Iracionalni brojevi su oni brojevi koje ne možemo zapisati u obliku razlomaka.

Транскрипт

1 Dokz 80 Dokži d je + ircionln roj znjući d je ircionln roj. Skup prirodnih rojev oznčvmo slovom N, zpisujemo N =,, 3, 4, 5,..., n, n, n +,.... { } Broj olik, Z, N zove se rcionln roj. Ircionlni rojevi su oni rojevi koje ne možemo zpisti u oliku rzlomk. Ako stvimo d je slijedi Kd i n io rcionln roj, td i iz n = +, n = + + = n = n. = n slijedilo d je rcionln roj. To je u suprotnosti s pretpostvkom d je ircionln roj. Dkle, roj + je ircionln.

2 Dokz r Dokži d je ritmetičk sredin + r rcionlnih rojev r i r opet rcionln roj koji se nlzi između tih rojev. Skup prirodnih rojev oznčvmo slovom N, zpisujemo N =,, 3, 4, 5,..., n, n, n +,.... Cijeli rojevi jesu rojevi: { }..., 5, 4, 3,,, 0,,, 3, 4, 5,... Oni čine skup cijelih rojev koji oznčvmo slovom Z, zpisujemo ko { } Z { } Z =..., 3,,, 0,,, 3,... ili = 0,,,,, 3, 3,.... Skup rcionlnih rojev Q = :, Z, 0. Broj olik, Z, N zove se rcionln roj. Zrjnje rzlomk: c d + c + =. d d Svki cijeli roj je rcionln roj: n n n =, = n. Dvojni rzlomk: d =. c c d Uređj n Q c c Nek su, Q,, d > 0. Kžemo d je < ko je d < c. d d Dijeljenje nejednkosti pozitivnim rojem:, c > 0. c c c Nek su r = i r =,, c Z,, d N. d Nđimo njihov poluzroj: c d + c d + c r + r + d r + r d r + r = = = d r + r d + c r + r = Q. d

3 To je očito opet rcionln roj. Dkle, ritmetičk sredin rcionlnih rojev je rcionln roj. c Pretpostvimo d je r r što povlči d c. d Dokzt ćemo dvije nejednkosti: r + r r i + r r r. Uvjerimo se u njihovu istinitost. r + r c d + c r, prem definiciji r = r = d d uspoređivnj r r + r + r d + c d + c c r = rcionlnih rojev d d d d ( d + c) d ( d + c) /: d ( d + c) c d d ( d + c) c d /: d d d + c d d c d c. d + c c d c c d c Zdnje nejednkosti su istinite prem pretpostvci p su istinite i početne, tj. r + r r r + r r r. r + r r 3

4 Dokz 3 Dokži ko je r > r, r, r Q, d je td r + r > r + r z svki r Q. Skup prirodnih rojev oznčvmo slovom N, zpisujemo N =,, 3, 4, 5,..., n, n, n +,.... Cijeli rojevi jesu rojevi: { }..., 5, 4, 3,,, 0,,, 3, 4, 5,... Oni čine skup cijelih rojev koji oznčvmo slovom Z, zpisujemo ko { } Z { } Z =..., 3,,, 0,,, 3,... ili = 0,,,,, 3, 3,.... Skup rcionlnih rojev Q = :, Z, 0. Broj olik, Z, N zove se rcionln roj. Zrjnje rzlomk: c d + c + =. d d Uređj n Q c c Nek su, Q,, d > 0. Kžemo d je < d d ko je d < c. Dijeljenje nejednkosti pozitivnim rojem:, c > 0. c c Zkon distriucije množenj prem zrjnju. + c = + c, + c = + c. c x Nek su r =, r =, r =,, c, x Z,, d, y N. d y c Pretpostvimo d je r > r što povlči d c. > d > Ako je r > r, tj. d > c, dokžimo d vrijedi r + r > r + r. Uvjerimo se u njezinu istinitost. x c x y + x c y + d x r + r > r + r + > + > y d y y d y ( ) y ( c y d x) /: d ( y + x) > ( c y + d x) d y + d x > c y + d x d y y + x > y c y + d x d y y + x > + y d y + d x > c y + d x d y + d x > c y + d x d y > c y d y > c y /: y d > c. Zdnj nejednkost je istinit prem pretpostvci p je istinit i početn, tj. 4

5 r + r > r + r. 5

6 Dokz 4 Dokži ko je r > r, r, r Q, d je td r r > r r z svki r > 0, r Q. Skup prirodnih rojev oznčvmo slovom N, zpisujemo N =,, 3, 4, 5,..., n, n, n +,.... Cijeli rojevi jesu rojevi: { }..., 5, 4, 3,,, 0,,, 3, 4, 5,... Oni čine skup cijelih rojev koji oznčvmo slovom Z, zpisujemo ko { } Z { } Z =..., 3,,, 0,,, 3,... ili = 0,,,,, 3, 3,.... Skup rcionlnih rojev Q = :, Z, 0. Broj olik, Z, N zove se rcionln roj. Množenje rzlomk: c c =. d d Uređj n Q c c Nek su, Q,, d > 0. Kžemo d je < ko je d < c. d d c x Nek su r =, r =, r =,, c Z,,, d, x, y N. d y c Pretpostvimo d je r > r što povlči d c. > d > Ako je r > r, tj. d > c, dokžimo d vrijedi r r > r r. Uvjerimo se u njezinu istinitost. x c x x c x r r > r r > > x d y > y c x y d y y d y ( ) x d y > y c x /: x y d > c. Zdnj nejednkost je istinit prem pretpostvci p je istinit i početn, tj. r r > r r. 6

7 Dokz 5 Dokži ko su i nenegtivni relni rojevi, td vrijedi =. Drugi korijen Drugi korijen pozitivnog roj je pozitivni roj koji pomnožen sm s soom dje roj. Vrijedi: = Svojstvo potencije: ( ). =, =. Množenje potencij jednkih z: n m n + m =, n + m n m =. Kvdrirjmo umnožk. = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = / =. Broj pomnožen sm s soom dje roj p je prem definiciji drugog korijen, uprvo drugi korijen iz, tj. =. 7

8 Dokz 6 Dokži ko su i pozitivni relni rojevi, td vrijedi. = Drugi korijen Drugi korijen pozitivnog roj je pozitivni roj koji pomnožen sm s soom dje roj. Vrijedi: = Svojstvo potencije: ( ). =, =. Množenje potencij jednkih z: n m n + m =, n + m n m =. Množenje rzlomk: Kvdrirjmo količnik. ( ) ( ) c c =. d d = = = = / =. Broj pomnožen sm s soom dje roj p je prem definiciji drugog korijen, korijen roj uprvo jednk, tj.. = 8

9 Dokz 7 Dokži d je umnožk ircionlnog i rcionlnog roj rzličitog od nule ircionln roj. Broj olik, Z, N zove se rcionln roj. Ircionlni rojevi su oni rojevi koje ne možemo zpisti u oliku rzlomk. Nek je ircionln roj, rcionln roj, 0. Njihov umnožk oznčimo s x. x =. Pretpostvimo d je x rcionln roj. Iz jedndže doijemo: x x = = x = x /: =. Količnik rcionlnih rojev x i je rcionln roj p slijedi d je rcionln što je u suprotnosti s pretpostvkom d je ircionln. Dkle, umnožk ircionlnog i rcionlnog roj rzličitog od nule je ircionln roj. 9

10 Dokz 8 Dokži ko je točk P polovište dužine AB, td vrijedi:. AP = PB. AP + PB = AB. Polovište dužine je točk dužine jednko udljen od krjnjih točk te dužine. Polovište dužine Koordinte polovišt P dužine AB, A( x y ) B( x y ) Udljenost dviju točk u rvnini Nek su (, ) i (, ),,, su x + x y, + y P. A x y B x y dvije točke rvnine. Td je udljenost točk A i B dn s AB = x x + y y Svki cijeli roj je rcionln roj: n n n =, = n. Oduzimnje rzlomk: c d c =. d d Zkon distriucije množenj prem zrjnju. Korjenovnje:. + c = + c, + c = + c. =, 0. Dijeljenje potencij jednkih eksponent: n n n n n =, = n. Množenje drugih korijen: =, =,, 0. Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinice n =, n 0, n. n. Nek su dne točke (, ), (, ) Dokžimo d vrijedi AP = PB. A x y B x y i polovište x + x y, + y P dužine AB. 0

11 . Nek je (, ) = (, ) A x y A x y x + x y + y P( x, y ) = P, AP = ( x x ) + ( y y ) x + x y + y P ( x, y ) = P, PB = ( x ) ( ) x + y y B( x, y ) = B( x, y ) x + x y + y AP = x + y x + x y + y PB = x + y x + x x y + y y AP = + x x + x y y + y PB = + x + x x y + y y AP = + x ( x + x ) y ( y + y ) PB = + x x y y AP = + x x x y y y PB = + x x y y AP = + AP = x x y y PB = + PB.

12 x x y y x, x y y AP = + PB = +. Izrčunjmo AP + PB. x x y y x x y y AP + PB = x x y y AP + PB = + x x 4 y y AP + PB = + x x 4 y y AP + PB = + ( x x ) ( y y ) AP + PB = ( x x ) ( y y ) AP + PB = ( x x ) ( y ) 4 4 y AP + PB = AP + PB = ( x x ) + ( y y ) AP + PB = AB. po definiciji ( ) + ( y ) AB = x x y

13 Dokz 9 Dokži d je fin funkcij f(x) = x +, s pozitivnim koeficijentom smjer, rstuć funkcij. Funkcij f : R R dn prvilom f ( x) x,, R, 0 = + nziv se fin funkcij. Rstuć funkcij Nek je f : D K funkcij z koju z svk dv roj x, x D vrijedi x < x f x < f x. Td kžemo d funkcij f rste ili d je f rstuć funkcij. Množenje nejednkosti pozitivnim rojem: <, c > 0 c < c. Svojstvo nejednkosti: Iz x < x slijedi: [ 0 ] <, c R + c < + c. x < x > x < x / x < x x < x / + ( ) = +. x + < x + f x x f x < f x Dkle, f je rstuć. 3

14 Dokz 30 Dokži d je fin funkcij f(x) = x +, s negtivnim koeficijentom smjer, pdjuć funkcij. Funkcij f : R R dn prvilom f ( x) x,, R, 0 = + nziv se fin funkcij. Pdjuć funkcij Nek je f : D K funkcij z koju z svk dv roj x, x D vrijedi x < x f x > f x. Td kžemo d funkcij f pd ili d je f pdjuć funkcij. Množenje nejednkosti negtivnim rojem: <, c < 0 c > c. Svojstvo nejednkosti: Iz x < x slijedi: [ 0 ] <, c R + c < + c. x < x < x < x / x > x x > x / + ( ) = +. x + > x + f x x f x > f x Dkle, f je pdjuć. 4

15 Dokz 3 Dokži ko je + =, ond je =. c + c c Jednkost rcionlnih rojev c Dv rcionln roj i su jednk ko je. d d = c Dijeljenje potencij jednkih eksponent: n n n n = n, n =. Svki cijeli roj je rcionln roj: n n n =, = n. Zrjnje rzlomk: c d + c + =. d d Množenje rzlomk: c c =. d d Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinice n =, n 0, n. n Dijeljenje potencij jednkih z: n n m m =. Zkon distriucije množenj prem zrjnju. + c = + c, + c = + c..inčic Zdni uvjet = ekvivlentn je s = c. Iz = slijedi: c c = = / = = = / + c c c c c + + c + = + + = + = c c c + + c / + = = c = c + c + c c + c + c + = = =. + c c + c c + c c 5

16 .inčic Preolikujemo jednkost =. c = = / c c = = c. c c Sd dokzujemo tvrdnju: + + c ( + c) ( c) = + = c = = = =. + c c + c c ( + c) c ( + c) c 6

17 Dokz 3 Dokži d od svih prvokutnik dnog opseg O njveću površinu im kvdrt. Aritmetičk sredin je već od geometrijske sredine: +. Četverokut je dio rvnine omeđen s četiri dužine. Konveksni četverokuti su četverokuti kojim su svi kutovi mnji od 80. Prlelogrmi su četverokuti kojim su po dvije nsuprotne strnice usporedne (prlelne). Prvokutnik je prlelogrm koji im rem jedn prvi kut (prvi kut im 90º). Opseg prvokutnik duljin strnic i je zroj duljin svih strnic prvokutnik O = +. Površin prvokutnik duljin strnic i izrčunv se po formuli P =. Kvdrt je četverokut kojemu su sve strnice sukldne, dijgonle međusono sukldne i okomite. Opseg kvdrt duljine strnice izrčunv se po formuli O = 4. Površin kvdrt duljine strnice izrčunv se po formuli P =. Kvdrirnje nejednkosti: > 0. Kvdrirnje drugog korijen: ( ) =, 0. Proširiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk pomnožiti istim rojem rzličitim od nule i jedinice n =, n 0, n. n Nek su i duljine strnic prvokutnik. Td prvokutnik im: opseg O = + površinu P =. Nek je duljin strnice kvdrt. Td kvdrt im: opseg O = 4 površinu P =. O Duljin strnice kvdrt istog opseg O je = p njegov površin iznosi: 4 O P = P =. 4 Z dokz tvrdnje potren je nejednkost ritmetičke i geometrijske sredine / ( ) 7

18 ( + ) + O [ O = + ] 4 4 O P = 4 P P. P = 8

19 Dokz 33 Dokži ko je x > 0, y > 0 i x + y =, ond vrijedi x y Kvdrt relnog roj je nenegtivn roj: Kvdrt rzlike: 0, R.,. ( ) = + + = ( ) Množenje potencij jednkih eksponent: n n n n n n =, =. Množenje nejednkosti negtivnim rojem:, c < 0 c c. Svojstvo potencije: Dijeljenje potencij jednkih z: Zkon distriucije množenj prem zrjnju. =, =. n : m = n m. + c = + c, + c = + c. Množenje nejednkosti pozitivnim rojem:, c > 0 c c. Svojstvo nejednkosti: i c R + c + c. Dijeljenje nejednkosti pozitivnim rojem:, c > 0. c c Množenje rzlomk: c c c c =, =. d d d d Zrjnje rzlomk jednkih nzivnik: =, = +. n n n n n n Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinice n = n, n 0, n. Polzimo od istinite nejednkosti: x 0 4 x 4 x x 4 x + 0 / 4 x + 4 x 0 4 x + 4 x 4 x 4 x 4 x x ( ) 9

20 uvjet 4 x y 4 x y 4 x y / x + y = y = x 8 x y 8 x y / + x y + x y 8 x y + x y + x y 9 x y uvjet + + x y 9 x y x+ y + + x y 9 x y x + y = metod ( x + ) + ( x y + y) 9 x y ( x + ) + y ( x + ) 9 x y grupirnj ( x + ) ( + y) 9 x y ( x + ) ( y + ) 9 x y ( x + ) ( y + ) 9 x y / x y x + y + x + y + x y x y x y x y x x y y x x y y x y 0

21 Dokz 34 Točk P polovište je oiju dužin: dužine AB i dužine CD. Dokži d je AC = BD. Trokut je dio rvnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo strnice trokut. Sukldnost trokut Kžemo d su dv trokut sukldn ko postoji pridruživnje vrhov jednog vrhovim drugog tko d su odgovrjući kutovi jednki, odgovrjuće strnice jednkih duljin. α = α, β = β, γ = γ, =, =, c = c. Prvi poučk sukldnosti (S S S) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u sve tri strnice. Drugi poučk sukldnosti (S K S) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u dvije strnice i kutu između njih. Treći poučk sukldnosti (K S K) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u jednoj strnici i o kut n toj strnici. Četvrti poučk sukldnosti (S S K) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u dvije strnice i kutu nsuprot većoj strnici. Polovište dužine je točk dužine jednko udljen od krjnjih točk te dužine. Ako je točk T polovište dužine AB vrijedi: Vršni kutovi AP = PB. α P β α = β D B P S slik vidi se: A AP = PB, CP = PD, CPA = DPB Uočimo d su trokuti ACP i BDP sukldni po S K S poučku o sukldnosti trokut ( AP = PB, CP = PD, CPA = DPB ). Prem tome je AC = BD. C

22 Dokz 35 Dokži tvrdnju: + =, c + d = c d. Kvdrt relnog roj je nenegtivn roj: Kvdrt zroj: Kvdrt rzlike: 0, R.,. ( + ) = = ( + ),. ( ) = + + = ( ) Zkon distriucije množenj prem zrjnju. + c = + c, + c = + c. Dijeljenje nejednkosti pozitivnim rojem:, c > 0. c c Dijeljenje nejednkosti negtivnim rojem:, c < 0. c c Z relni roj x njegov je psolutn vrijednost (modul) roj x koji određujemo n ovj nčin: x x, x 0 = x, x < 0. Ako je roj x pozitivn ili nul, td je on jednk svojoj psolutnoj vrijednosti. Z svki x, x 0, vrijedi x = x. Ako je x negtivn roj, njegov psolutn vrijednost je suprotn roj x koji je pozitivn. Z svki x, x < 0, je x = x. Svojstvo psolutne vrijednosti: x, > 0 x. Množenje jednkosti: Množenje zgrd: =, c = d c = d. ( + ) ( c + d ) = c + d + c + d. Množenje potencij jednkih eksponent: n n n n n n =, =. Drugi korijen: Korjenovnje nejednkosti:.inčic Očito je: =, R. 0 <.

23 ( + c) + ( d ) 0 + c + c + d + d 0 ( c) + ( + d ) 0 c + c + + d + d c + d + c d c + d c + d 0 ( ) ( c d ) ( c d ) ( + ) + ( c + d ) ( c d ) uvjeti = 0 c + d = ( ) ( ) ( ) /: ( c d ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + c d 0 + c d 0 c d + c d 0 c d 0 c d c d c d c d /: c d c d..inčic Pođimo od zdnih uvjet: + = pomnožimo ( + ) ( c + d ) = c + d = jednkosti c + d + c + d = c + d + c + d + c d c d = ( c c d d ) ( d c d c ) = Budući d je ( d c) 0, + slijedi d je + + =. ( c d ) ( d c) c d c d c d c d. / ( ) 3

24 Dokz 36 Prv, treć i pet znmenk šesteroznmenkstog prirodnog roj međusono su jednke, drug, četvrt i šest tkođer. Dokži d je tkv roj djeljiv s 7. Z prirodn roj kžemo d je djeljiv s prirodnim rojem ko postoji prirodn roj q tko d vrijedi = q. Višekrtnici prirodnog roj su svi rojevi koji su djeljivi s tim rojem. Prirodni roj im eskončno višekrtnik. N primjer, višekrtnici roj n su: n, n, 3 n, 4 n, 5 n, 6 n, 7 n,... Zkon distriucije množenj prem zrjnju. + c = + c, + c = + c. Oznčimo s šesteroznmenksti roj s zdnim svojstvom kojemu je znmenk 0. Vrijedi zpis: = = = Broj koji smo doili višekrtnik je roj 7. ( ) =

25 Dokz 37 Dokži d je šesteroznmenksti prirodni roj, kojemu su prve tri znmenke međusono jednke i preostle tri tkođer međusono jednke, djeljiv s. Z prirodn roj kžemo d je djeljiv s prirodnim rojem ko postoji prirodn roj q tko d vrijedi = q. Višekrtnici prirodnog roj su svi rojevi koji su djeljivi s tim rojem. Prirodni roj im eskončno višekrtnik. N primjer, višekrtnici roj n su: n, n, 3 n, 4 n, 5 n, 6 n, 7 n,... Zkon distriucije množenj prem zrjnju. + c = + c, + c = + c. Oznčimo s šesteroznmenksti roj s zdnim svojstvom kojemu je znmenk 0. Vrijedi zpis: ( ) = = = Broj koji smo doili višekrtnik je roj. 5

26 Dokz 38 Dokži d je četveroznmenksti roj kojemu je prv znmenk jednk četvrtoj, drug trećoj nužno djeljiv s. Z prirodn roj kžemo d je djeljiv s prirodnim rojem ko postoji prirodn roj q tko d vrijedi = q. Višekrtnici prirodnog roj su svi rojevi koji su djeljivi s tim rojem. Prirodni roj im eskončno višekrtnik. N primjer, višekrtnici roj n su: n, n, 3 n, 4 n, 5 n, 6 n, 7 n,... Zkon distriucije množenj prem zrjnju. + c = + c, + c = + c. Oznčimo s četveroznmenksti roj s zdnim svojstvom kojemu je znmenk 0. Vrijedi zpis: ( ) = = = Broj koji smo doili višekrtnik je roj. 6

27 Dokz 39 Zdn je kružnic k i točk T izvn nje. Iz točke T povučene su tngente n k i nek one dodiruju k u točkm D i D. Dokži d je TD = TD. Trokut je dio rvnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo strnice trokut. Prvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 90º). Strnice koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strnic je hipotenuz prvokutnog trokut. Kružnic je skup svih točk u rvnini jednko udljenih od zdne točke (središt). Tngent je prvc koji dodiruje krivulju (kružnicu) u jednoj točki. Sukldnost trokut Kžemo d su dv trokut sukldn ko postoji pridruživnje vrhov jednog vrhovim drugog tko d su odgovrjući kutovi jednki, odgovrjuće strnice jednkih duljin. α = α, β = β, γ = γ, =, =, c = c. Prvi poučk sukldnosti (S S S) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u sve tri strnice. Drugi poučk sukldnosti (S K S) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u dvije strnice i kutu između njih. Treći poučk sukldnosti (K S K) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u jednoj strnici i o kut n toj strnici. Četvrti poučk sukldnosti (S S K) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u dvije strnice i kutu nsuprot većoj strnici. k D S T D S slike vidi se: SD = SD, SD T = SD T = 90. Nek su točke D i D dirlišt kružnice i tngent. Uočimo d su trokuti SD T i SD T sukldni po S S K poučku o sukldnosti trokut ( ST im je zjedničk strnic, SD = SD, SD T = SD T = 90 ). Prem tome je TD = TD. 7

28 Dokz 40 Dokži d z sve, R vrijedi + +. Z relni roj x njegov je psolutn vrijednost (modul) roj x koji određujemo n ovj nčin: x, x 0 x = x, x < 0. Ako je roj x pozitivn ili nul, td je on jednk svojoj psolutnoj vrijednosti. Z svki x, x 0, vrijedi x = x. Ako je x negtivn roj, njegov psolutn vrijednost je suprotn roj x koji je pozitivn. Z svki x, x < 0, je x = x. Svojstvo psolutne vrijednosti: x = x. Kvdrt zroj: Drugi korijen: Kvdrirnje drugog korijen:,. ( + ) = = ( + ) =, R. ( ) =, 0. Proširiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk pomnožiti istim rojem rzličitim od nule i jedinice n =, n 0, n. n Zrjnje rzlomk jednkih nzivnik: =, = +. n n n n n n Svki cijeli roj je rcionln roj: n n n =, = n. Množenje rzlomk: c c =. d d Svojstvo potencije: =, =. Množenje potencij jednkih z: n m n + m =, n + m n m =..inčic ( )

29 .inčic = + + = = + = = + + = =

30 Dokz 4 x + x x x Dokži d z svko x R vrijedi jednkost + = x. Z relni roj x njegov je psolutn vrijednost (modul) roj x koji određujemo n ovj nčin: x, x 0 x = x, x < 0. Ako je roj x pozitivn ili nul, td je on jednk svojoj psolutnoj vrijednosti. Z svki x, x 0, vrijedi x = x. Ako je x negtivn roj, njegov psolutn vrijednost je suprotn roj x koji je pozitivn. Z svki x, x < 0, je x = x. Svojstvo psolutne vrijednosti: x = x. Dijeljenje potencij jednkih eksponent: n n n n n =, = n. Kvdrt zroj: + = + +, + + = +. Kvdrt rzlike:,. ( ) = + + = ( ) Zrjnje rzlomk jednkih nzivnik: =, = +. n n n n n n Zkon distriucije množenj prem zrjnju. + c = + c, + c = + c. Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinice n =, n 0, n. n x + x x x ( x + x ) ( x x ) + = + = x + x x + x x x x + x = + = 4 4 x + x x + x + x x x + x x + x x + x + x x x + x = = = 4 4 ( ) ( x + x + x + x x + x x + x x + x ) = = = = =

31 x x x x x x = + = x = x = + = = = x. 3

32 Dokz 4 Dokži d u trokutu vrijedi : : c = : :, gdje su,, c duljine strnic, v, v, v c duljine v v v c visin trokut. Trokut je dio rvnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo strnice trokut. Visine su trokut dužine kojim je jedn krj vrh trokut, drugi sjecište okomice (koj prolzi promtrnim vrhom) s prvcem n kojem leži suprotn strnic trokut. Ploštin trokut izrčunv se po formuli v v, c v P = P =, P = c. Svojstvo trnzitivnosti relcije ''iti jednko'': = i = c = c. Omjer je količnik dviju istovrsnih veličin : = k ili = k, gdje je: prvi čln omjer, drugi čln omjer, k vrijednost (količnik) omjer. Vrijednost omjer ne mijenj se ko se prvi i drugi roj pomnože ili podijele istim rojem. ( ) : ( ) : = n : n : = : n : n. Ako postoji n jednostvnih omjer, tkvih d je : = k : 3 = k 3 : 4 = k 3... n : n = k n produženi omjer je : : 3 : 4 :... : n : n. Rzmjer ili proporcij je jednkost dvju jednkih omjer. Ako je : = k, c : d = k td je rzmjer ili proporcij : = c : d. Umnožk vnjskih člnov rzmjer i d jednk je umnošku unutrnjih člnov rzmjer i c. : = c : d d = c. Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinice n =, n 0, n. n 3

33 Oznčimo površinu trokut slovom P. Td je: v v P = / P = P = v v = P v v P P = = / P = v v P = c v c v P = c vc c vc = P P c = P = c / v = v : v : v : v vc : v v = = c v = c vc : c = vc : v : c = vc v : v v ( ) ( v vc ) ( c ) ( ) : = v v c : : c = v v : v v ( c ) ( c ) ( ) : : c = v v : v v : v v : : c = v vc : v vc : v v v v vc v v vc v v v c : : c = v vc : v vc : v v v v vc v v vc v v v c : : c = : :. v v v c 33

34 Dokz 43 Dokži ko je c 0, Svojstvo potencije: + + = td vrijedi ( + c) = ( + c). =, =. Množenje potencij jednkih z: n m n + m =, n + m n m =. Oduzimnje jednkosti: Dijeljenje potencij jednkih z: Zkon distriucije množenj prem zrjnju..inčic Iz + + c = 0 slijedi: + + c = 0 + c = + + c = 0 + c =. = i c = d c = d. n : m = n m. + c = + c, + c = + c. Td vrijedi: + c = ( + c) = ( + c) ( ) = ( ) = + c = = / =..inčic Iz + + c = 0 slijedi: + + c = 0 + c = + + c = 0 + c =. Sd je: ( ) ( ) [ c ] ( ) ( ) [ + c = ] ( c) ( + c). + c = + = = = = = = + = 3.inčic Polzimo od uvjet + + c = c = c = 0 / + + c = c = 0 c 0 c 0 / + + = + + = + + c = c = 0 oduzimmo + + c ( + + c) = 0 jednkosti + + c c = c c = 0 + c c = 0 + c = + c + c = + c. 34

35 Dokz 44 Dokži ko je + + c =,,, c > 0, td vrijedi c Aritmetičk sredin je već od geometrijske sredine: + + c 3 c. 3 Množenje rzlomk: c c =. d d Dijeljenje n tih korijen: n n n, n n = = n. Svojstvo rzlomk i njihovih recipročnih rzlomk: c d d c,,, c, d > 0. Množenje nejednkosti pozitivnim rojem:, c > 0 c c. Svki cijeli roj je rcionln roj: n n n =, = n. Iz nejednkosti ritmetičke i geometrijske sredine z tri roj, i c slijedi: c 3 c 3 c 3 c 3 c 3 3 c + + c 3 c uvjet c = c c + + c = c 3 c c 3 c 3 / c 35

36 Dokz 45 Dokži d z, > 0 vrijedi Drugi korijen: Dijeljenje drugih korijen: Svojstvo potencije: + +. td vrijedi c =, 0. =, =. =, =. Množenje potencij jednkih z: n m n + m =, n + m n m =. Drugi korijen pozitivnog roj je pozitivni roj koji pomnožen sm s soom dje roj. Vrijedi: = Zkon distriucije množenj prem zrjnju. Definicij nejednkosti: Korjenovnje nejednkosti: ( ). + c = + c, + c = + c. 0, < < 0. > 0. Množenje nejednkosti pozitivnim rojem:, c > 0 c c. Zdnu nejednkost preolikujemo u nejednkost čij je istinitost očit / ( ) ( ) 0 ( ) ( ) metod + 0 grupirnj Uvjerimo se u istinitost nejednkosti: ko je ko je < ( ) ( ) 0. 0 i 0

37 < 0 i < 0 > 0. 37

38 Dokz 46 Dokži d je kut između tetive i tngente kružnice, kojoj je dirlište u krjnjoj točki tetive, jednk oodnom kutu nd tom tetivom. Kružnic je skup svih točk u rvnini jednko udljenih od zdne točke (središt). Polumjer ili rdijus je dužin koj spj središte kružnice s ilo kojom točkom kružnice. Duljin polumjer oznčv se slovom r. Dužin koj spj dvije točke kružnice zove se tetiv. Tngent je prvc koji dodiruje krivulju u jednoj točki. Svki kut s vrhom n kružnici čiji krkovi sijeku kružnicu zovemo oodni kut. Svi su oodni kutovi nd dnim lukom kružnice sukldni. Svki kut s vrhom u središtu kružnice čiji krkovi sijeku kružnicu zovemo središnji kut. Središnji kut nd proizvoljnim kružnim lukom dv je put veći od oodnog kut nd istim lukom. Središnji kut β nd lukom kružnice jednk je dvostrukom oodnom kutu α nd tim istim lukom. α β β = α α = β Trokut je dio rvnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo strnice trokut. Trokut je geometrijski lik koji im tri strnice, tri kut i tri vrh. N temelju odnos među duljinm strnic trokut može iti: ) rznostrničn, ) jednkokrčn, 3) jednkostrničn. Kod jednkokrčnog trokut duljine dviju strnic su jednke. Strnice jednkih duljin zovemo krci trokut. Uočimo d su kutovi koji leže n trećoj strnici jednki zog činjenice d se nsuprot jednkim strnicm nlze jednki kutovi. Zroj svih kutov u trokutu je 80º. α + β + γ = 80. Z jednkokrčn trokut vrijedi: Zkon distriucije množenj prem zrjnju. N tngenti oderemo ilo koju točku P. Td je α + β = c = + c, + c = + c. 38

39 S A P PAS = PAB + BAS PAS = 90 Trokut ABS je jednkokrčn ( SA SB ) B PAB + BAS = 90 PAB = 90 BAS. = p z njegove kutove vrijedi: BAS + ASB = 80 BAS = 80 ASB BAS = 80 ASB /: Sd je: BAS = 90 ASB. PAB = 90 BAS PAB = ASB BAS = 90 ASB PAB = ASB PAB = ASB PAB = ASB. Kut PAB jednk je polovici središnjeg kut ASB, dkle, kut PAB jednk je oodnom kutu nd lukom BA. 39

40 Dokz 47 Iz točke T izvn kružnice k povučene su dvije seknte AB i CD; A, B, C, D k. Dokži d vrijedi TA TB = TC TD. Kružnic je skup svih točk u rvnini jednko udljenih od zdne točke (središt). Polumjer ili rdijus je dužin koj spj središte kružnice s ilo kojom točkom kružnice. Duljin polumjer oznčv se slovom r. Seknt je prvc koji zdnu krivulju ili plohu siječe rem u dvjem točkm i u njim nije tngent. Tngent je prvc koji dodiruje krivulju u jednoj točki. Svki kut s vrhom n kružnici čiji krkovi sijeku kružnicu zovemo oodni kut. Svi su oodni kutovi nd dnim lukom kružnice sukldni. Četverokut je dio rvnine omeđen s četiri dužine. Konveksni četverokuti su četverokuti kojim su svi kutovi mnji od 80. Tetivni četverokut je četverokut: čiji su vrhovi točke jedne kružnice, kojem se može opisti kružnic, čije su strnice tetive jedne kružnice, kojem je zroj nsuprotnih kutov jednk 80. A D δ α + γ = 80 α γ β + δ = 80 β B C Dv su kut suplementrn (suplementn) ko je njihov zroj jednk 80 0 (još kžemo d su ti kutovi sukuti). Trnzitivnost relcije ' = ': = i = c = c. Trokut je dio rvnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo strnice trokut. Trokut je geometrijski lik koji im tri strnice, tri kut i tri vrh. Rzmjer ili proporcij je jednkost dvju jednkih omjer. Ako je : = k i c : d = k, td je rzmjer ili proporcij : = c : d. Umnožk vnjskih člnov rzmjer i d jednk je umnošku unutrnjih člnov rzmjer i c. : = c : d d = c. Sličnost trokut Kžemo d su dv trokut sličn ko postoji pridruživnje vrhov jednog vrhovim drugog tko d su odgovrjući kutovi jednki, odgovrjuće strnice proporcionlne. c α = α, β = β, γ = γ, = = = k. c Omjer strnic sličnih trokut k zovemo koeficijent sličnosti. α β B α = β A 40

41 C C A c B A c B Prvi poučk sličnosti (K K) Dv su trokut sličn ko se podudrju u dv kut. Drugi poučk sličnosti (S K S) Dv su trokut sličn ko se podudrju u jednom kutu, strnice koje određuju tj kut su proporcionlne. Treći poučk sličnosti (S S S) Dv su trokut sličn ko su im sve odgovrjuće strnice proporcionlne. Četvrti poučk sličnosti (S S K) Dv su trokut sličn ko su im dvije strnice proporcionlne, podudrju se u kutu nsuprot većoj strnici. C D T A B Primijetimo d je kut ABD oodni kut nd lukom DA, kut DCA oodni kut nd lukom AD. Budući d je četverokut ABCD tetivni, vrijedi: ABD + DCA = 80 DCA = 80 ABD. Kut ACT je suplement kut DCA. ACT + DCA = 80 DCA = 80 ACT. Iz sustv jednkosti doije se: DCA = 80 ABD DCA = 80 ACT ABD = ACT. 4

42 D C T A B Uz to je kut DTB zjednički z o trokut TAC i TBD p prem prvom poučku sličnosti (K K) trokuti su slični, Iz rzmjer slijedi: TAC TBD. TA : TC = TD : TB TA TB = TC TD. 4

43 Dokz 48 Iz točke T izvn kružnice k povučene je tngent TD, D k, n tu kružnicu i seknt AB; A, B k. Dokži d je TD = TA TB. Kut između tetive i tngente kružnice, kojoj je dirlište u krjnjoj točki tetive, jednk je oodnom kutu nd tom tetivom. Seknt je prvc koji zdnu krivulju ili plohu siječe rem u dvjem točkm i u njim nije tngent. Tngent je prvc koji dodiruje krivulju u jednoj točki. Svki kut s vrhom n kružnici čiji krkovi sijeku kružnicu zovemo oodni kut. Svi su oodni kutovi nd dnim lukom kružnice sukldni. Trokut je dio rvnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo strnice trokut. Trokut je geometrijski lik koji im tri strnice, tri kut i tri vrh. Zroj svih kutov u trokutu je 80º. α + β + γ = 80. Sličnost trokut Kžemo d su dv trokut sličn ko postoji pridruživnje vrhov jednog vrhovim drugog tko d su odgovrjući kutovi jednki, odgovrjuće strnice proporcionlne. c α = α, β = β, γ = γ, = = = k. c Omjer strnic sličnih trokut k zovemo koeficijent sličnosti. C C A c B A c B Prvi poučk sličnosti (K K) Dv su trokut sličn ko se podudrju u dv kut. Drugi poučk sličnosti (S K S) Dv su trokut sličn ko se podudrju u jednom kutu, strnice koje određuju tj kut su proporcionlne. Treći poučk sličnosti (S S S) Dv su trokut sličn ko su im sve odgovrjuće strnice proporcionlne. Četvrti poučk sličnosti (S S K) Dv su trokut sličn ko su im dvije strnice proporcionlne, podudrju se u kutu nsuprot većoj strnici. Rzmjer ili proporcij je jednkost dvju jednkih omjer. Ako je : = k i c : d = k, td je rzmjer ili proporcij : = c : d. Umnožk vnjskih člnov rzmjer i d jednk je umnošku unutrnjih člnov rzmjer i c. : = c : d d = c. Svojstvo potencije: =, =. 43

44 Množenje potencij jednkih z: n m n + m =, n + m n m =. D T A B Primijetimo d je krjnj točk D tetive DA ujedno dirlište tngente p je kut oodnom kutu nd tetivom DA. D TDA = DBA. TDA jednk T A B Kut BTD zjednički je kut z trokute ATD i BTD p su prem prvom poučku sličnosti (K K) ti trokuti slični, Iz rzmjer slijedi: ATD BTD. TA : TD = TD : TB TA TB = TD. 44

45 Dokz 49 Dokži d se oko prvokutnik može opisti kružnic. Četverokut je dio rvnine omeđen s četiri dužine. Konveksni četverokuti su četverokuti kojim su svi kutovi mnji od 80. Prlelogrmi su četverokuti kojim su po dvije nsuprotne strnice usporedne (prlelne). Prvokutnik je prlelogrm koji im rem jedn prvi kut (prvi kut im 90º). Četverokut je tetivni ko i smo ko je zroj nsuprotnih kutov jednk 80º. U tetivnom četverokutu vrijedi: α + γ = 80, β + δ = 80. C D δ γ α β A B Četverokut kojem se može opisti kružnic nziv se tetivni četverokut. δ γ α β Budući d su kutovi prvokutnik α = β = γ = δ = 90, slijedi: α + γ = 80, β + δ = 80. Prvokutnik je tetivni četverokut p se oko njeg može opisti kružnic. 45

46 Dokz 50 Dokži d se romu može upisti kružnic. Četverokut je dio rvnine omeđen s četiri dužine. Konveksni četverokuti su četverokuti kojim su svi kutovi mnji od 80. Prlelogrmi su četverokuti kojim su po dvije nsuprotne strnice usporedne (prlelne). Rom je prlelogrm koji im pr prlelnih strnic. im dv pr usporednih (prlelnih) strnic nsuprotne strnice su jednke duljine im sve četiri strnice jednke duljine dijgonle se rspolvljju dijgonle su međusono okomite dijgonle su simetrle kutov suprotni kutovi su jednki kutovi uz svku strnicu suplementni su može se upisti kružnic Četverokut kojemu sve četiri strnice dirju jednu kružnicu nziv se tngencijlni četverokut. Četverokut je tngencijlni ko i smo ko su zrojevi duljin suprotnih strnic međusono jednki. c d + c = + d. Strnice rom su:,,, p su zrojevi duljin nsuprotnih strnic jednki. =. Rom je tngencijlni četverokut. 46

47 Dokz 5 Ako je n = p, n = q te n n = p q, ond je : = : =... = n : n = p : q. Dokži! Kvdrt relnog roj je nenegtivn roj: 0, R, + = 0 = = 0. Kvdrt rzlike: Zrjnje jednkosti:,. ( ) = + + = ( ) =, c = d + c = + d. Rzmjer ili proporcij je jednkost dvju jednkih omjer. Ako je : = k i c : d = k, td je rzmjer ili proporcij : = c : d. Umnožk vnjskih člnov rzmjer i d jednk je umnošku unutrnjih člnov rzmjer i c. : = c : d d = c. Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinice n =, n 0, n. n n = p n = p / q n = q n = q / p n n = p q n n = p q / ( p q) q + q n q = p q p + p n p = q p p q p q... n n p q = p q zrojimo jednkosti q + q n q + p + p n p p q p q... n n p q = p q + p q p q q + q n q + p + p n p p q p q... n n p q = p q + p q p q q + q n q + p + p n p 47

48 ... n n p q 0 q p q + p + q p q + p ( n q n n p q + n p ) = 0 ( q p ) + ( q p ) ( n q n p ) = 0 q = p / 0 q q p = q = p q p = 0 q = p q = p / q n q n p = 0 n q = n p n q = n p / n q p = q : = p : q p = : = p : q : :... : p : q. q = = n n = n : n = p : q n p = n q 48

49 Dokz 5 Dokži d je z = z z. Kompleksn roj je roj olik z = x + y i, gdje su x i y relni rojevi, i imginrn jedinic. Broj x zove se relni dio kompleksnog roj z, roj y imginrni dio kompleksnog roj z. Pišemo: x = Re z, y = I m z. Stndrdni ili lgerski olik kompleksnog roj je olik z = x + y i, gdje su x i y relni rojevi. Z kompleksne rojeve x + y i i x y i kžemo d su kompleksno konjugirni jedn drugome. Simol konjugirnj jest povlk iznd roj koji se konjugir: z = x + y i z = x y i. Modul ili psolutn vrijednost kompleksnog roj z = x + y i definir se formulom Kvdrirnje drugog korijen: z = x + y. Rzlik kvdrt: ( ) =, 0. = + + =., Množenje potencij jednkih eksponent: n n n n n n =, =. Kvdrt imginrne jedinice: Nek je z = x + y i. Td je: z = x y i. z = x + y. i =, = i. Dlje slijedi: z = z z x + y = ( x + y i) ( x y i) x + y = x ( y i) x + y = x y i x + y = x y x + y = x + y. ( ) 49

50 Dokz 53 Dokži d + 7 nije rcionln roj. Skup prirodnih rojev oznčvmo slovom N, zpisujemo N =,, 3, 4, 5,..., n, n, n +,.... { } Broj olik, Z, N zove se rcionln roj. Ircionlni rojevi su oni rojevi koje ne možemo zpisti u oliku rzlomk. Broj je ircionln roj. Kvdrirnje drugog korijen: Kvdrt rzlike: Q. ( ) =, 0.,. ( ) = + + = ( ) Pretpostvimo d je + 7 = r i d je r Q. Td je: kvdrirmo + 7 = r 7 = r 7 = r / jednkost 7 = r 7 = r r + 7 = r r + ( ) r = r + 7 r = r 5 r = r 5 / r r 5 =. r Desn strn ove jednkosti je rcionln roj, što i znčilo d je rcionln roj. To je kontrdikcij jer je ircionln roj. Dkle, + 7 je ircionln roj. 50

51 Dokz 54 Dokži d je 3 ircionln roj. Skup prirodnih rojev oznčvmo slovom N, zpisujemo N =,, 3, 4, 5,..., n, n, n +,.... { } Z prirodni roj kžemo d je djeljiv s prirodnim rojem ko postoji prirodni roj q tko d vrijedi = q. Višekrtnici prirodnog roj su svi rojevi koji su djeljivi s tim rojem. Prirodni roj im eskončno višekrtnik. N primjer, višekrtnici roj n su: n, n, 3 n, 4 n, 5 n, 6 n, 7 n,... Prirodni rojevi dijele se n prne i neprne rojeve. Prni rojevi su oni rojevi koji su djeljivi s, neprni su oni koji nisu djeljivi s. D je proizvoljni prirodni roj m neprn znči d se može npisti u oliku m = neki prirodn roj +, m = k +, k N. ( ) D je proizvoljni prirodni roj m prn znči d se može npisti u oliku m = neki prirodn roj, m = k, k N. ( ) Prosti rojevi (prim rojevi) su prirodni rojevi djeljivi ez osttk smo s rojem i smi s soom, veći od roj. Prirodni rojevi koji su veći od roj, nisu prosti rojevi nzivju se složenim rojevim. Složen roj je prirodn roj veći od jedn koji je djeljiv rojem, smim soom i rem još jednim rojem. Svki se složeni roj može rstviti n proste fktore. Broj nije ni prost, ni složen roj. Reltivno prosti rojevi su prirodni rojevi koji nemju zjedničkih djelitelj (osim jedinice). Npr. rojevi 4 i 3. Brojevi i su reltivno prosti ko je njihov njveći zjednički djelitelj jednk, tj. rojevi i nemju zjedničkih fktor. Broj olik, Z, N zove se rcionln roj. Ircionlni rojevi su oni rojevi koje ne možemo zpisti u oliku rzlomk. Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinice n =, n 0, n. n Kvdrirnje drugog korijen: ( ) =, 0. Množenje potencij jednkih eksponent: n n n n n n =, =. Dijeljenje potencij jednkih eksponent: n n n n = n, n =. Svojstvo potencije: =, =. Množenje potencij jednkih z: n m n + m =, n + m n m =. 5

52 Skup rcionlnih rojev oznčvmo slovom Q. Pretpostvimo suprotno. Nek je Td možemo pisti 3 rcionln roj, m n = 3 Q. 3, gdje su m i n prirodni rojevi i pretpostviti d je rzlomk m n skrćen do krj. Dkle, prirodni rojevi m i n nemju zjedničkih fktor osim roj, oni su reltivno prosti. Kvdrirnjem i sređivnje doije se: m m m m m = 3 = 3 / = ( 3) = 3 = 3 / n m = 3 n. n n n n n N desnoj strni je roj djeljiv s 3 p i i m io djeljiv s 3, ond i roj m mor iti djeljiv s 3. To znči d je m moguće npisti ko m = 3 k, k N. Odtle opet izlzi m = 3 n m = 3 k 3 k = 3 n 9 k = 3 n 9 k = 3 n /: 3 [ ] ( ) 3 k = n. Zključujemo d i n moro iti djeljiv s 3, ond i roj n mor iti djeljiv s 3. Međutim, rojevi m i n po pretpostvci su reltivno prosti p nije moguće d o udu djeljiv s 3 (ne mogu imti zjedničke fktore). Pretpostvk d je 3 rcionln roj vodi do proturječj p 3 mor iti ircionln roj. 5

53 Dokz 55 + c Dokži d se roj (,, c, d N ) + d Oduzimnje rzlomk: c d c =. d d Zkon distriucije množenj prem zrjnju. c nlzi po svojoj vrijednosti između rojev i. d + c = + c, + c = + c. Ako je roj veći od roj, td vrijedi: > > 0. Pretpostvimo li d je + c c između rojev i + d d rzlike: + c + d c + c d + d morju iti suprotnih predznk. Provjerimo! ( d ) ( d ) ( d ) + c + d + c + d c + d c = = = = + d d c = ( + d ) c + c c ( + d ) d ( + c) c + c d d d c c + c d d d c = = = = d + d d ( + d ) d ( + d ) d ( + d ) c d ( d c) d c = = = d ( + d ) d ( + d ) d ( + d ). 53

54 Dokz 56 Dokži d je log 3 ircionln roj. Logritm roj po zi je roj c kojim tre potencirti zu d se doije roj. Mnemotehničko prvilo z pmćenje osnovne veze eksponencijlne i logritmske funkcije: c c log = c log = = Skup prirodnih rojev oznčvmo slovom N, zpisujemo N =,, 3, 4, 5,..., n, n, n +,.... { } Z prirodni roj kžemo d je djeljiv s prirodnim rojem ko postoji prirodni roj q tko d vrijedi = q. Višekrtnici prirodnog roj su svi rojevi koji su djeljivi s tim rojem. Prirodni roj im eskončno višekrtnik. N primjer, višekrtnici roj n su: n, n, 3 n, 4 n, 5 n, 6 n, 7 n,... Prirodni rojevi dijele se n prne i neprne rojeve. Prni rojevi su oni rojevi koji su djeljivi s, neprni su oni koji nisu djeljivi s. D je proizvoljni prirodni roj m neprn znči d se može npisti u oliku m = neki prirodn roj +, m = k +, k N. ( ) D je proizvoljni prirodni roj m prn znči d se može npisti u oliku m = neki prirodn roj, m = k, k N. ( ) Prosti rojevi (prim rojevi) su prirodni rojevi djeljivi ez osttk smo s rojem i smi s soom, veći od roj. Prirodni rojevi koji su veći od roj, nisu prosti rojevi nzivju se složenim rojevim. Složen roj je prirodn roj veći od jedn koji je djeljiv rojem, smim soom i rem još jednim rojem. Svki se složeni roj može rstviti n proste fktore. Broj nije ni prost, ni složen roj. Reltivno prosti rojevi su prirodni rojevi koji nemju zjedničkih djelitelj (osim jedinice). Npr. rojevi 4 i 3. Brojevi i su reltivno prosti ko je njihov njveći zjednički djelitelj jednk, tj. rojevi i nemju zjedničkih fktor. Broj olik, Z, N zove se rcionln roj. Ircionlni rojevi su oni rojevi koje ne možemo zpisti u oliku rzlomk. Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinice n =, n 0, n. n Potencirnje potencije: n m m n n m n m n m m n = =, = =. Potencirnje jednkosti: Pretpostvimo suprotno. Nek je log 3 n n = =. rcionln roj, 54

55 Td možemo pisti log 3 Q. m n = log 3, gdje su m i n prirodni rojevi i pretpostviti d je rzlomk m n skrćen do krj. Dkle, prirodni rojevi m i n nemju zjedničkih fktor osim roj, oni su reltivno prosti. Dlje slijedi: m potencirmo m m n m log 3 n 3 3 / n n = = n = n = 3 n rojem n m n = 3. To nije istin. Broj m je prn roj, roj 3 n je neprn. Dkle, log 3 ircionln roj. nije rcionln, već 55

56 Dokz 57 Dokži d je roj ridov svke pirmide prn. Pirmid je geometrijsko tijelo omeđen mnogokutim osnovkom (zom) i trokutim koji čine poočke (strne) pirmide. Poočke spjju vrh pirmide s ridom osnovke. Visin pirmide udljenost je vrh pirmide od rvnine njezine ze. Skup prirodnih rojev oznčvmo slovom N, zpisujemo N =,, 3, 4, 5,..., n, n, n +,.... { } Prirodni rojevi dijele se n prne i neprne rojeve. Prni rojevi su oni rojevi koji su djeljivi s, neprni su oni koji nisu djeljivi s. D je proizvoljni prirodni roj m prn znči d se može npisti u oliku ( ) m = neki prirodn roj, m = k, k N. Pirmid kojoj je osnovk (z) n terokut (mnogokut) im n osnovki n ridov, još n očnih ridov povezuje njezin vrh s vrhovim ze. Pirmid im ukupno n + n = n ridov. 56

57 Dokz 58 Dokži d je roj ridov ilo koje prizme djeljiv s 3. Prizm je geometrijsko tijelo omeđeno dvm sukldnim poligonim (mnogokutim) i prlelogrmim. Osnovke (ze) prizme su poligoni, prlelogrmi čine poočje. Ako je osnovk prviln poligon i ko je prizm usprvn, on je prviln. Prizm kojoj je poočni rid okomit n osnovku zove se usprvn. Duljin visine prizme jednk je udljenosti između rvnin u kojim leže osnovke. Skup prirodnih rojev oznčvmo slovom N, zpisujemo N =,, 3, 4, 5,..., n, n, n +,.... { } Z prirodni roj kžemo d je djeljiv s prirodnim rojem ko postoji prirodni roj q tko d vrijedi = q. Višekrtnici prirodnog roj su svi rojevi koji su djeljivi s tim rojem. Prirodni roj im eskončno višekrtnik. N primjer, višekrtnici roj n su: n, n, 3 n, 4 n, 5 n, 6 n, 7 n,... Prizm kojoj je osnovk (z) n terokut (mnogokut) im n svkoj osnovki n ridov. još n očnih ridov povezuje vrhove donje i gornje osnovke. Prizm im ukupno n + n + n = 3 n ridov. 57

58 Dokz 59 Dokži d su dijgonle prvokutnik međusono jednkih duljin. Četverokut je dio rvnine omeđen s četiri dužine. Konveksni četverokuti su četverokuti kojim su svi kutovi mnji od 80. Prlelogrmi su četverokuti kojim su po dvije nsuprotne strnice usporedne (prlelne). Prvokutnik je prlelogrm koji im rem jedn prvi kut (prvi kut im 90º). Trokut je dio rvnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo strnice trokut. Sukldnost trokut Kžemo d su dv trokut sukldn ko postoji pridruživnje vrhov jednog vrhovim drugog tko d su odgovrjući kutovi jednki, odgovrjuće strnice jednkih duljin. α = α, β = β, γ = γ, =, =, c = c. Prvi poučk sukldnosti (S S S) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u sve tri strnice. Drugi poučk sukldnosti (S K S) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u dvije strnice i kutu između njih. Treći poučk sukldnosti (K S K) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u jednoj strnici i o kut n toj strnici. Četvrti poučk sukldnosti (S S K) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u dvije strnice i kutu nsuprot većoj strnici. D C D C A B A B Uočimo d su trokuti ABC i ABD sukldni po S K S poučku o sukldnosti trokut ( AB im je zjedničk strnic, BC = AD, ABC = DAB = 90 ). Prem tome je AC = BD. 58

59 Dokz 60 Dokži d je visin n hipotenuzu prvokutnog trokut geometrijsk sredin odsječk p i q što ih njezino nožište određuje n hipotenuzi, tj. d je v = p q. Trokut je dio rvnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo strnice trokut. Zroj kutov u trokutu je 80. α + β + γ = 80. Visine su trokut dužine kojim je jedn krj vrh trokut, drugi sjecište okomice (koj prolzi promtrnim vrhom) s prvcem n kojem leži suprotn strnic trokut. Prvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 90º). Strnice koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strnic je hipotenuz prvokutnog trokut. Pitgorin poučk Trokut ABC je prvokutn ko i smo ko je kvdrt nd hipotenuzom jednk zroju kvdrt nd ktetm. Kvdrt zroj: + = + +, + + = +. Geometrijsk sredin Geometrijsk sredin je sttistički pojm koji z neki skup oznčv n ti korijen umnošk svih člnov skup. Z > 0 i > 0 geometrijsk sredin iznosi: G =. Sličnost trokut Kžemo d su dv trokut sličn ko postoji pridruživnje vrhov jednog vrhovim drugog tko d su odgovrjući kutovi jednki, odgovrjuće strnice proporcionlne. c α = α, β = β, γ = γ, = = = k. c Omjer strnic sličnih trokut k zovemo koeficijent sličnosti. C C A c B A c B Prvi poučk sličnosti (K K) Dv su trokut sličn ko se podudrju u dv kut. Drugi poučk sličnosti (S K S) Dv su trokut sličn ko se podudrju u jednom kutu, strnice koje određuju tj kut su proporcionlne. Treći poučk sličnosti (S S S) Dv su trokut sličn ko su im sve odgovrjuće strnice proporcionlne. Četvrti poučk sličnosti (S S K) Dv su trokut sličn ko su im dvije strnice proporcionlne, podudrju se u kutu nsuprot većoj strnici. Svojstvo potencije: =, =. 59

60 Množenje potencij jednkih z: n m n + m =, n + m n m =. Rzmjer ili proporcij je jednkost dvju jednkih omjer. Ako je : = k, c : d = k td je rzmjer ili proporcij : = c : d. Umnožk vnjskih člnov rzmjer i d jednk je umnošku unutrnjih člnov rzmjer i c. : = c : d d = c. C v S slike vidi se: A q D c AB = c, BC =, CA =, DC = v, AD = q, DB = p AD + DB = AB, q + p = c.inčic Nek je trokut ABC prvokutn i nek nožište D visine spuštene iz vrh C dijeli hipotenuzu n dijelove duljin p i q. Td iz prvokutnih trokut CDB i ADC pomoću Pitgorin poučk slijedi: BC = DB + DC = p + v zrojimo q v jednkosti AC = AD + DC = + trokut ABC je prvokutn + = p + v + q + v + = c c = p + q + v c = p + p q + q p q + v c = p + p q + q p q + v c = p + q p q + v p + q = c c = c p q + v c = c p q + v [ ] 0 = p q + v v = p q v = p q /: v = p q.inčic v = p q / v = p q. p ( ) B 60

61 C v A q D Trokuti ADC i DBC su slični po K K poučku o sličnosti trokut ( CAD = BCD, ( DCA = DBC ) p vrijedi rzmjer c DC : AD = DB : DC v : q = p : v v = p q v = p q / v = p q. p B 6

62 Dokz 6 Dokži ko je R, ond je <. + Kvdrt relnog roj je nenegtivn roj. Zkon distriucije množenj prem zrjnju. 0, R. + c = + c, + c = + c. Množenje nejednkosti pozitivnim rojem:, c > 0 c c. Svojstvo nejednkosti:, c R + c + c, <, c R + c < + c. Budući d je + > 0, slijedi: < < / ( + ) ( + ) < < + < + / < < + < +. Zdn nejednkost preolikovn je u ekvivlentnu nejednkost koj je očit. 6

63 Dokz 6 Trokut ABC jednkokrčn je i vrijedi AD Dokži d su trokuti ADC i EBC sukldni. = EB pri čemu su točke E i D n strnici AB. Trokut je dio rvnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo strnice trokut. Nsuprot jednkim strnicm trokut nlze se jednki kutovi. Trokute dijelimo: prem odnosu među duljinm strnic prem kutovim rznostrničn trokut jednkokrčn trokut jednkostrničn trokut šiljstokutn trokut tupokutn trokut prvokutn trokut. Kod jednkokrčnog trokut duljine dviju strnic su jednke. Strnice jednkih duljin zovemo krcim trokut. Sukldnost trokut Kžemo d su dv trokut sukldn ko postoji pridruživnje vrhov jednog vrhovim drugog tko d su odgovrjući kutovi jednki, odgovrjuće strnice jednkih duljin. α = α, β = β, γ = γ, =, =, c = c. Prvi poučk sukldnosti (S S S) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u sve tri strnice. Drugi poučk sukldnosti (S K S) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u dvije strnice i kutu između njih. Treći poučk sukldnosti (K S K) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u jednoj strnici i o kut n toj strnici. Četvrti poučk sukldnosti (S S K) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u dvije strnice i kutu nsuprot većoj strnici. C A E D B C C A E D B A E D Pretpostvili smo d je trokut ABC jednkokrčn, to znči B 63

64 AC = BC, CAB = ABC. Uočimo d su trokuti ADC i EBC sukldni po S K S poučku o sukldnosti trokut ( AC = BC, AD = EB, CAB = ABC. ). 64

65 Dokz 63 Dokži d je funkcij g definirn ko ( ) Z funkciju f : D f R ( ) + ( ), :, f x f x g x = f R prn funkcij. kžemo d je prn ko z svki x D f vrijedi ( ( )) ( ) f ( x) = f ( x). f x + f x f x + f x f x + f x g ( x) = g ( x) = g ( x) = g ( x) = g ( x). 65

66 Dokz 64 Dokži d je funkcij h definirn ko ( ) funkcij. Z funkciju f : D f R ( x ) ( ), :, f f x h x = f R neprn kžemo d je neprn ko z svki x D f vrijedi Zkon distriucije množenj prem zrjnju. ( ) ( ( )) f ( x) = f ( x). + c = + c, + c = + c. f x f x f x f x f x f x h( x) = h( x) = h( x) = h( x) = h( x). 66

67 Dokz 65 Dokži d se svk funkcij f : R R može prikzti ko zroj prne i neprne funkcije. Z funkciju f : D f R kžemo d je prn ko z svki x D f vrijedi f ( x) = f ( x). Z funkciju f : D f R kžemo d je neprn ko z svki x D f vrijedi f ( x) = f ( x). Zrjnje rzlomk jednkih nzivnik: =, = +. n n n n n n U dokzu 63 i 64 pokzli smo d je funkcij g ( x) ( ) h x = ( x) ( ) f f x ( ) + ( ) f x f x = prn, funkcij neprn. Prikžimo proizvoljnu funkciju f n sljedeći nčin: f x + f x + f x f x f x + f x f x f x f ( x) = f ( x) = + f ( x) = g ( x) + h( x) i g je prn, h neprn funkcij. 67

68 Dokz 66 Dokži ko je P period od funkcij f i g, ond je P period i od funkcij α f + β g, f g, f, g ( g ( x) 0, x R) gdje su α i β ilo koji relni rojevi. Periodičn funkcij Ako z funkciju f : D f R postoji P > 0 tkv d je f ( x + P) = f ( x). z svki x D, td funkciju f nzivmo periodičn funkcij. f Pozitivni rojevi P z koje vrijedi f ( x + P) = f ( x) nzivju se periodi funkcije. Ako postoji njmnji tkv pozitivni roj P, td se P nziv temeljni period. ( α f + β g)( x + P) = α f ( x + P) + β g ( x + P) = f je periodičn funkcij, f ( x + P) = f ( x) = = α f ( x) + β g ( x) = ( α f + β g)( x). g je periodičn funkcij, g ( x + P) = g ( x) ( f g)( x + P) = f ( x + P) g ( x + P) = f je periodičn funkcij, f ( x + P) = f ( x) = = f ( x) g ( x) = ( f g)( x). g je periodičn funkcij, g ( x + P) = g ( x) f f ( x + P) ( x + P) = = g g ( x + P) f je periodičn funkcij, f ( x + P) = f ( x) f ( x) f = = = ( x). g je periodičn funkcij, g ( x + P) = g ( x) g ( x) g 68

69 Dokz 67 Dokži ko je P period od f, td je i n P period od f, n N. Skup prirodnih rojev oznčvmo slovom N, zpisujemo N =,, 3, 4, 5,..., n, n, n +,.... Zkon distriucije množenj prem zrjnju. Periodičn funkcij Ako z funkciju f : D f R { } + c = + c, + c = + c. postoji P > 0 tkv d je f ( x + P) = f ( x). z svki x D f, td funkciju f nzivmo periodičn funkcij. Pozitivni rojevi P z koje vrijedi f ( x + P) = f ( x) nzivju se periodi funkcije. Ako postoji njmnji tkv pozitivni roj P, td se P nziv temeljni period. Z n = tvrdnj je očit. Nek je n. Sd slijedi: f ( x + P) = f ( x). ( ) f ( x + n P) = f ( x + n P P + P) = f ( x + ( n ) P + P) = f ( x + ( n ) P) + P = = [ P je period ] = f ( x + ( n ) P) = f ( x + n P P) = f ( x + n P P + P) = f ( x ( n ) P P) f (( x ( n ) P) P) [ P je period ] f ( x ( n ) P) ( ) ( 3 ) ( ( 3) ) ( ( 3) ) = + + = + + = = + = ( ) = f x + n P P = f x + n P P + P = f x + n P + P = f x + n P + P = nkon končno mnogo = [ P je period ] = f ( x + ( n 3) P) = = ovkvih kork (( ) ) [ P je period ] ( x P) f ( x) = f x + P = f x + P + P = f x + P + P = = f + =. 69

70 Dokz 68 Dokži identitet ( + + c) = + + c + + c + c. Zkon socijcije z zrjnje: Kvdrt zroj: ( + ) + c = + ( + c).,. ( + ) = = ( + ) Zkon distriucije množenj prem zrjnju. + c = + c, + c = + c. + + c = + + c = c + c = ( ) (( ) ) ( ) ( ) = c + c + c = + + c + + c + c. 70

71 Dokz 69 Dokži identitet ( + + c + d ) = + + c + d + + c + d + c + d + c d. Zkon socijcije z zrjnje: Kvdrt zroj: Množenje zgrd ( + ) + c = + ( + c).,. ( + ) = = ( + ) Zkon distriucije množenj prem zrjnju. ( + ) ( c + d ) = c + d + c + d. + c = + c, + c = + c = = = ( c d ) (( ) ( c d )) ( ) ( ) ( c d ) ( c d ) = c + d + c + d + c + c d + d = ( ) = c + d + c + d + c + c d + d = = + + c + d + + c + d + c + d + c d. 7

72 Dokz 70 Zdn je dužin AB i prvc p okomit n nju. Dokži d je rzlik kvdrt udljenosti ilo koje točke prvc p do točk A i B stln. Zkon distriucije množenj prem zrjnju. + c = + c, + c = + c. Trokut je dio rvnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo strnice trokut. Prvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 90º). Strnice koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strnic je hipotenuz prvokutnog trokut. Pitgorin poučk Trokut ABC je prvokutn ko i smo ko je kvdrt nd hipotenuzom jednk zroju kvdrt nd ktetm. Oduzimnje jednkosti: =, c = d c = d. T A N p B Uočimo prvokutne trokute ANT i TNB i uporimo Pitgorin poučk. AT = AN + NT oduzmemo jednkosti BT = NB + NT AT BT = AN + NT NB + NT ( ) AT BT = AN + NT NB NT AT BT = AN + NT NB NT Rzlik AN AT BT = AN NB. NB stln je jer su dužin AB i prvc p zdni. 7