VIII vežba. Principi mehanike

Транскрипт

1 St o Pincii mehanie - Pinuno etanje mateijalne (inamiče) tače u olju neonzevativnih sila; - Relativno etanje mateihalne (inamiče) tače teoema o omeni inetiče enegije mateijalne (inamiče) tače i elativnom etanju Zaata Kojom očetnom bzinom teba ustiti tešu taču mase m iz vha stme avni visine h 5[ m] nagibnog ugla α 6 a bi stigla u taču glatog užnog lua seišnjeg ugla 3 α oluečnia R h ao je oeficijent tenja lizanja µ h α α h F F wtwn x α Slia Slia a Iz incia inamiče avnoteže za mateijalnu (inamiču) taču oja se eće o ejstvom sule Zemljine teže o haavoj stmoj avni obijamo ve salane jenačine: mx && Fwt + Fwn Iz ve jenačine slei: & x g µ g onosno x& x& g µ g x te osle azvajanja omenljivih i integaljanja slei: ( x &) gx µ gx + Integaciona onstanta se oeđuje iz očetnih uslova etanja mateijalne tače oja je u očetnom oložaju imala očetnu bzunu: t ; x& v; x a je v Saa imamo: ( x &) gx( µ ) + v Iz uslova a u ložaju tača ima bzinu x & v ; i eđe ut x L; už stme avni obijamo: v gl( µ ) + v Kao za etanje tače iz oložaja u oložaj važi integal enegije to se ovaj izaz za bzinu može obiti i ovao: Mašinsi faultet Univeziteta u Nišu Pemetni nastavni: of Katica (Stevanović) Heih Pemetni asistent: Julijana Simonović

2 St o ge je a ativnih sila i sila otoa veze na utu izmađu oložaja i onosno: ( v v ) L µ L m oale je: v v gl( sin α µ ) Iz vetose jenačine inamiče avnoteže za etanje mateijalne tače o užnici i njenog ojetovanja u va otogonalna avca - avac tangene i avac nomale na utanju slia b slei: T : mr && sin( α) N : mr & F ( α) wn α ( α ) F wn Slia b Iz ve jenačine naon azvajanja omenljivih slei: & mr & sin( α) a osle integaljenja: g & ( α) + R o integacionu onstantu oeđujemo iz očetnih uslova: v t ; & ; R a je: v g R R tao a je: g v g & ( α) + R R R Saa iz uge jenačine oeđujemo nomalnu omonentu sile otoa veze: v Fwn Fn ( α) + m + ( α) R onosno: v Fn 3 ( α) + m R Mašinsi faultet Univeziteta u Nišu Pemetni nastavni: of Katica (Stevanović) Heih Pemetni asistent: Julijana Simonović

3 Uslov a mateijalna (inamiča) tača stigne o oložaja matematiči se može naisati ao: F ; n a ošto je 8 3α ; ona se obija bzina u tači 5 v gr St 3 o 5 m Saa je tažena očetna bzina mateijalne tače: gr gl( sin µ ) 43 v α s Zaata Za vetialni šta slia a oji se obće onstantnom ugaonom bzinom učvšćena je žica oja leži u vetialnoj avni Na žici se nalazi glaa sten mase m o se sten u očetnom tenutu nalazi u oložaju i ao mu je saoštena očetna bizna v už žice oeiti aav obli teba a ima žica (jenačinu ive ) a a se sten za sve veme eće u onosu na žicu sa onstantnom bzinom η v N v v I F mξ ξ Slia a Slia b Pimenimo teoemu o omeni inetiče enegije mateijalne (inamiče) tače i elativnom etanju: n F I F m( v v ) + I F ge je a inecijone sile enosnog etanja o je a oiolis-ove sile inecije i elativnom etanju jena nuli ošto je oiolis-ovo ubzanje uve nomalno na veto elativne bzine I F co v Kao je iva glata eacija veze ne vši a Na mateijalnu (inamiču) taču još osim ove sile ejstvuje i težina stena Ra ove sile ne zavisi o oblia ive ošto je sila onzevativna i ima otencijal: η I F a inecijone sile enosnog etanja iznosi: ξ I F mξ mξ ξ a saa imamo: m( v v ) η mξ + ao elativna bzina už ive teba a bue onstantna v v enegije omah obijamo utanju u obliu: η + mξ onosno to iz ove jenačine integala inetiče Mašinsi faultet Univeziteta u Nišu Pemetni nastavni: of Katica (Stevanović) Heih Pemetni asistent: Julijana Simonović

4 η g ξ što je jenačina aabole St 4 o Zaata 3 Glata žica savijena u obliu aabole čija je jenačina y x obće se oo vetialne ose onstantnom ugaonom bzinom Na žicu je nametnut sten oji može a se eće o glatoj žici eiti: a) bzinu stena u onosu na žicu ao se on u očetnom tenutu nalazio u miu u oložaju M sa ascisom x b) o oje će se tače oići sten ao se u očetnom tenutu nalazio u ooinatnom očetu i ao mu je saoštena očetna bizna v usmeena o hoizontali uesno x T x N F wn M M v I F my y v v Slia 4a Slia 4b Na sten ejstvuju sleće sile: sila težine stena G i ; F wn -nomalna eacija žice enosna sila m y T N sme joj je iazan na slici 4b ge smo sa α ozbačili ugao oji I F inecije je: ( ) avac tangente na utanju u oizvoljnoj tači gai sa x osom i jasno je a je x i α i oiolis-ova ineciona sila: s I Fco my& mv je je oiolis-ovo ubzanje je: i j aco v v v v α y tg α onosno x Pa ojetovanjem vetose jenačine inamiče avnoteže ovih sila na avac tangente na utanju u oizvoljnoj tači imamo: v m + my t onosno v g + y t azvajanjem omenljivih možemo ešiti ovu ifeencijalnu jenačinu voeći ačuna a je: y sin α s Mašinsi faultet Univeziteta u Nišu Pemetni nastavni: of Katica (Stevanović) Heih Pemetni asistent: Julijana Simonović

5 St 5 o v v v t s onosno imamo jenačinu: vv gx + y y što osle integaljenja aje: v gx + y + onosno v ( g) x + s obziom a je y x Integaciona onstanta se oeđuje iz očetnih uslova i za zaata o a) biće: t x x v oale je integaciona onstanta ( g) x a je : v ( g)( x x ) onosno zaon omene elativne bzine je: v ( g)( x x ) ave možemo izvesti i zaljuče u vezi sa smeom etanja stena u onosu na ugaonu bzinu obtanja žice Da bi se tača etala naviše tj x > x a bi otoena veličina bila ozitivna moa biti: g g > onosno > g g uolio a bue < tača će se etati naniže a ao je slei a je v v a će sten elativno miovati Rešenje o b) bilo bi iz iste ifeencijalne jenačine v ( g) x + samo bi se integaciona onstanta oeđivala iz očetnih uslova i za zaata o b) oji su: t x v v o ale je integaciona onstanta v a je : v ( g) x + v U tenutu aa tača ostigne ajnji oložaj elativno se zaustavi tj v oale se obija masimalno: v v xmax i y max xmax ( g ) ( g ) Da bi sten uošte mogao stići u ovaj oložaj moa biti g g > onosno < g Uolio a bue > ona ne može biti zaovoljen uslov a je v što atično znaći a će se sten neoganičeno enjati uz žicu g Za obijemo v v const što znaći a se sten eće onstantnom bzinom o aaboli Mašinsi faultet Univeziteta u Nišu Pemetni nastavni: of Katica (Stevanović) Heih Pemetni asistent: Julijana Simonović

6 St 6 o Zaata 4 Tača vešanja matematičog latna mase m i užine l ima onstantno hoizontalno ubzanje a slia 4a o se latno usti iz hoizontalnog oložaja u ome je bilo u miu elativno u onosu na oetni ooinatni sistem izvesti izaz za silu u oncu u funciji ugla nagiba y a y a S N ma l T Slia 4a Slia 4b Ketanje tače vešanja je enosno etanje ubzanjem a a laćenje je elativno etanje latna Sistem ima jean steen sloboe etanja Za genealisanu ooinatu izabeemo ugao Na mateijalnu taču ejstvuje ativna sila teđine oja je onzevativna sila to veze je sila u oncu sim težine na latno ejstvuje i enosna sila inecije ma snovna vetosa jenačina inamiče avnoteže elativnog etanja je: ma m( at + an ) G + S + ( ma ) te ojetovanjem iste na tangencijaljni i nomalni avac na utanju tače obijamo: ml & ma sin ml & sin ma + S Množenjem ve jenačine sa voeći ačuna a je & & & osle integaljenja obijamo: & ml sin + ma + Kao je u tenutu t ; & ; to je ma a je: ( ) ml & sin + ma zamenimo ovaj izaz u ifeencijalnu jenačinu inamiče avnoteže za avac nomale na utanju i obijamo taženu silu u oncu: a S 3sin + ( 3 ) g Zaata 5 Rai amotizovanja oscilacija olenastog vatila avionsog motoa izai se u otivtegu žleb oblia užnog lua oluečnia sa seištem u tači oja je za l omeena u onosu na ose obtanja vatila slia 5a Duž žljeba može slobono a se eće ounsi otiv teg oga možemo smatati mateijalnom (inamičom) tačom Ugaona bzina vatila jenaa je eiti užnu fevenciju malih oscilacija ounsog otiv tega Uticaj sile teže zanemaiti Mašinsi faultet Univeziteta u Nišu Pemetni nastavni: of Katica (Stevanović) Heih Pemetni asistent: Julijana Simonović

7 St 7 o l T ρ θ θ I F T I Fco Slia 5a Slia 5b Na mateijalnu (inamiču) taču oja vši elativno etanje o žljebu javljaju se samo samo inecione sile je nema niavih ativnih sila Penosna sila inecije je ρ m I F ge je ρ M Sme ove sile je suotan o smea nomalnog ubzanja slia 4b oiolis-ovo ubzanje je: a c v i intenzitet ovog ubzanja je π ac v sin v a njegov avac i sme su iazani na slici 4b Pema tome oiolis-ova ineciona sila ima avac nomale na elativnu tajetoiju onosno na žljeb o ome se eće mateijalna tača a nema ojeciju u avcu tangente na žleb esimo ojecije svih sila na aijalni i ciulani avac tj samo inecionu silu enosnog etanja u avcu tangente na žleb a će salana ojecija veltose jenačine inamiče avnoteže u avcu tangente biti: m & mρ sinθ Iz tougla M slia 4b ema sinusnoj teoemni biće: ρ l sin( π ) sinθ nosno l sinθ sin ρ Iz istog tougla i osinusne teoeme imamo: ( π ) ρ + l l o etostavimo a su uglovi i θ mali obijamo: l θ i ρ + l ρ Saa ifeencijalna jenačina etanja ostaje: & θ l + θ oale viimo a mateijalna (inamiča) tača mase m vši male oscilacije čija je užna fevancija: l m Mašinsi faultet Univeziteta u Nišu Pemetni nastavni: of Katica (Stevanović) Heih Pemetni asistent: Julijana Simonović

8 St 8 o Zaata 6 vini nosač je utači ulješten a u H slobono oslonjen Koisteći Laganžev inci vitualni omeanja (inci najmanjeg ejstva inci aa) oeiti eacije veze ulještenja Naa je zaato: HG G D 4 4D 4R P F D F G X F D F G F D G D F F Μ Y F G H H H H Slia 6a Slia 6b Slia 6c Slia 6 X δx + Fδx X F y Yδy F δ Y F M M δ δ FRδ FR 3FR Zaata 7 Mateijalna (inamiča) tača M mase m može a se eće o iealno glatom ciliničnom žlebu oji se nalazi u cevi užine L oja je vezana štaom F o uglom α u onosu na vetialnu osu D oo oje se obće onstantnom ugaonom bzinom slia 6a Tača M vezana je za ougu utosti c čiji je ugi aj vezan za taču cevi Dužina ouge u nenaegnutom stanju L L L L je U očetnom tenutu mateijalna tača se nalazila u oložaju na x i imala je bzinu v 4 g ( sin α const ) u ozitivnom smeu x -ose eiti onačnu jenačinu elativnog etanja L mateijalne tače M y F D x y F D x α M L 4 L Slia 7a Slia 7b α F c M I F Mašinsi faultet Univeziteta u Nišu Pemetni nastavni: of Katica (Stevanović) Heih Pemetni asistent: Julijana Simonović

9 St 9 o Kao na mateijalnu (inamiču) taču ejstvuju sile: sila težine sila u ouzi eacija veze enosna sila inecije i oiolis-ova sila inecije to je osnovna vetosa jenačina inamiče avnoteže elativnog etanja oblia: ma G + Fc + Fw + I F + I Fco Kao sile imaju ojecije u onosu na izabani ooinatni sistem: ma mxi && -ineciona sila elativnog etanja; G i j - sila težine; L F c c x i -sila u ouzi; Veto enosnog ubzanja je veto ubzanja tače tela oje se obće oo neomične ose onstantnom ugaonom bzinom i ima samo nomalnu omonentu ubzanja : a x i + x j a je ineciona sila enosnog etanja: I F mx sin α i mx j ; oiolis-ovo ubzanje je: i j aco v x& x& a je oiolis-ova ineciona sila: I Fco mx& ; Sila eacije (otoa ) glate veze je: Fw Fwy j + Fwz Saa je ojecija osnovne vetose jenačine inamiče avnoteže elativnog etanja u avcu elativnog etanja efinisanog otom i oblia: m& x mx sin α c x L onosno ao uvstimo zaatom zaati oata za oeficijent utosti ouge c i eoućenu L smenu: g sin α const L c L & x &+ x g + m onosno & x& + x ešenje ove ifeencijalne jenačine ugog ea je: x ( t) + sin( t) a njegov vi izvo je: x& sin( t) + ( t) Integacione onstante i oeđuju se iz očetnih uslova L L t x i v x& 4 Mašinsi faultet Univeziteta u Nišu Pemetni nastavni: of Katica (Stevanović) Heih Pemetni asistent: Julijana Simonović

10 oale su: L L i 4 a je zaon elativnog etanja oblia : L L x() t ( t) + sin( t) 4 St o Zaata 8 Mateijalna (inamiča) tača mase m uštena je iz mia (elativno u onosu na is) iz oložaja i lizi bez tenja niz nagnutu cev o uglom θ u onosu na is o se is zajeno sa cevi oeće oo vetialne ose onstantnom ugaonom bzinom slia 8a Naći veme za oje će tača eći ut o tače o tače y b θ η ξ I F x ξ Slia 8a oiolis-ovo ubzanje je: i j aco v & ξ θ & ξ θ & ξ sinθ a je ema tome oiolis-ova ineciona sila: I Fco m & ξ θ Penosna sila inecije je intenziteta: I F m ( b ξ ) θ ( θξ sinθη ) sme joj je iazan na slici 8a na inamiču taču ejstvuje još i sila težine a ojetovanjem ovih veju sila na avac cevi oji smo usvojili za avac ose ξ avac elativnog etanja imamo: m & ξ sinθ m ( b ξ ) θ onosno & ξ ξ θ g sinθ b θ va nehomogena ifeencijalna jenačina ugoga ea ima jeno atiulano ešenje oblia: g sinθ ξ b θ Kao je ešenje homogenog ela oblia: t θ t θ ξh e + e To je ošte ešenje oblia: g sinθ t θ t θ ξ b + e + e θ eđivanje integacionih onstanti i iz očetnih uslova t ξ i & g sinθ ξ b θ Mašinsi faultet Univeziteta u Nišu Pemetni nastavni: of Katica (Stevanović) Heih Pemetni asistent: Julijana Simonović

11 nalazimo a je etanje tače ato u obliu: g sinθ g sinθ ξ b + b ch( t θ ) ge je θ θ St o t θ t θ e e ch( t θ ) Za ξ b nalazimo a je: t acch ge je: θ b θ g sinθ Da bi ovaj ogovo imao smisla moa a je > oale obijamo a ugaona bzina moa a zaovoljava elaciju: g sinθ < b θ o ova nejenaost nije zaovoljena tača se uošte neće etati naniže Zaata 9 Na slici b9 iazan je sistem oji leži u vetialnoj avni i oji se sastoji o ti teša zučania va u obliu užno-stenastih homogenih isova oluečnia i masa o m oji mogu u zahvatu a se oeću oo osa oz onosno 3 a nose na astojanjima o osa obtanja zavaene mateijalne tače masa o m m i zučania u obliu homogenog isa oluečnia mase m oji nosi mateijalnu taču mase m na astojanju o centa i oji može a se obće oo ose oz njegov centa masa i oji je u zahvatu sa ethona va zučania Jean o oložaja avnoteže sistema je iazan na slici eiti sve moguće oložaje avnoteže sistema ao i sve moguće stabilne oložaje avnoteže Za slućaj a aameta N iaa suu celih bojeva oeiti sostvene užne fevencije malih oscilacija sistema oo oložaja stabilne avnoteže za najmanju venost tog aameta Koja je najmanja venost aameta N za oji je naznačeni na slici b9 oložaj avnoteže stabilan a oja za ugi mogući stabilan oložaj avnoteže azličit o oložaja oji je iazan na slici b 9? Za oba slučaja oei sostvene užne fevencije malih oscilacija sistema m 3 m m 3 m m m h h3 h m m 3 m m 3 m m Slia 9a Slia 9b 3 Povšina i gustina mateijala obuča su: 4 π π 3 π ; m M m ρ 3ρ π ρ 3 π Geneealisana ooinata je ugao a su : Mašinsi faultet Univeziteta u Nišu Pemetni nastavni: of Katica (Stevanović) Heih Pemetni asistent: Julijana Simonović

12 St o & & 3 & Momenti inecije masa obuča za ose oz centae i 3 su: 4 ( ) π π J 3 J ρ 5m a moment inecije mase isa za osu oz cena je: m J m Izaz za inetiču enegjiu sistema je: ( & ) + m( & ) m( & ) & & & ; J + J + J m 3 + & & m & + 5m + m + m & 4 m ( 9 ) & + Pomena otencijalne engije sisitema je: ( ) : ( ) > 4 Lagange- ova jenačina uge vste je: m ( 9 + ) & + ( ) ošto je ( ) + ( ) ( ) ( ) & & + g( ) ( 9 + ) Izvo otencijalne enegije o ooinati je: sin sin sin sin o oložaja avnoteže: ± ac + 4nπ za <; 3 sin nπ; n 3 K : 3 ± ac + nπ za < Mašinsi faultet Univeziteta u Nišu Pemetni nastavni: of Katica (Stevanović) Heih Pemetni asistent: Julijana Simonović

13 Mašinsi faultet Univeziteta u Nišu Pemetni nastavni: of Katica (Stevanović) Heih Pemetni asistent: Julijana Simonović St 3 o a je ( ) > n n π ; > > π oložaj stabilne avnoteže min ( ) < > + π nestabilan oložaj max < < n π nestabilan oložaj max 4 ac > < + ± n π oložaj stabilne avnoteže min / / / / ( ) [ ] ( ) [ ] sin sin + h sin h + sin sin 3 h h

14 St 4 o h 3 h sin a je izaz za otencijalnu enegiju: h + h + sin sin ugi sabia ovog iztaza je ibližno jena nuli ao je : slei: 4 4 > < i () Lagange- ova jenačina uge vste je: m ( 9 + ) & + ( 4 ) ošto je & & + 4 g( 4 ) < 9 + ( ) Mašinsi faultet Univeziteta u Nišu Pemetni nastavni: of Katica (Stevanović) Heih Pemetni asistent: Julijana Simonović