα + cos α ] = vc g??????====???? St 4 od 4 Nomen: Z domći zdtk oveiti ešenj iz ovog zdtk i ovetii ojedine izze i okzti d ub istu u ešvnju zdtk teb d dju iste ezuktte bzoži nedostjuć obzoženj! Pv dv student koj donesu dodjen ovj zdtk i isvjen biće odobodjeni vog isitnog kookvijum! Zdtk Pod dejstvom centne sie F mteijn tčk mse m se keće o eminskti čij je jednčin u onom sistemu koodint i ϕ : = cos( ϕ ) gde je -konstnt - stojnje oketne mteijne tčke od cent sie U očetnom tenutku t = mteijn tčk je bi udjen z = cent sie dobi je bzinu jednku v tko d vekto bzine zk s vom što sj tčku s centom sie ugo α dediti ktivnu siu F koj dejstvom mteijnu tčku inušuje d se keće o emniskti od etostvkom d zvisi smo od stojnj ešenje: Mteijn tčk je sobodn i njen oožj u invijntnoj vni u kojoj se keće od dejstvom centne sie koj zvisi smo od stojnj te mteijn tčk im dv steen sobode ketnj i njen oožj u svkom tenutku ketnj je odedjen dvem onim koodintm = () t i ϕ = ϕ( t) oznte utnje = cos( ϕ ) N mteijnu tčku dejstvuje smo ktivn si i to centn si F = F( ) D bi odedii tj zkon omene sie od dijus koistićemo inet-ovu difeencijnu jednčinu ketnj koji je je edstvjen eko u = on gsi: F () = mc u ( u + u) Kko immo jednčinu utnje mteijne tčke u onom sistemu koodinmt to difeencinjem nije teško doći do izz z zkon omene ktivne centne sie od dijus Koisteći smenu: u = = = cos cos( ϕ ) odke su: i u 3 = sin ( ϕ ) cos ( ϕ ) ( ϕ ) [ ] ( ϕ ) + 3sin ( ϕ ) cos ( ϕ ) u = cos Pošto vži integ ovšine sedi d je: C = v C = v sinα je je koodint ϕ cikičk koodint Iz ine-ove difeencijne jednčine F () = mc u ( u + u) ose unošenj dobijnih izvod immo d je: () ( ) ( ) F = m v sinα cos ϕ cos ( ϕ ) + 3sin ( ϕ ) cos ( ϕ ) što ose seđivnj dje: 3 F () = m( v sinα ) cos ( ϕ )( 3 + 3sin ( ϕ ) cos ( ϕ )) 3 odnosno: ( ) + cos ( ϕ) Pedmetni nstvnik: of d Ktic (Stevnović) Hedih

5 F () = 3m( v sinα ) cos ( ϕ ) 3 = cos ϕ dobijmo: odnosno kko je ( ) 3m () ( v sin α ) 7 St od 4 F = 7 N osnovu osednjeg izz zkjučujemo d je centn si ivčn i obnuto oocionn sedmom steenu stojnj tčke od cent sie ivčenj mteijne tčke i njenom ketnju o emniskti Zdtk 3 njvišu tčku neoketnog sten ouečnik koji je u vetiknoj vni obešen je omoču ouge kutosti c = teet M mse m dediti itisk i bzinu teet u njnižoj tčki 7 sten U očetnom oožju teet M oznto je stojnje M = i čemu je oug izdužen njen dužin je dv ut već od dužine u nenegnutom stnju dok je očetn bzin teet jednk nui ešenje: Mteijn tčk se keće o obuču inudnio te nije sobodn več n nju dejstvuju dve veze jedn d je u vni obuč i M dug d se keće o obuču što znči d mteijn tčk im jedn ϕ steen sobode ketnj Z geneisnu koodintu bimo centni ugo ϕ i oni sistem koodint i ϕ s koodintnim očetnom u centu kug i je jednčin veze f ( ϕ ) = = što edstvj jednčinu kug N mteijnu tčku dejstvuju sedeće sie: * dve ktivne sie: si težine mteijne tčke usmeen vetikno M nniže koj je konzevtivn si i im otencij i jedn centn si s F c = c koj zvisi od dtojnj te oketne o obuću mteijne tčke od cent sie koji se nzi u tčki vezivnj ouge je se utem ouge ostvuje dejstvo te centne sie koj uvek d u vc M od mteijne tčke k centu sie; * jedn sie oto veze F n koj je otot idene veze obik inije kužnice te je oto te inije i ketnju mteijne tčke o njoj uvn n tu iniju i uvek u vc koji ozi koz cent kug koji je cent kivine utnje o kojoj se keće mteijn tčk; 3* si inecije koj im dve komonente jednu tngencijnu i jednu nomnu n kužnu utnju o kojoj se keće mteijn tčk Imjuči u vidu nizu z izbo koodintnog sistem z oisivnje ketnj ove mteijne tčke o iniji nizu si i njihov kkte ko i obik utnje to koisteći inci dinmičke vnoteže iskzn u onom sistemu koodint odnosno iodnom sistemu koodint išemo ih u sedećem obiku: M ϕ F c π/ ϕ/ T M F n N π ϕ Pedmetni nstvnik: of d Ktic (Stevnović) Hedih

6 dv m = dt v m = F T F N St 6 od 4 Kko je bzin tčke v = ϕ& sve sie ktivne i ektivne možemo zožiti n komonente u vcim nome i tngente n utnju koj nm je zdt u vidu kužnice to ethodne jednčine ostju: π ϕ m && ϕ = sin( π ϕ) FC sin π ϕ m & ϕ = cos( π ϕ) + FC cos + Fn gde smo uvei zkon omene centne sie koj se ostvuje omoću ouge čiju msu znemujemo on s je u obiku inene zvisnosti od stojnj mteijne tčke od cent ivčenj: F c = c gde je c kutost ouge izduženje ouge koje odedjujemo oz geometijskih odnoss sike N osnovu tog možemo nisti: π ϕ F C = c cos Pose tnsfomcije ethodnog sistem jednčin dinmičke vnoteže oketne tčke dobijmo jednu difeencijniu jednčinu ketnj mteijne tčke i jednu vnoteže si Pose sovedenog integjenj diffeencjne jednčine ϕ m & ϕ = sin( ϕ) c sin( ϕ) + c cos dobijmo: ϕ& g c c ϕ = cos( ϕ) + cos( ϕ) + sin + C m m g c i integcionu konstntu odedjujemo iz ozntih usov; ϕ = 6 ; ϕ& = ; odke sedi C = te je m g c & ϕ = ( cos( ϕ) ) + cos( ϕ) + sin ϕ m Kko je otebno odediti kinetičke mete u tčki to dobijmo: g : ϕ = π ; ϕ& = ; v = g 7 7 Tžen si oto veze F n u u buio kom oožju n utnju mteijne tčke u ketnju je: F n = + dok kd mteijn tčk dose u oožj u tčki im ednost: : ϕ = π ; = ϕ ϕ ( 3cos( ϕ) ) + c cos( ϕ) sin sin F n Kko je system ketnj mteijne mčke o kugu definisn ovim zdtkom konzevtivni je su I si teže I centn si konzevtivne sie i imju funkciju sie do ešenj se može doći I n dugi nčin eko teoeme o omei kinetičke enegije: Ek Ek = U U gde je E k = mv ; E k = ; Pedmetni nstvnik: of d Ktic (Stevnović) Hedih

7 St 7 od 4 Z oožj oketne mteijne tčke kd je on u možemo d nišemo: v m n = m = + Fn + Fc Funkcij konzevtivnih si je: g c U = U + U = z c( L) ; Je kko smo ned eki obdve ktivne sie: si težine mteijne tčke usmeen vetikno nniže je s konzevtivn si i im otencij sko i centn si F c = c koj zvisi od stojnj te oketne o obuću mteijne tčke od cent sie koji se nzi u tčki vezivnj ouge je se utem ouge ostvuje dejstvo te centne sie koj uvek d u vc M od mteijne tčke k centu sie Z oožj oketne mteijne tčke kd je on u možemo d niđemo 3 3 z = ; z = ; L = ; L = ; te je: 9 U = z c( L ) = c 8 3 U = z c( L ) = c 8 odke sedi c v = 3g m v = g 7 te su komonete tžene sie veze (oto veze) nomn i cikun z oožj oketne mteijne tčke kd je on u : v Fn = m + Fc 3 Fc = c L = c dok je njen intenzitet: = F n Zdtk 4 Koiku očetnu vetiknu bzinu v teb soštiti teškoj mteijnoj (dinmičkoj) tčki M mse m u oožju D obešenoj u tčki omoću nestegjivog konc dužine d se konc ekine u tenutku kd je vetikn ko se on kid i sii Fm = 7G? Koiko mo biti koeficijent tenj hve hoizontne vni s = 9 dužine o kojoj se tčk keće dje od etostvkom d se ne odvj od nje v d odnos bzin tčke M u oožjim i bude = v D s D ϕ F wt F wn v Pedmetni nstvnik: of d Ktic (Stevnović) Hedih

8 St 8 od 4 ešenje: Mteijn tčk im jedn steen sobode ketnj je je od dejstvom vez koje su ostvene koncem i izožen je dejstvu sie težine se di o sistemu n koji dejstvuje konzevtivn si te se z vu fzu ketnj mteijne tčke može onemiti teoem o omeni kinetičke eneguje izžen omoću funkcije sie (ii otencij) bez sstvjnj difeencijnih jednčin ketnj i njihovog ešvnj je je otebno odediti smo siu u koncu je dovojno ethodnom idužiti jednčinu dinmičke vnoteže si u tngencijnom vcu n kužni deo utnje ketnj mteijne tčke Z dugu deo ketnj o hvoj vni sistem im svojstv nekonzevtivnog sistem te td teb ukjučiti u čun d si neidenihvez (si tenj) Pedžem d student n osnovu teoijskih izgnj n edvnju nvi nizu si u ovom zdtku d tčke D do mteijn tčk se keče o kugu se iz integ enegije i ojekcije jednčine dinmičke vnoteže n vc nome u oožju dobijju ecije: m( v v D ) = mv = Fn U tenutku kd je tčk u oožju konc se kid i sii F n = Fm = 7 dobijmo iz ethodnih jednčin: v = 6g i v D = 4g d oožj ndje tčk se keće o hvoj vni Kko je: F wn = i Fwt = µ Fwn = µ To se n osnovu integ žive sie : m( v v ) = gde je d sie tenj n stojnju dobij: 6 m g 6g = 9µ 4 odke sedi d je: µ = 4 Zdtk Hoizontn cev C dužine obće se oko neoketne ose konstntnom ugonom bzinom U cevi se nzi mteijn (dinmičk) tčk M mse m n koju dejstvuje oton si F = kv gde je k konstnt v k 3 bzin tčke u odnosu n cev njen etivn bzin ko je = m odediti zkon ketnj dinmičke tčke u cevi U očetnom tenutku mteijn tčk je bi n stojnju M = i im je očetnu bzinu v = u odnosu n cev Pose kog vemen će oketn mteijn tčk nustit cev? M C z y F w in F c in F M C Pedmetni nstvnik: of d Ktic (Stevnović) Hedih

9 Sik Sik b St 9 od 4 ešenje: snovn jednčin dinmike etivnog ketnj je: in in m = F + F + F + F w c Kko su ojekcije etivnog enosnog i Coiois-ovog ubznj: = && i ; = i ; i = v = & k ; c to su ond komonente si inecije enosn (vodeć) i Coiois-ov: in F = m = m i i in Fc = mc = mk & Si ekcije veze je F = F j + F k w wy wz ktivne sie-oton si i si težine u zbiu dju: F = ki & j Sd su ti ojekcije osnovne jednčine dinmike etivnog ketnj u ti vc Desces-ovog koodintnog sistem: m && = m k& = + F wy = Fwz + m& odnosno ešvjući vu jednčinu dobijmo: 3 & + & = ovo je običn difeencijn jednčin dugog ed čije ešenje etostvjmo u obiku λt () t = Ce dobijmo odgovjuću kkteističnu jednčinu obik: 3 λ + λ = čij su ešenj obik: 3 9 ± + λ = 4 odnosno: λ = λ = Tko d je končno ešenje obik: t t () t C e + C e = njegov vi izvod je: t t e Ce & = C Integcione konstnte C i C odeđujemo iz očetnih usov koji kžu d je tčk u očetnom tenutku bi n stojnju M = i im je očetnu bzinu v = Pedmetni nstvnik: of d Ktic (Stevnović) Hedih

10 tj = = t = & = v = tko d dobijmo sistem dve gebske jednčine o neozntim integcionim konstntm: C + C = C C = odke sedi : C = C = je končn jednčin etivnog ketnj mteijne tčke obik: t () t = e zkon omene etivne bzine je : t & () t = e Tčk će nustiti cev kd eđe ceu njenu dižinu tj t k = e odke dobijmo veme z koje tčk nusti cev : t k = n() St od 4 Zdtk 6 Kvdtn očic CD znemjive mse stnice obće se oko vetikne ose koz tčku konstntnom ugonom bzinom Duž stnice C keće se mteijn (dinmičk) tčk M mse m U očetnom tenutku mteijn tčk M je bi u oožju i im je etivnu bzinu v dediti: ) Zkon etivnog ketnj mteijne tčke M o suotu b) Veičinu ugone bzine enosnog ketnj suot d bi etivn bzin tčke M u oožju C bi v c) Komonente ekcije veze M D C y α in F c M in F D C Pedmetni nstvnik: of d Ktic (Stevnović) Hedih

11 Sik 6 Sik 6b St od 4 ešenje: S sike 6b jsno je d je stojnje M : M = + ko i d su : cosα = i sinα = + + Penosno ubznje mteijne tčke koj se etivno keće o suotu je ubznje one tčke suot u kojoj se on tenutno nzi Suot vši otciono (obtno) enosno ketnje i obće se oko nemićne tčke konstntnom ugonom bzinom i im smo nomnu komonentu obik : = M gde je M = i + j Kko su enosn ugon bzin = k i etivn bzin v = & i ond je Coiois-ovo ubznje: co = v = j & Sd su komonente si inecije enosnog ketnj (vodeć si inecije): in F = m = m i m j i Coiois-ov si inecije: in Fc = mco = mj & Si ekcije oto ideno gtke veze je: Fw = Fwy j snovn jednčin dinmike etivnog ketnj je: in in m = Fw + F + Fc Njen ojekcij u vcu ot i dje difeencijnu jednčinu etivnog ketnj mteijne tčke o suotu koji vši enosno ketnje: m & = m koj ose zdvjnj omenjivih i integjenj im integ: & = + C gde integcionu konstnu C odeđujemo iz očetnih usov; v t = ; & = v ; = ; tj C = je: & = + v Kko se tži veičin ugone bzine d bi etivn bzin oketne mteijne tčke M u oožju C bi v to tebju biti zdovojeni usovi: = & = v ; odke se dobij tžen ugon bzin: = ; v 3 enosnog ketnj suot Difeencijn jednčin etivnog ketnj: & = im ešenje u obiku: t t = e + e i vi izvod ešenj: t t & = e e Integcione konstnte i odeđujemo iz očetnih usov i dobijmo: v v = = je končn jednčin etivnog ketnj ove mteijne (dinmike) tčke o suotu koji vši otciju oko neoketne tčke: Pedmetni nstvnik: of d Ktic (Stevnović) Hedih

12 v t t () t ( e e ) = Pojekcij osnovne jednčine dinmike etivnog ketnj u vcu ot j je: F wy = m& + m odke dobijmo tženu ekciju veze u obiku: v F = + + wy m St od 4 Zdtk 7 Tčk vešnj mtemtičkog ktn keće se voinijski nviše o y osi ubznjem dediti eiod mih oscicij ovog ktn y y ϕ ϕ F n m T m Sik 7 Sik 7b ešenje: Mteijn tčk im jedn steen sobode ketnj i zto usvojimo koodintu ϕ z geneisnu koodintu oketnom sistemu koodint Ketnje tčke vešnj je enosno ketnje ubznjem kćenje je etivno ketnje Dejstvo veze se ostvuje koncem oto veze je si u koncu snovn jednčin dinmičke vnoteže etivnog ketnj je: m = m( T + N ) = G + Fn + ( m ) te z tngencijjni vc dobijmo: m & ϕ = sinϕ m sinϕ m( g + )ϕ kd se osmtju me oscicije tj kd se uzme d je sin ϕ ϕ odnosno g + && ϕ + ϕ = & ϕ + ϕ = gde smo uvei smenu z sostvenu kužnu fekvenciju: g + = je eiod mih oscicij ovog ktn: π Ts T = = π = g + + g gde je T s = π eiod osciovnj mtemtičkog ktn s neoketnomt čkom vešnj g Pedmetni nstvnik: of d Ktic (Stevnović) Hedih

13 St 3 od 4 Pedmetni nstvnik: of d Ktic (Stevnović) Hedih