Dinamika kristalne rešetke

Величина: px
Почињати приказ од странице:

Download "Dinamika kristalne rešetke"

Транскрипт

1 Dinamika kristalne rešetke V(r) Ako je r < a => sila nastoji uvećati r. a r Ako je r > a => sila nastoji umanjiti r. a je ravnotežna vrijednost kada je sila 0. Sila koja svojim djelovanjem nastoji uspostaviti ravnotežno vrijednost zovemo povratnom (restitucijskom) silom. Sile koje djeluju među ionima (atomima) u kristalu su povratne.

2 Ako udaljenost među atomima nije ravnotežna, tada će atomi titrati oko ravnotežnih položaja. U tom je titranju uskladištena unutrašnja energija kristala koju tijelo ima na konačnoj temperaturi. Ali titranje postoji i na apsolutnoj nuli - ono nikad ne prestaju, a razlog su relacije neodređenosti: x p h

3 Linearna jednoatomska rešetka a a a a a a a a u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 a+u 1 -u 0 a+u 2 -u 1 a+u 3 -u 2 a+u 4 -u 3 a+u 5 -u 4 a+u 6 -u 5 a+u 7 -u 6 a+u 8 -u 7 Potencijalna energija: U = n V(r n r n+1 ) N V(a)+ n β 2 (r n r n+1 a) 2 gdje je: β = 2 V r 2 r=a.

4 Uvodimo nove koordinate: r n = n a+ u n u n je odstupanje od ravnotežne pozicije atoma. Ukupna energija: E = n M u 2 n 2 + β 2 (u n+1 u n ) 2 Jednadžbe gibanja: M ü n = E p u n = β(2u n u n+1 u n 1 ) Ovo je sustav vezanih diferencijalnih jednadžbi koji je potrebno riješiti.

5 Približno rješenje Pretpostavljamo da se pomaci atoma, u n, sporo mijenjaju od jednog do susjednog atoma (granica kontinuuma): u n±1 = u(r n±1 ) = u(r n ±a) u(r n )± u r a u r 2 a2 Sustav diferencijalnih jednadžbi prelazi u parcijalnu diferencijalnu jednadžbu: Mü = β a 2 2 u r 2, koja se uobičajeno zapisuje u ovom obliku: 1 v u t 2 2 u x 2 = 0 Radi se o 1D valnoj jednadžbi.

6 1D valna jednadžba ima ekzaktno rješenje: u(x,t) = f(x v 0 t) + g(x+v 0 t), gdje su f i g proizvoljne funkcije. Funkcija f(x v 0 t) opisuje valni paket koji se giba brzinom v 0, a g(x+v 0 t) opisuje valni paket koji se giba brzinom -v 0. f(x v 0 t) v 0 x

7 1D valna jednadžba i naš početni vezani sustav jednadžbi su linearne jednadžbe. Ako imamo dva posebna rješenja, onda je njihov zbroj, razlika, odnosno svaka linearna kombinacija također rješenje. Linearnim kombinacijama jednostavnijih rješenja moguće je naći složenija rješenja. Rješavanje linearne jednadžbe svodi se na traženje skupa jednostavnijih i međusobno nezavisnih rješenja. Sva ostala rješenja moguće je prikazati kao linearnu kombinaciju ovih jednostavnijih rješenja. Opće rješenje: f(x,t) = i f i (x,t)

8 Uobičajeno je da se kod valne jednadžbe, kao jednostavna rješenja biraju ravni valovi: u(x,t) = A e i(kx ωt) Svako drugo rješenje može se prikazati kao linearna kombinacija ravnih valova. Uvrštavanjem ravnog vala u valnu jednadžbu nalazimo vezu između valnoh broja (valne duljine), k, i frekvencije titranja, ω: ω 2 = v 2 0 k 2 => ω = ±v 0 k Brzina širenja vala (valnog paketa, poremećaja) jednaka je: βa 2 v 0 = M Tipična brzina širenja vala cca, 10 3 m/s ili 1 km/s. Svi ravni valovi valne jednadžbe imaju istu brzinu.

9 Rješenje sustava linearnih diferencijalnih jednadžbi, M ü n = β(2u n u n+1 u n 1 ) također se može tražiti u obliku jednostavnih rješenja kao što su ravni valovi: u n = A e i(kx n ωt) = A e i(kna ωt) Uvrštavanjem u sustav jednadžbi dobiva se veza između valnog broja i frekvencije: Odnosno: M ω 2 = 2β (1 cos(ka)) = 4βsin 2 ( ka 2 ) ω(k) = ± 4β M sin( ka 2 )

10 -v 0 k ω(k) v 0 k ω max Ovisnost frekvencije i valnog broja: 4β ω(k) = ± sin( ka M 2 ) - π a π a k Postoji maksimalni iznos valnog vektora k, jednak k max = π a. Tipično, k max 10 8 cm 1. β Frakvencija ima maksimalni iznos, jednak ω max = 2 M. Tipično ω max Hz (Hz = s 1 ). U području malih valnih vektora, k k max, izraz za frekvenciju se slaže s onim dobivenim iz valne jednadžbe.

11 Valni brojevi za sva ova tri vala razlikuju se za 2π (cijeli broj), a pri tome su a pomaci iona (crvene kuglice) isti. Uobičajeno je da se područje valnih vektora ograniči na prvu Brillouinovu zonu (Wigner-Seitzova ćelija u recipročnom prostoru) jer se s tim valnim vektorima može prikazati i onako bilo koja valna deformacija rešetke. U jednoj dimenziji to znači k π a

12 Grupna brzina Brzine ravnih valova koja su rješenja sustava jednadžbi linearne atomske rešetke nemaju istu brzinu širenja! - π a v(k) v max = v 0 π a k Uvodi se pojam grupne brzine: v(k) = dω β dk = a cos( ka M 2 ) Grupna brzina opisuje gibanje valnog paketa koji se sastoji od više valova različitih valnih duljina (valnih brojeva). Grupna brzina ima maksimalnu vrijednost za male k-ove, te pada na nulu za k = ± π a.

13 Prebrojavanje valnih brojeva Ako je kristal beskonačan, valni broj može biti bilo koji realni broj unutar intervala [ π a,π a ]. k se kontinuirano mijenja unutar tog intervala. Međutim ako je kristal konačnih dimenzija, skup mogućih vrijednosti valnog broja je konačan (prebrojiv). Broj valnih brojeva odgovara točno broju atoma u kristalu. Skup mogućih vrijednosti za valne duljine (valne brojeve) dobiva se iz rubnih uvjeta koje namećemo na valnu deformaciju kristala. Npr. uvjet može glasiti, deformacija u(rub kristala) = 0. Taj uvjet zadovoljavaju samo neke valne duljine (valni brojevi).

14 U fizici je uobičajeno koristiti tz. periodične rubne uvjete. Oni zahtijevaju da je deformacija kristala periodična funkcija čiji je period točno jednak dužini kristala. Izbor rubnih uvjeta ne utječe na konačne rezultate koji se tiču kristala kao cjeline (unutrašnja energija,... ). Pogodni izbor rubnih uvjeta, međutim, može pojednostaviti izvode, i to je glavni razlog izbora periodičnih rubnih uvjeta. Periodični rubni uvjeti za linearnu rešetku: u n+n = u n, gdje je N broj atoma u linearnoj rešetki.

15 Koje su posledice periodičnosti deformacije? Ako je: u n A e ikna => e ik(n+n)a e ikna Odnosno: kna = 2π cijeli broj Kako je Na = L duljina linearne rešetke, konačno se dobiva: k = 2π L i, i = 0,±1,±2,±3,... Ako se uzme u obzir da je k π, dobivamo ograničenje na izbor cijelih a brojeva: k = 2π L i π => i N a 2 Broj cijelih brojeva koji zadovoljavaju to svojstvo jednak je točno N, broju atoma u rešeci.

16 Zbrajanje po valnim brojevima Valni brojevi mogu se prikazati kao: k i = 2π L i, i = 0,±1,±2,...,±N 2 Razlika između dva susjedna valna broja: k = k i+1 k i = 2π L L 0 postaje nula za beskonačni sustav. U toj granici moguće se zbrajanje po valnim brojevima zamjeniti s integracijom. dk F(k i ) k F(k) = L π a dk F(k) 2π i= N/2...N/2 π a

17 Titranje u 3D sustavu U tri dimenzije val se opisuje s tri valna broja, koja čine vektor: k = (kx,k y,k z ). Smjer valnog vektora je smjer širenja (gibanja) valova. Pomaci atoma mogu biti duž smjera širenja (valnog vektora) ili okomiti na njega. Govorimo o longitudinalnim titranjima ako je: u n k, odnosno o transverzalnim titranjima ako je: u n k. Za svaki k postoji jedno longitudinalno i dva transverzalna titranja. (Napomena: nije uvijek moguće razdvojiti longitudinalno od transverzalnog titranja.)