UVOD U DIFERENCIJALNU GEOMETRIJU

Транскрипт

1 UVOD U DIFERENCIJALNU GEOMETRIJU Željka Milin Šipuš, Stipe Vidak verzija 2.4 1

2 Poglavlje 1 Lokalna teorija krivulja 1.1 Krivulje - definicija i primjeri Intuitivno znamo što smatramo krivuljom. Pravac i kružnica su najjednostavnije krivulje s kojima smo se dosad sretali. Poznate su nam njihove jednadžbe u R 2, primjerice, implicitna jednadžba pravca, odnosno, kružnice radijusa r sa središtem u (p, q) Ax + By + C = 0, (x p) 2 + (y q) 2 = r 2. Poznate su nam i njihove parametarske jednadžbe, primjerice, koordinatni parametarski oblik jedadžbe pravca u ravnini koji prolazi točkom (p, q) i ima vektor smjera (a, b) i kružnice radijusa r sa središtem u (p, q) x = at + p, y = bt + q, t R, x = p + r cos t, y = q + r sin t, t [0, 2π. Općenito, krivulju možemo promatrati na dva načina: kao skup točaka (locus) u ravnini ili prostoru, odnosno, kao trag čestice u gibanju. U prvoj je situaciji, zapravo, opisujemo implicitnom jednadžbom, a u drugoj, vremenu t pridružujemo položaj čestice, te krivulju zadajemo parametarski. U diferencijalnoj geometriji krivulju obično definiramo na ovaj drugi način kao trag čestice, tj. kao glatku funkciju jednog parametra (zadanu koordinatnim parametarskim jednadžbama). Pokazat ćemo i da skup točaka definiran implicitnom jednadžbom lokalno možemo parametrizirati (i obrnuto). Iako krivulju zadajemo parametrizacijom, dakle, preslikavanjem, cilj nam je proučiti geometrijska svojstva krivulja, tj. ona svojstva koja ne ovise o parametrizaciji, nego o svojstvima definiranog skupa točaka. Definicija Krivulja (parametrizirana krivulja) c u R n je glatko preslikavanje s otvorenog intervala I = a, b R u R n c : a, b R n. 2

3 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 3 Za krivulje u R 3 (analogno u R 2, tj. R n ) pisat ćemo te za derivacije c(t) = (x(t), y(t), z(t)), dc (t) = ċ(t) = (ẋ(t), ẏ(t)), ż(t)), dt d 2 c (t) = c(t) = (ẍ(t), ÿ(t)), z(t)) dt2 itd. Slika krivulje c je podskup c(i) R n. U diferencijalnoj geometriji promatramo svojstva krivulje koja su vezana uz njezinu sliku c(i). Napomena. Krivulju možemo definirati i kao preslikavanje klase C k, štoviše i klase C 0, no u elementarnoj diferencijalnoj geometriji uobičajeno je promatrati glatke krivulje (odnosno krivulje klase C ). Primjer 1. Pravac c : R R n, c(t) = p + tq, p, q R n. Primjer 2. Kružnica c : [0, 2π R 2 radijusa r sa središtem u (p, q) c(t) = (p + r cos t, q + r sin t). Primjer 3. Neka je f : I R, I R, glatka funkcija. Tada je c : I R 2, c(t) = (t, f(t)) glatka krivulja. Drugim riječima, grafovi glatkih funkcija su krivulje. Primjerice, parabola (ili njezin dio) (f(t) = t 2, g(t) = t), sinusoida, (f(t) = sin t, g(t) = cos t), graf racionalne funkcije-hiperbola (f(t) = a t ), itd. Primjer 4. (Obična) cilindrična spirala c : R R 3 c(t) = (a cos t, a sin t, bt), a > 0 Slika 1.1: Desna (b > 0) i lijeva (b < 0) cilindrična spirala Primjer 5. Prostorna kubna parabola c : R R 3 c(t) = (t, t 2, t 3 ).

4 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 4 Slika 1.2: Prostorna kubna parabola Primjer 6. Vivijanijev prozor (Vivijanijeva krivulja) c : R R 3 c(t) = r(1 + cos t, sin t, 2 sin t 2 ). Slika 1.3: Vivijanijev prozor Promotrimo sada implicitno zadane krivulje. Neka je C skup točaka (krivulja) u ravnini C = {(x, y) R 2 : F (x, y) = 0}. Ukoliko promatramo {(x, y) R 2 : F (x, y) = c, c R}, krivulje definirane na taj način nazivamo nivo-krivuljama. Primjer 7. (Jedinična) kružnica zadana jednadžbom x 2 + y 2 = 1, elipsa x2 a 2 + y2 b 2 = 1, hiperbola x2 a 2 y2 b 2 = 1, parabola y2 = 2px. Općenitije, ukoliko je F polinom drugog stupnja u varijablama x, y, tada skup C nazivamo krivuljom drugog reda. U prostoru, krivulju zadajemo dvjema jednadžbama C = {(x, y, z) R 3 : F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0},

5 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 5 odnosno, kao presjek dviju ploha. Primjer 8. Pravac je presjek dviju ravnina A i x + B i y + C i z + D i = 0, i = 1, 2. Vivijanijev prozor je presjek sfere x 2 + y 2 + z 2 = 4r 2 i kružnog cilindra (x r) 2 + y 2 = r 2. Slika 1.4: Vivijanijev prozor kao presjek sfere i dirnog kružnog cilindra Pokazat ćemo, jednostavnosti radi samo za krivulje u R 2, da se svaka krivulja zadana implicitnom jednadžbom može lokalno parametrizirati. Uvedimo prvo pojam regularnih krivulja. Definicija Krivulju c : I R n nazivamo regularnom ako je ċ(t) 0, t I. Točku krivulje za koju je ċ(t) = 0 nazivamo singularnom. Teorem Neka je F : R 2 R glatka funkcija, te neka je C = {(x, y) R 2 : F (x, y) = 0} =. Nadalje, neka F/ x i F/ y nisu istovremeno 0 u točkama skupa C i neka je P C. Tada postoji otvoreni interval I R oko 0 i regularna (parametrizirana) krivulja c definirana na I takva da je c(0) = P i c(i) C. Dokaz. Neka je P = (x 0, y 0 ) i neka je bez smanjenja općenitosti F y (x 0, y 0 ) 0. Tada po Teoremu o implicitno zadanim funkcijama, postoji otvorena okolina I oko x 0 i otvorena okolina J oko y 0 i jedinstvena glatka funkcija f : I J takva da vrijedi F (x, f(x)) = 0, x I.

6 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 6 Kažemo da smo F (x, y) = 0 (lokalno) eksplicitno riješili po y te pišemo y = f(x). Sada stavimo c(t) = (t, f(t)) i pritom t namjestimo tako da je c(0) = (x 0, y 0 ) = P. regularna, ċ(t) = (1, f (t)) 0. Analogno bismo postupili u slučaju da je F x (x 0, y 0 ) 0. Dobivena krivulja c je očito Parametrizirana krivulja čija je slika sadržana u nekoj nivo-krivulji, naziva se parametrizacija (dijela) od C. Primjer 9. Parametrizacija gornjeg dijela jedinične kružnice x 2 + y 2 = 1 c(t) = (t, 1 t 2 ), t 1, 1. Točke t = ±1 smo isključili kako bi c bilo glatko preslikavanje. Donju polukružnicu parametriziramo sa c(t) = (t, 1 t 2 ), lijevu sa c(t) = ( 1 t 2, t), a desnu sa c(t) = ( 1 t 2, t). Pokažimo sada još i obratno, ako je c : I R 2 parametrizirana krivulja, tada možemo naći njezinu (lokalnu) implicitnu jednadžbu. To ćemo učiniti eliminacijom parametra. Teorem c : I R 2 regularna parametrizirana krivulja i neka je c(t 0 ) = (x 0, y 0 ) jedna njezina točka. Tada postoje otvoreni intervali U oko x 0 i V oko y 0 i glatka funkcija F : U V R za koju F/ x i F/ y nisu istovremeno nula na U V, te vrijedi c(i ) C, na nekom podskupu I I. Dokaz. Neka je c : I R 2, c(t) = (u(t), v(t)). Pišemo x = u(t), y = v(t). Kako je c regularna krivulja, ċ(t) 0, to je derivacija barem jedne koordinatne funkcije različita od 0 za neki parametar t 0 = 0. Primjerice, neka je u(t 0 ) 0. Tada, po Teoremu o inverznoj funkciji, postoji otvorena okolina U točke t 0 i otvorena okolina V točke u 0 = u(t 0 ), u(u) = V, te postoji glatka inverzna funkcija, t = u 1 (x) := h(x). Sada stavimo te je tražena funkcija F Očito je takoder F/ y 0 na U V. y = v(t) = v(h(x)), F (x, y) = y v(h(x)) = 0, x U, y V. Definicija Neka je c : I R n regularna krivulja. Tada vektor ċ(t) nazivamo tangencijalnim vektorom ili vektorom brzine krivulje c u točki c(t). Funkciju ċ(t) nazivamo brzinom krivulje c u točki c(t). Za krivulju c kažemo da je jedinične brzine ili da je parametrizirana duljinom luka ako je ċ(t) = 1, t I. Pravac koji prolazi točkom c(t) i kojemu je ċ(t) vektor smjera nazivamo tangentom krivulje c u točki c(t).

7 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 7 Definicija Funkcija duljine luka krivulje c od točke c(t 0 ) je funkcija s s(t) = t t 0 ċ(u) du, t 0 I. Duljina luka krivulje c : a, b R n je realan broj s = b a ċ(u) du Uočimo ako je c : a, b R n krivulja jedinične brzine (parametrizirana duljinom luka), tada je duljina luka od c jednaka duljini intervala I s = b a du = b a. Definicija (Parametrizirana) krivulja c : Ĩ R n naziva se reparametrizacijom (parametrizirane) krivulje c : I R n ako postoji glatki difeomorfizam φ : Ĩ I za koji vrijedi c = c φ tj. c( t) = c(φ( t)) = c(t), t Ĩ, t I. Uočimo da derivacija inverza d(φ 1 )(t) dt = (φ 1 ) (t) = 1 φ( t) postoji i neprekidna je, stoga je posebno φ( t) 0. Odavde slijedi da ako je c regularna krivulja, tada je i njena reparametrizacija c regularna. Zaista, korištenjem lančanog pravila za derivaciju kompozicije dobivamo c( t) = d( c)( t) d t = d(c(φ( t))) d t = d(c(t)) dφ( t) = ċ(t) φ( t) 0. (1.1.1) dt d t Reparametrizacija omogućuje promatrati isti skup c(i) = c(ĩ) Rn te utvrditi njegova geometrijska svojstva. Na primjer, takva su svojstva sljedeća: Propozicija Neka je c : Ĩ Rn reparametrizacija regularne krivulje c : I R n. (a) Neka je T c := ċ ċ, T c jedinično tangencijalno polje od c odnosno od c. Tada vrijedi T c ( t) = ±T c (t). (b) Duljina luka od c jednaka je duljini luka od c.

8 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 8 Dokaz. (a) Korištenjem (1.1.1) imamo T c = dc dt φ dc dt φ = dc dt φ dc dt φ = ±T c. (b) Tvrdnja slijedi zamjenom varijabli u integralu. Zaista, neka je I = a, b, Ĩ = ã, b. Za zadanu krivulju c : I R n, neka je c : Ĩ Rn njena reparametrizacija funkcijom (glatkim difeomorfizmom) φ : Ĩ I, c = c φ. Pokazali smo da je φ( t) 0, t Ĩ. Pretpostavimo da je φ( t) > 0, t Ĩ. Sada je Iz φ( t) = t slijedi d c( t) d t d t = te je, prema tome, integral jednak dc(t) dt φ( t) d t = φ( t)d t = dt, dc(t) dt dt. dc(t) φ( t)d t. dt Još trebamo pripaziti na granice integracije. Kako je φ : φ(ã) = a, φ( b) = b, pa smo dobili Ĩ I rastuća bijekcija, to je b ã d c( t) d t d t = b a dc(t) dt dt. U slučaju kad je φ( t) < 0 (φ je padajuća bijekcija), imamo dvaput negativni predznak jednom kod φ( t) = φ( t), a drugi put kod zamjene granica integracije. Teorem Svaka se regularna krivulja c može (re)parametrizirati jediničnom brzinom (duljinom luka). Dokaz. Neka je c : I R n, c = c(t), te neka je s = s(t) funkcija duljine luka od c, s(t) = t a ċ(u) du. Vrijedi ds(t) = ċ(t) > 0, dt pa je s = s(t) strogo rastuća funkcija. Nadalje, s = s(t) je glatka, primjerice, druga derivacija jednaka je d 2 s(t) ċ(t) c(t) dt 2 =. ċ(t)

9 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 9 Inverzna funkcija t = t(s) strogo rastuće funkcije s postoji i glatka je. Zaista, primjerice, njezina prva derivacija jednaka je Definirajmo sada dt ds = 1 ds dt = 1 ċ(t) > 0. c(s) = c(t(s)). Dakle, krivulju c smo reparametrizirali funkcijom t = t(s) ili, drugačije zapisano, funkcijom φ(s) = t. Sada je c(s) = ċ(t(s))t 1 (s) = ċ(t) ċ(t) = 1 te je c jedinične brzine. Napomena. Uobičajeno je derivaciju krivulje c po parametru duljine luka s označavati sa c, a derivaciju po općem parametru t sa ċ. Primjer 1. Reparametrizirajte pravac c(t) = pt + q, t R, duljinom luka. Primjer 2. Reparametrizirajte kružnicu c(t) = (p+r cos t, q+r sin t), t [0, 2π, duljinom luka. s(t) = t 0 r dt = rt, t(s) = s r c(s) = c(t(s)) = (p + r cos s r, q + r sin s ), s [0, 2rπ. r Primjer 3. Reparametrizirajte običnu cilindričnu spiralu c(t) = (a cos t, a sin t, bt), t R, duljinom luka. Primjer 4. Reparametrizirajte elipsu c(t) = (a cos t, b sin t), a, b > 0, t [0, 2π, duljinom luka. t s(t) = b 1 b2 a 2 b 2 sin 2 u du = b E(t, b2 a 2 b 2 ), 0 gdje je E(t, m) = t 0 1 m 2 sin 2 u du eliptički integral druge vrste. Primjer 5. Reparametrizirajte parabolu c(t) = (t, t 2 /2), t R, duljinom luka. s(t) = 1 2 (t 1 + t 2 + ln(t t 2 ))

10 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA Vektor smješten u točku U diferencijalnoj geometriji tangencijalni vektor ċ(t) krivulje c tretiramo kao vektor smješten u točki c(t) krivulje. Stoga uvodimo pojam vektora u točki. Definicija Vektor u točki p R n (ili tangencijalni vektor od R n u točki p) je ureden par (p, v), v R n. Pišemo i (p, v) = v p. Vektor v nazivamo vektorskim dijelom od v p. Skup svih vektora u točki p R n označavamo sa R n p ili T p R n. Vrlo često kad govorimo o vektoru u točki, govorimo samo o njegovom vektorskom dijelu. Skup svih vektora u točki R n p (T p R n ) organiziramo u unitarni prostor na prirodan način: definiramo zbrajanje vektora u točki p množenje vektora u točki p skalarom te skalarno množenje vektora u točki p v p + w p = (v + w) p, λv p = (λv) p, v p w p = v w. Unitarni prostor R n p (T p R n ) nazivamo prostorom vektora smještenih u točku p ili tangencijalni prostorom od R n u točki p. Vektore u točki u R 3 p možemo i vektorski množiti v p w p = (v w) p. Definicija Vektorsko polje X na otvorenom skupu U R n je preslikavanje koje svakoj točki p U pridružuje vektor u toj točki X(p) = (p, x) = x p. Vektorsko polje duž krivulje c : I R n je preslikavanje koje svakom t I pridružuje vektor y(t) u točki c(t). Primjer 1. Tangencijalno polje krivulje.

11 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 11 Zadaci 1. Pokažite da je s c(t) = ( 1 t2 1 + t 2, 2t 1 + t 2 ). dana parametrizacija jedinične kružnice (tzv. racionalna parametrizacija). Takoder pokažite da se t može geometrijski interpretirati kao koeficijent smjera pravca koji prolazi točkama ( 1, 0) i (0, t), te presjeca kružnicu x 2 + y 2 = 1 u navedenoj točki. 2. Odredite neku glatku parametrizaciju sljedećih krivulja: a) jednakostrane hiperbole x 2 y 2 = 1, b) elipse. 3. Je li c(t) = p + t 3 q, p, q R n, regularna reparametrizacija (standardno parametriziranog) pravca c(t) = p + tq? 4. Krivulja c(t) = (t 2, t 3 ), t R se naziva Neil-ova ili polukubna parabola. Utvrdite da nije regularna u ishodištu. Slika 1.5: Neilova parabola 5. Odredite implicitnu jednadžbu/e sljedećih krivulja u ravnini: a) c(t) = (sin(t 2 ), cos(t 2 )) b) c(t) = (sin 2 t, cos 2 t) c) c(t) = (t 2, sin t). 6. Dokažite da krivulja t c(t) = ( 1 + t 2 + t 4, t t 2 + t 4, t t 2 + t 4 ) leži na sferi sa središtem u točki S(0, 1 2, 0). Koliki je polumjer te sfere? 7. Odredite parametarske jednadžbe krivulje zadane implicitno jednadžbama gdje je a > 0 konstanta. x = 2a(1 e z a ), y = 2ax x 2,

12 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA Dokažite da krivulja c(t) = (at cos t, at sin t, a2 t 2 2p ), t R, a = const. > 0, leži na plohi x 2 + y 2 = 2pz, te da je projekcija te krivulje na xy-ravninu Arhimedova spirala. 9. Krivulja u R 2 zadana je parametarskim jednadžbama x(t) = 2t 1 t + 2, y(t) = t t + 2, t R \ { 2}. (i) Odredite dy dx. (ii) Napišite implicitnu jednadžbu dane krivulje. Koja je to krivulja? 10. Krivulja je zadana jedadžbom x 2 y 3 + 4x + 2y = 12. (i) Odredite dy dx. (ii) Pokažite da je tangenta na krivulju u točki (0,6) takoder tangenta i u točki (3,0). 11. Parametarske jednadžbe krivulje su x(t) = 3t t 2 2, y(t) = 6 t 2 2, t R \ { 2, 2}. a) Odredite dy dx. b) Odredite jednadžbu normale na danu krivulju u točki s parametrom t = U kojim je točkama tangenta krivulje c(t) = (3t t 3, 3t 2, 3t + t 3 ), t R, paralelna s ravninom 3x + y + z + 2 = 0? 13. Dokažite da krivulja c: R R 3 zadana s c(t) = (e t 2 cos t, e t 2 sin t, e t 2 ) leži na konusu x 2 + y 2 = z 2 i da siječe njegove izvodnice pod kutem π Krivulja je zadana jednadžbom (i) x 4 2x 2 + y 4 2y = 0, (ii) x 4 2x 2 + y 4 2y 2 = 0. Odredite neku njezinu (lokalnu) parametrizaciju (vidi Sliku 1.6) Slika 1.6: Krivulje (x 2 + y 2 1 2xy)(x 2 + y xy) = 0, (x 2 1) 2 + (y 2 1) 2 = 2

13 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA Vivijanijeva krivulja je presjek sfere x 2 +y 2 +z 2 = 4r 2 i kružnog cilindra (x r) 2 +y 2 = r 2. Odredite njezinu parameterizaciju. Uputa. Za kružni cilindar koristite parametrizaciju x = r+r cos u, y = r sin u, z = v, te je uvrstite u jednadžbu sfere. Izrazite v Vivijanijeva krivulja je presjek sfere x 2 +y 2 +z 2 = 4r 2 i kružnog stošca (x 2r) 2 +y 2 = z 2. Odredite njezinu parameterizaciju. 17. Je li krivulja c : [0, 2π R 3 c(t) = (cos t, cos 2 t, sin t) regularna? Odredite jed- Slika 1.7: Krivulja c(t) = (cos t, cos 2 t, sin t) nadžbu tangente te krivulje u točki t = π 4 (vidi Sliku 1.7). 18. Ispitajte regularnost krivulja a) c(t) = (sin 2 t, cos 2 t), t π 4, 3π 4 ; b) c(t) = (t, ch t), t R. 19. Odredite duljinu luka sljedećih krivulja a) astroide c(t) = (a cos 3 t, a sin 3 t), t [0, 2π ; b) jednog luka cikloide c(t) = (a(t sin t), a(1 cos t)), t [0, 2π ; 20. Izračunajte duljinu luka krivulje zadane implicitno s x 2 = 3y, 2xy = 9z od (0, 0, 0) do (3, 3, 2). 21. Krivulju c : R R 3 zadanu s c(t) = (ch t, sh t, t) reparametrizirajte tako da bude parametrizirana duljinom luka. 22. Reparametrizirajte krivulju c : R R 3, c(t) = (e t cos t, e t sin t, e t ) duljinom luka. 23. Dva broda gibaju se pravocrtno, konstantnim brzinama. Prvi kreće iz položaja ( 20, 20), a drugi iz (2, 0), Koordinate položaja izražene su u km. Brzina prvog broda je 40 km/h, a drugog 50 km/h. Vektor smjera prvog broda je (3, 4), a drugog ( 4, 3). (a) Hoće li se brodovi sresti? (b) Kolika je njihova najmanja udaljenost?

14 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA Zakrivljenost Za uvodenje pojma zakrivljenosti krivulje, motivaciju nam daju sljedeći intuitivni primjeri: 1. Pravac je krivulja zakrivljenosti Kružnica manjeg radijusa ima veću zakrivljenost od kružnice većeg radijusa. Propozicija Ako je tangencijalni vektor krivulje c : I R n konstantan vektor 0, tada je c(i) pravac (dio pravca). Dokaz. Neka je ċ(t) = a = const. 0, t I. Tada je c(t) = ċ(u)du = at + b, gdje je b R n konstantan vektor. Krivulja c je pravac s vektorom smjera a kroz točku b. Uočimo da ako je a = 0, tada krivulja c degenerira u točku. Prethodna propozicija ilustrira da je zakrivljenost krivulje geometrijski smisleno definirati kao realnu funkciju koja opisuje promjenu jediničnog tangencijalnog vektora krivulje. Ako u prethodnom primjeru za pravac odredimo (jedinični) tangencijalni vektor ċ = a a, tada je vektor c jednak nul-vektoru, te je takoder i c = 0. Dakle, funkcija c je dobar kandidat za funkciju zakrivljenosti. No, želimo osigurati i neovisnost zakrivljenosti krivulje o parametrizaciji. Da bismo izbjegli komplicirane veze pri reparametrizacijama, u definiciji se najprije ograničavamo na krivulje parametrizirane duljinom luka. Zatim ćemo zakrivljenost krivulje parametrizirane općim parametrom definirati tako da vrijedi κ(t) = κ(s) u točki c(t) = c(s) krivulje c i njezine reparametrizacije duljinom luka c. Postavljamo još jedan zahtjev na funkciju zakrivljenosti krivulje to je da ona ne smije ovisiti o položaju krivulje u prostoru, tj. da krivulja i njezina izometrična slika moraju imati jednake zakrivljenosti. Definicija Neka je c : I R 3 krivulja parametrizirana duljinom luka s. Funkciju κ : I R κ(s) = c (s) nazivamo zakrivljenošću (fleksijom) krivulje c u točki c(s). Propozicija Regularna krivulja je pravac (dio pravca) ako i samo ako je κ = 0.

15 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 15 Primjer 1. Zakrivljenost kružnice c(s) = (r cos s r, r sin s r, 0) radijusa r > 0 jednaka je 1 r. Primjer 2. Zakrivljenost obične cilindrične spirale c(s) = (a cos s D, a sin s D, bs ), gdje je D D = a 2 + b 2, jednaka je κ = a D 2. Pokažimo sad da je definicija zakrivljenosti dobra, tj. da ne ovisi o izboru parametra duljine luka. U tu svrhu, proučimo kako izgleda neki drugi parametar duljine luka krivulje. Propozicija Neka je c krivulja parametrizirana duljinom luka s i neka je c njena reparametrizacija duljinom luka u. Tada je u = ±s + c, c R. (1.3.2) Obratno, ako je s parametar duljine luka od c, tada je s (1.3.2) takoder definiran parametar duljine luka. Dokaz. Imamo c(u) = c(s). Tada je dc ds = d c du du ds. (1.3.3) Uzimanjem norme obiju strana i korištenjem dc d c ds = du = 1, dobivamo du ds = 1. Sada pokažimo da definicija zakrivljenosti ne ovisi o izboru parametra duljine luka. Zaista, iz (1.3.3) slijedi d 2 c ds 2 = d2 c du 2 (du ds )2 + d c d 2 u du ds 2 = d2 c du 2 odakle slijedi κ(s) = κ(u). Krivulju nije moguće uvijek eksplicitno reparametrizirati duljinom luka. Stoga je važno imati formulu za zakrivljenost krivulja parametriziranih općim parametrom: Propozicija Neka je c regularna krivulja u R 3 parametrizirana općim parametrom t. Tada je njena zakrivljenost κ(t) = ċ(t) c(t) ċ(t) 3.

16 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 16 Dokaz. Zakrivljenost krivulje c parametrizirane općim parametrom t definira se kao zakrivljenost njezine reparametrizacije c duljinom luka, c(t) = c(s) κ(t) = κ(s). Za derivacije vrijedi Takoder c = ċ dt ds c = c ( dt ds )2 + ċ d2 t ds 2. ds dt = ċ, d 2 t ds 2 = ċ c ċ 4. dt ds = 1 ċ Sada je c = c 1 ċ c + ċ( ċ 2 ċ 4 ) = 1 ( c(ċ ċ) ċ(ċ c)). ċ 4 Koristeći formulu a (b c) = (a c)b (a b)c, uz a = c = ċ, b = c i činjenicu da su vektori ċ i ċ c okomiti, pa je ċ (ċ c) = ċ ċ c dobivamo što smo i tvrdili. κ(t) = κ(s) = c (s) = 1 ċ(t) 4 ċ(t) ( ċ(t) c(t) ) ċ(t) c(t) = ċ(t) 3 Primjer 3. Izračunajte zakrivljenost kružnice c(t) = (r cos t, r sin t, 0) radijusa r. Zakrivljenost krivulje c parametrizirane duljinom luka definirali smo kao brzinu promjene vektora c (s) dakle, kao brzinu promjene jediničnog tangencijalnog polja T (s). Cilj nam je definirati i još neka polja vezana uz krivulju tzv. ortonormirani trobrid (reper), tj. desnu ortonormiranu bazu vektorskog prostora R 3 c(s) u svakoj točki krivulje. Neka je c : I R 3 krivulja parametrizirana duljinom luka. Polje T (s) = c (s) je jedinično tangencijalno polje od c. Polje vektora glavnih normala definiramo kao N(s) = c (s) c (s), c (s) 0,

17 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 17 a polje binormala B(s) = T (s) N(s). Tada je ( T (s), N(s), B(s) ) desna ortonormirana baza od R 3 c(s). Nazivamo je Frenet-ovim (Frenet-Serret-ovim) trobridom (reperom, okvirom) krivulje c. Pokažimo primjerice da su polja T i N okomita. Kako je c parametrizirana duljinom luka, to je c (s) c (s) = (c (s)) 2 = 1, odakle deriviranjem slijedi 2c (s) c (s) = 0, iz čega tvrdnja slijedi. Pokažimo još da je polje B jedinično. Kako je B definirano kao vektorski produkt okomitih polja T i N, to je B(s) = T (s) N(s) = T (s) N(s) sin ( T (s), N(s) ) = 1. Primijetimo da je polje N definirano samo za c (s) 0, te u daljnjem promatramo samo takve krivulje. Nazivamo ih dopustivim (usporedi s Definicijom 1.3.9). Uočimo da je c (s) 0 ako i samo ako je κ(s) 0. Definirajmo sada za krivulje parametrizirane duljinom luka i sljedeću funkciju: Definicija Funkcija τ : I R, τ(s) = N(s) B (s) naziva se torzijom (sukanjem) krivulje c parametrizirane duljinom luka u točki c(s). Teorem (Frenet-ove formule) Neka je c dopustiva krivulja parametrizirana duljinom luka s. Tada vrijedi T = κn N = κt + τb B = τn. Dokaz. Općenito možemo pisati T = a 1 T + a 2 N + a 3 B, gdje su a 1, a 2, a 3 : I R glatke funkcije. Kako je T = c = κn, to zbog jedinstvenosti rastava slijedi a 1 = a 3 = 0, a 2 = κ. Neka je sada N = b 1 T + b 2 N + b 3 B. (1.3.4) Kako je N jedinično polje, to je N 2 = 1, odakle deriviranjem slijedi N N = 0. Pomnožimo li relaciju (1.3.4) skalarno s N, dobivamo N N = b 2. Sada slijedi b 2 = 0. Nadalje, primijetimo da T N = 0 povlači T N + T N = 0, odakle slijedi a 2 + b 1 = 0. Prema tome je b 1 = κ. Odredimo funkciju b 3. Uočimo kao i prije N B = 0, pa je b 3 + c 2 = 0, gdje je B = c 1 T + c 2 N + c 3 B. Kako je τ = N B, to je c 2 = b 3 = τ.

18 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 18 Propozicija Neka je c dopustiva krivulja parametrizirana općim parametrom t. Tada vrijedi (ċ c) c det(ċ, c, c) τ = ċ c 2 = ċ c 2. Dokaz. Neka je c reparametrizacija od c duljinom luka, c(s) = c(t). Pokažimo najprije da navedena formula vrijedi za torziju krivulje parametrizirane duljinom luka. Neka je ( T (s), Ñ(s), B(s)) Frenetov trobrid od c. Tada je torzija τ od c jednaka τ = Ñ B = Ñ ( T Ñ) = Ñ ( T Ñ + T Ñ ) = Ñ ( T Ñ ). Iz definicije je Ñ = 1 κ T = 1 κ c, dobivamo τ = 1 κ c ( c d ds ( 1 κ c )) = 1 κ c ( c ( 1 κ c κ κ 2 c )) = 1 κ 2 c ( c c ) + κ κ 3 c ( c c ) = 1 κ 2 ( c c ) c. Još trebamo utvrditi da je za krivulje parametrizirane duljinom luka zakrivljenost dana i sljedećom formulom κ 2 (s) = c (s) c (s) 2. Zaista, c (s) c (s) 2 = c (s) 2 c (s) 2 sin 2 ( c (s), c (s) ) = c (s) 2, te je formula opravdana za krivulje parametrizirane duljinom luka. Nadalje, kako smo već i prije djelomično utvrdili, za parametrizacije c = c(s) i c = c(t) vrijedi c = ċ dt ds c = c ( dt ds )2 + ċ d2 t ds 2 c =... c ( dt ds )3 + 3 c dt ds d 2 t ds 2 + ċ d3 t ds 3. Torziju od c definiramo kao torziju od njene reparametrizacije c duljinom luka u odgovarajućoj točki τ(t) = τ(s). Vrijedi c c = ( dt ds )3 ċ c,

19 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 19 Prema tome je ( c c ) c = ( dt ds )6 (ċ c)... c. ( c c ) c c c 2... c (ċ c) = ċ c 2 Izvedimo izraze za polja Frenetovog trobrida za krivulje parametrizirane općim parametrom. Bavit ćemo se samo s krivuljama za koje u svakoj točki možemo konstruirati prateći Frenetov trobrid ( T (t), N(t), B(t) ). Ponovimo, takve krivulje nazivamo dopustivim. Preciznije: Definicija Krivulju c : I R 3 (parametriziranu općim parametrom) nazivamo dopustivom ako su polja duž krivulje {ċ, c} linearno nezavisna. Uočimo da smo krivulje parametrizirane duljinom luka nazivali dopustivim ako polje c nije nul-polje, tj. ako i samo ako je κ(s) 0, s I. Taj je zahtjev ekvivalentan gornjem zahtjevu za krivulje parametrizirane općim parametrom. Zaista, polja {ċ, c} su linearno nezavisna ako i samo ako je njihov vektorski produkt različit od nul-vektora, odnosno njegova norma različita od 0. Ako je c parametrizirana duljinom luka, tada je odakle slijedi tvrdnja. 0 ċ c 2 = ċ 2 c 2 (ċ c) 2 = c 2 Uočimo takoder da je dopustiva krivulja regularna. Propozicija Neka je c : I R 3 dopustiva krivulja. Tada vrijedi T (t) = ċ(t) ċ(t) N(t) = B(t) T (t) B(t) = ċ(t) c(t) ċ(t) c(t). Dokaz. Opet ćemo polja T (t), N(t), B(t) definirati pomoću odgovarajućih polja T (s), Ñ(s), B(s) reparametrizacije c krivulje c duljinom luka. Koristeći Frenetove formule, možemo pisati ċ(t) = c (s)ṡ = T (s) ċ(t) = T (t) ċ(t) c(t) = κ(s)ñ(s)ṡ2 + T (s) s = κ(t)n(t)ṡ 2 + T (t) s. Iz prve jednakosti odmah slijedi T (t) = ċ(t) ċ(t).

20 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 20 Nadalje, imamo ċ(t) c(t) = κ(t)ṡ 3 T (t) N(t) = κ(t)ṡ 3 B(t). Kako je B(t) jedinično polje, a pozitivan faktor κ(t)ṡ 3 osigurava jednaku orijentaciju vektora lijeve i desne strane prethodne jednakosti, to mora biti B(t) = ċ(t) c(t) ċ(t) c(t). Formula za N(t) slijedi iz pozitivne orijentiranosti baze (T, N, B). Propozicija (Frenetove formule za krivulje parametrizirane općim par.) Neka je c : I R 3 dopustiva krivulja parametrizirana općim parametrom. Tada vrijedi T (t) = ċ κ(t)n(t) Ṅ(t) = ċ ( κ(t)t (t) + τ(t)b(t)) Ḃ(t) = ċ τ(t)n(t). Napomena. Sjetimo se da zakrivljenost (fleksija) mjeri brzinu promjene jediničnog tangencijalnog polja krivulje. Slično, apsolutna vrijednost torzije mjeri brzinu promjene polja binormala. Zaista, iz Frenetovovih formula slijedi B = τn = τ N = τ. Postavlja se pitanje što je brzina promjene polja glavnih normala: N = κt + τb = κ 2 + τ 2. Dakle, brzina promjene polja glavnih normala ne odreduje neku novu zakrivljenost. Zadaci 1. Krivulje u R 2. Neka je c : I R 2 krivulja u R 2 parametrizirana duljinom luka, T (s) = c (s) = (x (s), y (s)) njezino jedinično tangencijalno polje. Normalno polje N(s) definiramo tako da (T (s), N(s)) čine desnu ortonormiranu bazu za R 2 c(s). Pokažite da je N(s) = ( y (s), x (s)). Nadalje, pokažite da vrijede Frenetove formule T = κ s N, N = κ s T, gdje je κ s : I R zakrivljenost od c, κ s = det(c, c ). Zakrivljenost κ s nazivamo orijentirana zakrivljenost ili zakrivljenost s predznakom (eng. signed curvature). Pokažite da vrijedi κ = κ s,

21 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 21 gdje je κ = c. Ako s φ(s) označimo kut za koji treba rotirati u pozitivnom smjeru proizvoljan fiksni jedinični vektor (primjerice, jedinični vektor pozitivne x-osi) tako da se on poklopi s T (s), možemo pisati T (s) = (cos φ(s), sin φ(s)). Tada je Pokažite da vrijedi T (s) = φ (s)( sin φ(s), cos φ(s)). κ s = dφ ds. Uočite da je zakrivljenost krivulje je pozitivna (negativna), ako se T zakreće u pozitivnom (negativnom) smjeru pri rastu parametra krivulje. U točkama infleksije zakrivljenost je 0 (mijenja se predznak zakrivljenosti). c N T Κ s 0 Κ s 0 Κ s 0 Slika 1.8: Predznak zakrivljenosti krivulje u R 2 parametrizirane duljinom luka 2. Tjeme krivulje definiramo kao stacionarnu točku fleksije. Odredite tjemena elipse c: [0, 2π R 2, c(t) = (a cos t, b sin t), a, b > Odredite tjemena hiperbole c: R R 2, c(t) = (a ch t, b sh t), a, b > 0. Koliko rješenja dobivate? Zašto? Odredite neku drugu parametrizaciju hiperbole i nadite tjemena za tu parametrizaciju. 4. Odredite tjemena krivulje y = ln x. 5. Ako je krivulja c: I R 2 parametrizirana duljinom luka, izrazite zakrivljenost krivulje c(t) = c(t) + T (t) preko zakrivljenosti od c. 6. Ako je krivulja c: I R 2 parametrizirana duljinom luka, izrazite zakrivljenost krivulje c (t) = c(t) + N(t) κ(t) preko zakrivljenosti od c. 7. Na lančanici y = a ch x a dane su točke T 1 i T 2 u kojima su normale na lančanicu medusobno okomite. Ako su R 1 i R 2 polumjeri zakrivljenosti lančanice u točkama T 1 i T 2, dokažite da vrijedi 1 R R 2 = 1 a.

22 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA Na krivulji c: 0, π R 2 zadanoj s c(t) = ( a ln tg t a cos t, a sin t), 2 gdje je a > 0, dana je točka T. Tangenta na krivulju u točki T siječe x-os u točki N. Dokažite da središte zakrivljenosti krivulje u točki T ima istu apscisu kao točka N. 9. Pokažite da je krivulja c(t) u R n pravac (dio pravca) ako i samo ako su polja ċ i c linearno zavisna. Je li pravac dopustiva krivulja? 10. Neka je krivulja c: R R 3 zadana s c(t) = (t 2, t, t 4 ). Odredite Frenetov trobrid dane krivulje u točki (1, 1, 1). 11. Odredite Frenetov trobrid, fleksiju i torziju krivulje u R 3 (i) c(t) = (e t cos t, e t sin t, e t ) (ii) c(t) = (ln t, 2t, t 2 ), (iii) c(t) = (t 2, 1 t 2, t 2 t). 12. Izračunajte fleksiju i torziju zavojnice c: R R 3, c(t) = (a cos t, a sin t, bt), gdje su a i b konstante, a > Fundamentalni teorem za krivulje U ovom poglavlju proučit ćemo specijalne klase krivulja i njihovu diferencijalno-geometrijsku karakterizaciju preko fleksije i torzije. Dokazat ćemo i fundamentalni teorem za krivulje u prostoru tj. teorem klasifikacije kojim se pokazuje da je krivulja u prostoru jednoznačno (do na položaj u prostoru) opisana svojom fleksijom i torzijom. Definicija Za krivulju c : I R 3 kažemo da je ravninska ako postoji ravnina π R 3 takva da je c(i) π. Primjer 1. Ispitajte je li krivulja c : [0, 2π R 3 ravninska (vidi sliku 1.9). c(t) = (cos t 2 sin t + 3, cos t + 2 sin t + 4, 2 cos t + 5) Propozicija Neka je c : I R 3 dopustiva krivulja. Krivulja c je ravninska ako i samo ako je τ = 0. Dokaz. Uočimo da bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je c parametrizirana duljinom luka.

23 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 23 Ako je c ravninska, to znači da postoje konstantni vektori p, q R 3 tako da c(s), s I, zadovoljava jednadžbu ravnine Deriviranjem slijedi (c(s) p) q = 0, s I. c (s) q = 0, c (s) q = 0. Dakle, vektor q je okomit i na c (s) i na c (s), pa je vektor binormale od c u točki c(s) jednak B(s) = ± q q. Uočimo da je vektor B(s) konstantan vektor (ne ovisi o s). Stoga je B (s) = 0. Iz Frenetovih formula sada slijedi τ(s)n(s) = 0. Kako je vektor N(s) jedinični, to je τ(s) = 0. Obratno, neka je τ(s) = 0. Tada je vektor B(s) konstantan. Pokažimo da c(i) leži u ravnini okomitoj na konstantan vektor B(s) := B. U tu svrhu, promotrimo funkciju Deriviranjem dobivamo f(s) = (c(s) c(s 0 )) B, s I. f (s) = T (s) B = 0, s I. Prema tome, funkcija f je konstantna na I. Kako je f neprekidna i kako je f(s 0 ) = 0, to je f 0 na I. Stoga je (c(s) c(s 0 )) B = 0, s I pa c(i) leži u navedenoj ravnini. Definicija Ravnina koja prolazi točkom c(s 0 ) krivulje, a vektor B(s 0 ) joj je vektor normale, naziva se oskulacijska ravnina 1 krivulje c u točki c(s 0 ). Uočimo da je oskulacijska ravnina razapeta vektorima T (s), N(s). Ravninska krivulja leži u oskulacijskoj ravnini bilo koje svoje točke Slika 1.9: Kružnica u prostoru 1 osculare (lat.) = ljubiti

24 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 24 Propozicija Neka je c : I R 3 dopustiva krivulja. Tada je c(i) kružnica (dio kružnice) radijusa r > 0 ako i samo ako je κ = konst. = 1 r > 0, τ = 0. Dokaz. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je c parametrizirana duljinom luka. Zakrivljenost kružnice radijusa r koja leži u nekoj koordinatnoj ravnini smo već izračunali, κ = 1. Neku drugu proizvoljnu kružnicu možemo dobiti iz kružnice u koordinatnoj ravnini izometrijom prostora. Svaka se pozitivna izometrija prostora 2 f može r prikazati kao kompozicija ortogonalnog operatora kojeg slijedi translacija (za vektor a), f = t r. Stavimo li dakle c(t) = f(c(t)), to je c(t) = r(c(t)) + a, c(t) = r(ċ(t)), c(t) = r( c(t)). Kako r čuva skalarni produkt (pa i normu), slijedi κ(t) = c(t) = r( c(t)) = c(t) = κ(t) te je zakrivljenost i proizvoljne kružnice jednaka 1 r. Pokažimo obratno, da je krivulja c sa danom fleksijom κ = konst. = 1 r > 0 i torzijom τ = 0 kružnica. Iz τ = 0 slijedi da je krivulja c ravninska. Promotrimo sada vektorsku funkciju p(s) = c(s) + 1 κ N(s), gdje je N(s) polje glavnih normala od c. Deriviranjem i primjenom Frenetovih formula slijedi p (s) = c (s) + 1 κ N (s) = T (s) 1 κ T (s) = 0. κ Prema tome, vektor p := p(s) ne ovisi o s, odnosno on je konstantan vektor. Sada slijedi c(s) p = 1 κ N(s) = 1 κ = konst. Iz svega dokazanog zaključujemo da c(i) leži na sferi radijusa r := 1 i u (svojoj oskulacijskoj) ravnini. Presjek sfere i ravnine je sigurno kružnica, dokažimo još da je κ c(i) kružnica (ili njen dio) najvećeg radijusa, tj. radijusa r = 1. U tu svrhu treba pokazati da κ (oskulacijska) ravnina (x c(s 0 )) B = 0, 2 Preslikavanje oblika f : R 3 R 3, f = t r gdje je t translacija, a r rotacija (ortogonalni oprator determinante 1) naziva se pozitivna izometrija ili euklidsko gibanje. Izometrija prostora može još biti negativna, det(r) = 1.

25 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 25 gdje je x = (x, y, z) radij-vektor po volji odabrane točke ravnine, prolazi središtem p sfere x p 2 = r 2, x = (x, y, z) radij-vektor po volji odabrane točke sfere. Zaista, središte sfere zadovoljava jednadžbu oskulacijske ravnine (p c(s 0 )) B = (c(s) + 1 κ N(s) c(s 0)) B = (c(s) c(s 0 )) B + 1 N(s) B = = 0, κ te je tvrdnja dokazana. Definicija Za krivulju c : I R 3 kažemo da je opća cilindrična spirala ako duž c postoji jedinično i konstantno vektorsko polje E koje s krivuljom c zatvara konstantni kut, odnosno T (s) E = cos φ = konst., gdje je T (s) jedinično tangencijalno polje od c. Pogledajmo što to znači geometrijski. Vektorsko polje E duž c odreduju familiju paralelnih pravaca. Pravci odreduju tzv. cilindričnu plohu (oni čine izvodnice te plohe). Krivulja koja je opća cilindrična spirala siječe izvodnice te plohe pod konstantnim kutom. Kažemo da je opća cilindrična spirala izogonalna trajektorija 3 izvodnica cilindrične plohe. Posebno, ako siječe izvodnice pod pravim kutom, govorimo o ortogonalnoj trajektoriji. Slika 1.10: Opća cilindrična spirala Propozicija Dopustiva krivulja c : I R 3 je opća cilindrična spirala ako i samo ako je τ κ = konst. Dokaz. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je c parametrizirana duljinom luka. Uočimo najprije da je φ kπ, k Z (stoga je i sin φ 0). Inače bi, naime, bilo 3 isos = isti, gōnia = kut T (s) = ±E(s) = konst,

26 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 26 te bi bilo što je kontradikcija s dopustivošću od c. T (s) = 0 κ(s) = 0, Neka je c opća cilindrična spirala tj. neka duž c postoji jedinično i konstantno vektorsko polje E takvo da je T (s) E = cos φ. Deriviranjem dobivamo odakle zbog κ(s) 0 slijedi T (s) E = 0, N(s) E = 0. Dakle, za svaki s I postoji rastav E = a(s)t (s) + b(s)b(s), gdje su a, b : I R glatke funkcije. Za njih vrijedi a(s) = E T (s) = cos φ, b(s) = E B(s). Nadalje, kako je E = 1, to je a 2 (s)+b 2 (s) = 1, što povlači b 2 (s) = sin 2 φ. Bez smanjenja općenitosti možemo uzeti b(s) = sin φ. Dobili smo Sada je E = cos φt (s) + sin φb(s). 0 = E = (cos φκ(s) sin φτ(s)) N(s). Kako N(s) nije nul-vektor, to je cos φκ(s) sin φτ(s) = 0 tj. što je trebalo pokazati. τ κ = cos φ sin φ = konst. Obratno, neka je τ = konst. Definirajmo φ kao κ τ κ = ctgφ. Nadalje, definirajmo E(s) = cos φt (s) + sin φb(s). Treba pokazati da je E traženo polje iz definicije opće cilindrične spirale, tj. da je E jedinično i konstantno polje, te da c zatvara s njim konstantni kut. Primjer 2. Obična cilindrična spirala c(t) = (a cos t, a sin t, bt) je opća cilindrična spirala. Obična cilindrična spirala c leži na kružnom cilindru x 2 +y 2 = a 2. Pod kojim kutom siječe njegove izvodnice? Primjer 3. Krivulja koja je presjek ploha x 2 = 3y, 2xy = 9z je opća cilindrična spirala.

27 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 27 Slika 1.11: Obična cilindrična spirala Slika 1.12: Opća cilindrična spirala x 2 = 3y, 2xy = 9z Teorem (Fundamentalni teorem za krivulje) Neka su κ, τ : I R glatke funkcije, κ(s) > 0, s I. Tada postoji krivulja c : I R 3 kojoj je s parametar duljine luka, a funkcije κ(s) i τ(s) fleksija i torzija. Nadalje, ako je c : I R 3 neka druga krivulja s tim svojstvima, tada postoji pozitivna izometrija prostora f : R 3 R 3, f = t r, gdje je t translacija, t(x) = x + a, r rotacija (tj. ortogonalni operator determinante 1) tako da je c = f(c) = r(c) + a. Kažemo da postoji jedinstvena, do na položaj u prostoru, krivulja kojoj su κ(s) fleksija, a τ(s) torzija, s parametar duljine luka. Takve krivulje c i c nazivamo kongruentima. Dokaz. U dokazu ćemo više puta koristiti sljedeći teorem o sustavu običnih diferencijalnih jednadžbi (Picard-Lindelöfov teorem): Teorem Uz dane početne uvjete s 0 I, ((x 1 ) 0,..., (x n ) 0 ) R n postoji otvoren

28 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 28 interval J I i jedinstveno preslikavanje x : J R n klase C k+1 tako da vrijedi x(s 0 ) = ((x 1 ) 0,..., (x n ) 0 ), x 1 (s) = f 1(s, x 1,..., x n ),. x n(s) = f n (s, x 1,..., x n ), gdje su f i, i = 1,..., n, zadane funkcije klase C k. Ako je sustav diferencijalnih jednadžbi linearan, tada je J = I. Egzistencija. Korištenjem navedenog teorema, pokazat ćemo prvo da uz zadane κ, τ postoje {T (s), N(s), B(s)} koji zadovoljavaju Frenetove formule, a zatim da oni čine ortonormirani skup. 1. Neka su κ, τ : I R poznate glatke funkcije, κ(s) > 0, s I. One se pojavljuju u Frenetovim formulama za polja {T, N, B} Stavimo li T = κn N = κt + τb B = τn. T (s) = (x 1 (s), x 2 (s), x 3 (s)), N(s) = (x 4 (s), x 5 (s), x 6 (s)), B(s) = (x 7 (s), x 8 (s), x 9 (s)), prethodni sustav možemo pisati u obliku (x 1 ) (s) = f 1 (s, x 1,..., x 9 ). (x 9 ) (s) = f n (s, x 1,..., x 9 ), Uočimo da je sustav je linearan, tj. derivacije nepoznatih funkcija su linearna kombinacija nepoznatih funkcija, pa sustav možemo zapisati matrično X = AX, gdje je 0 κ 0 T A = κ 0 τ, X = N. 0 τ 0 B Picard-Lindelöfov teorem povlači da za zadani desno orijentirani ortonormirani trobrid {T 0, N 0, B 0 } postoji jedinstvena familija trobrida {T (s), N(s), B(s)} koja zadovoljava i sustav dan s Frenetovim formulama. T (s 0 ) = T 0, N(s 0 ) = N 0, B(s 0 ) = B 0 2. Pokažimo da je ta familija takoder ortonormirana i desno orijentirana. U tu svrhu, ponovo koristimo Frenetove formule. Promotrimo sljedeće funkcije T N, T B, N B, T T, N N, B B.

29 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 29 Za njih vrijedi d ds (T N) = T N + T N = κn N κt T + τt B, d (T B) = κn B τt N, ds d (N B) = κt B + τb B τn N, ds d (T T ) = 2κT N, ds d (N N) = 2κN T + 2τN B, ds d (B B) = 2τB N. ds To je opet sustav linearnih diferencijalnih jednadžbi s početnim uvjetima T 0 N 0 = T 0 B 0 = N 0 B 0 = 0, T 0 T 0 = N 0 N 0 = B 0 B 0 = 1. Očito su funkcije T N = T B = N B = 0, T T = N N = B B = 1 rješenja sustava, a jedinstvenost povlači da su to upravo tražena rješenja. Prema tome, trobrid {T (s), N(s), B(s)} je ortonormiran. Taj trobrid je desno orijentiran jer je determinanta det : M 3 (R) R neprekidna funkcija (za desno orijentirani trobrid {T, N, B} vrijedi da je det(t, N, B) = 1 > 0). 3. Sada iz poznatog trobrida {T (s), N(s), B(s)} konstruiramo krivulju c Očito je c(s) = s s 0 T (u)du, s 0 I. c (s) = T (s), te je krivulja c parametrizirana duljinom luka, naime vrijedi c (s) = Lakim računom se pokazuje da su fleksija i torzija krivulje c upravo jednake zadanim funkcijama κ, τ. Time je pokazana egzistencija krivulje. Jedinstvenost. Pokažimo još jedinstvenost do na izometriju prostora. Neka je c neka druga krivulja kojoj su κ i τ fleksija i torzija. Pokažimo da je tada c = f(c), gdje je f pozitivna izometrija prostora. Pokazat ćemo da c i f(c) zadovoljavaju iste Frenetove formule i iste početne uvjete, te ćemo primijeniti Picard-Lindelöfov teorem. Konstruirajmo najprije izometriju f. Neka je { T 0, N 0, B 0 } Frenetov trobrid krivulje c(s) u točki c(s 0 ). Za dva početna desna ortonormirana trobrida {T 0, N 0, B 0 }, { T 0, N 0, B 0 } u točkama c(s 0 ) i c(s 0 ), postoji pozitivna izometrija prostora f koja preslikava c(s 0 ) u c(s 0 ), tako da pripadna rotacija preslikava {T 0, N 0, B 0 } u { T 0, N 0, B 0 }.

30 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 30 Tu pozitivnu izometriju konstruiramo na sljedeći način: kako su {T 0, N 0, B 0 } i { T 0, N 0, B 0 } dvije desne ortonormirane baze, to postoji ortogonalni operator r : R 3 R 3, det r = 1, takav da je r(t 0 ) = T 0, r(n 0 ) = N 0, r(b 0 ) = B 0. (1.4.5) Definirajmo izometriju prostora f : R 3 R 3, f = t r, pri čemu je translacija t translacija za vektor c(s 0 ) r(c(s 0 )). Sada je f(c(s 0 )) = t(r(c(s 0 ))) = r(c(s 0 )) + c(s 0 ) r(c(s 0 )) }{{} = c(s 0). (1.4.6) Promotrimo sada sliku krivulje c(s) pri izometriji f tj. krivulju f(c(s)) i pokažimo da ona zadovoljava iste Frenetove jednadžbe kao i krivulja c. Neka je {T, N, B} Frenetov trobrid od c, tada je {r(t ), r(n), r(b)} Frenetov trobrid od f(c). Kako je r fiksna rotacija, vrijedi r(t ) = r(t ) = r(κn) = κ r(n) r(n) = r(n ) = r( κt + τb) = κ r(t ) + τ r(b) r(b) = r(b ) = r( τn) = τ r(n) Dakle, krivulje c i f(c) zadovoljavaju iste diferencijalne jednadžbe (Frenetove formule) i iste početne uvjete (1.4.5), (1.4.6) te zbog jedinstvenosti u Picard-Lindelöfovom teoremu o sustavu linearnih diferencijalnih jednadžbi, vrijedi za svaki s T (s) = r(t (s)), N(s) = r(n(s)), B(s) = r(b(s)), gdje je { T, N, B} Frenetov trobrid krivulje c. Takoder odakle slijedi d c ds = T (s) = r(t (s)) = df(c(s)), ds c(s) = f(c(s)) + a, gdje je a konstantan vektor. Medutim, c(s 0 ) = f(c(s 0 )), što povlači a = 0. Dakle, c(s) = f(c(s)), s I. Jednadžbe κ = κ(s), τ = τ(s) nazivaju se prirodnim jednadžbama krivulje c (ne ovise o koordinatnom sustavu). Zadaci 1. Izračunajte zakrivljenosti krivulje i odredite o kojoj se krivulji radi: (i) c(t) = ( 14 2 cos t + 1, cos t, 7 sin t),

31 POGLAVLJE 1. LOKALNA TEORIJA KRIVULJA 31 (ii) c(t) = ( 4 5 cos t, 1 sin t, 3 5 cos t). 2. Dokažite da je krivulja c: R R 3 zadana s c(t) = (a 1 t 2 + b 1 t + c 1, a 2 t 2 + b 2 t + c 2, a 3 t 2 + b 3 t + c 3 ) ravninska (a i, b i, c i, i = 1, 2, 3 su konstante). 3. Odredite sve točke na krivulji c: R R 3, c(t) = (t 3, t, t 2 ) u kojima oskulacijska ravnina na krivulju sadrži točku ( 6, 2, 1 3 ). 4. Pokažite da je krivulja koja je presjek ploha x 2 = 3y, 2xy = 9z opća cilindrična spirala. Odredite jedinično konstantno polje E s kojim zatvara konstantni kut. 5. Pokažite da je krivulja c(t) = (e at cos t, e at sin t, e at ) opća cilindrična spirala. Pokažite da ona leži na kružnom stošcu x 2 + y 2 = z 2. Odredite jedinično konstantno polje E s kojim zatvara konstantni kut. Pokažite da je njena projekcija na xy-ravninu logaritamska spirala tj. krivulja koja ima svojstvo da je kut izmedu vektora položaja točke te krivulje i tangencijalnog vektora u toj točki konstantan. 6. Pokažite da je krivulja opća cilindrična spirala ako i samo ako postoji jedinično konstantno polje E koje s poljem binormala krivulje c zatvara konstantni kut. 7. Dokažite da je krivulja c: R + R 3 zadana s c(t) = (2t, ln t, t 2 ) opća cilindrična spirala. Odredite pripadne E i φ. 8. Za a, b, c R takve da je abc 0 pokažite da je c(t) = (at, bt 2, ct 3 ) opća cilindrična spirala ako i samo ako vrijedi 3ac = ±2b Pokažite da je torzija zrcalne slike s obzirom na neku ravninu krivulje u R 3 suprotnog predznaka od torzije krivulje. Je li zrcaljenje s obzirom na ravninu pozitivna izometrija prostora? 10. Utvrdite jesu li parabole c(t) = (t, t, t 2 ) i d(t) = ( 2 t, t 2, 0), t R, kongruentne. Nadite izometriju prostora koja ih povezuje. 11. Pokažite da su dvije krivulje parametrizirane duljinom luka c 1 : I R 2, c 2 : I R 2 kongruentne ako i samo ako je κ 1 = ±κ Odredite krivulju c : I R 2 kojoj je prirodna jednadžba κ(s) = 1, s > 0 je duljina s luka te krivulje. 13. Normalna ravnina krivulje je ravnina razapeta vektorom glavne normale i binormale. Ako su sve normalne ravnine krivulje c paralelne s istim pravcem, tada je ta krivulja ili pravac ili ravninska. Dokažite. 14. Ako glavne normale krivulje c koja je parametrizirana duljinom luka zatvaraju konstantan kut s jediničnim vektorom e, tada je Dokažite. ( κ2 + τ 2 κ ( τ κ ) ) + τ = 0.

32 Poglavlje 2 Globalna teorija krivulja 2.1 Globalna teorija krivulja Definicija Za regularnu krivulju c : R R 2 kažemo da je zatvorena ako postoji pozitivna konstanta a R za koju je c(t + a) = c(t), za sve t R. Najmanja takva konstanta naziva se periodom krivulje c. Definicija Za zatvorenu krivulju c : R R 2 s periodom a kažemo da je jednostavna 1 ako je c(t) = c(t ) ako i samo ako je t t = ka, za neki k Z. Teorem o Jordanovoj krivulji kaže da svaka jednostavna zatvorena krivulja u ravnini ima unutrašnjost i vanjštinu. Preciznije, skup točaka koje nisu točke krivulje je disjunktna unija dva podskupa od R 2 sa svojstvima: 1. unutrašnjost int(c) je ograničen skup, 2. vanjština ext(c) je neograničen skup, 3. unutrašnjost int(c) i vanjština ext(c) su povezani skupovi, tj. svake dvije točke iz istog skupa mogu biti povezane krivuljom koja je cijela sadržana u tom skupu. Primjer 1. Kružnica c(s) = (r cos s, r sin s) radijusa r je jednostavna zatvorena krivulja perioda 2π. Unutrašnjost kružnice je skup int(c)= {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < r 2 }, vanjština ext(c)= {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 > r 2 }. Primjer 2. Puž (limaçon) c(t) = ((1 + 2 cos t) cos t, (1 + 2 cos t) sin t) je (regularna) zatvorena krivulja za koju vrijedi c(t + 2π) = c(t), ali koja nije jednostavna, jer c( 2π 3 ) = c( 4π 3 ) = (0, 0) (vidi sliku 2.1.). Primjer 3. Osmica c(t) = (sin t, sin 2t) je takoder zatvorena krivulja koja nije jednostavna. 1 Drugim riječima, jednostavna zatvorena krivulja je homeomorfna slika kružnice. 32

33 POGLAVLJE 2. GLOBALNA TEORIJA KRIVULJA Slika 2.1: Puž i osmica Primjer 4. Parabola i sinusoida nisu jednostavne zatvorene krivulje. Uočimo sljedeće svojstvo jednostavne zatvorene krivulje: ukoliko jednostavnu zatvorenu krivulju c s periodom a (re)parametriziramo duljinom luka c, tada je period reparametrizacije duljinom luka c jednak broju L danom s L = a 0 ċ(t) dt. Broj L je zapravo duljina luka jednostavne zatvorene krivulje c s periodom a (opseg krivulje). Zaista, sjetimo se da je funkcija duljine luka definirana kao s(t) = t 0 ċ(t) dt. Pokažimo da je L period krivulje c. U tu svrhu, uočimo sljedeće s(t + a) = t+a 0 ċ(t) dt = a 0 ċ(t) dt + t+a a ċ(t) dt = L + s(t), pri čemu smo za odredivanje zadnjeg integrala koristili supstituciju u = t a i činjenicu da je a period od c. Analogno je s(t + ka) = kl + s(t). Prema tome je c(s + kl) = c ( s(t) + kl ) = c ( s(t + ka) ) = c(t + ka) = c(t) = c(s), te je L period od c. Primjer 5. Parametrizacija kružnice radijusa r duljinom luka glasi c(s) = (r cos s r, r sin s r ). Njezin period je jednak L = 2πr, koliko iznosi i duljina luka (opseg) kružnice. Uočimo takoder da za kružnicu vrijedi sljedeće L 0 κ s (s)ds = To svojstvo vrijedi za sve zatvorene krivulje: L 0 1 ds = 2π. r

34 POGLAVLJE 2. GLOBALNA TEORIJA KRIVULJA 34 Teorem (Teorem o indeksu rotacije) Za zatvorenu krivulju c u R 2 s parametrom duljine luka s i orijentiranom zakrivljenošću κ s (s) vrijedi L 0 κ s (s)ds = 2πk, k Z. Prethodni integral nazivamo ukupnom zakrivljenošću. Cijeli broj k nazivamo indeksom rotacije krivulje c. Slika 2.2: Indeks rotacije je k = 1, k = 1, k = 0, k = 2 Dokaz. Tvrdnja slijedi iz (vidi zadatak 1. u poglavlju 1.3. Zakrivljenost) κ s = dφ ds gdje je φ(s) kut za koji treba rotirati u pozitivnom smjeru proizvoljan fiksni jedinični vektor (primjerice, jedinični vektor pozitivne x-osi) tako da se on poklopi s T (s). Dakle, indeks rotacije zatvorene krivulje jednak je broju punih okreta tangente krivulje. Korolar Za jednostavnu zatvorenu krivulju c u R 2 s parametrom duljine luka s i orijentiranom zakrivljenošću κ s (s) vrijedi 1 2π L 0 κ s (s)ds = ±1. Za jednostavnu zatvorenu krivulju c u ravnini kažemo da je pozitivno orijentirana ako njeno polje normala pokazuje prema unutrašnjosti od c. Takva se orijentiranost uvijek može postići, po potrebi zamjenom parametra t sa t. Primjer 6. Za kružnicu c(s) = (r cos s r, r sin s r ) je T (s) = ( sin s r, cos s r ), N(s) = ( cos s r, sin s r ). Vektor normale N u točki (r cos s r, r sin s r ) kružnice očito pokazuje prema unutrašnjosti kružnice, pa je ta kružnica pozitivno orijentirana. Kako je orijentirana kružnica c(s) = (r sin s r, r cos s r )? Površina unutrašnjosti jednostavne zatvorene krivulje definirana je kao A(int(c)) = dxdy. int(c)

35 POGLAVLJE 2. GLOBALNA TEORIJA KRIVULJA 35 Po Greenovom teoremu za glatke realne funkcije f = f(x, y), g = g(x, y) i pozitivno orijentiranu krivulju c vrijedi ( g x f y )dxdy = f(x, y)dx + g(x, y)dy. int(c) Primijenimo li Greenov teorem na funkcije f(x, y) = 1 2 y, g(x, y) = 1 2x, dobivamo da je površina unutrašnjosti pozitivno orijenirane jednostavne zatvorene krivulje c(t) = (x(t), y(t)) dana sa A(int(c)) = 1 2 c a 0 (xẏ yẋ) dt. Uočimo da površina A ne ovisi o parametrizaciji krivulje. Primjer 7. Površina unutrašnosti kružnice c(t) = (r cos t, r sin t) je A(int(c)) = 1 2 2π 0 (r cos t r cos t r sin t ( r sin t)) = 1 2 2π 0 r 2 = r 2 π. Teorem (Izoperimetrijska nejednakost) Neka je c jednostavna zatvorena krivulja, L(c) njena duljina luka (opseg), A(int(c)) površina unutrašnjosti od c. Tada je A(int(c)) 1 4π L(c)2, pri čemu jednakost vrijedi ako i samo ako je c kružnica. Na kraju, izrecimo teorem o tjemenima konveksne krivulje u ravnini. Jednostavna zatvorena krivulja je konveksna ako je njezina unutrašnjost konveksan skup (tj. spojnica bilo koje dvije točke iz unutrašnjosti je sadržana u unutrašnjosti). Tjeme krivulje je stacionarna točka zakrivljenosti krivulje. Može se pokazati da definicija tjemena ne ovisi o parametrizaciji. Teorem (Teorem o četiri tjemena) Svaka konveksna jednostavna zatvorena krivulja u ravnini ima barem četiri tjemena. Oval je jednostavna zatvorena krivulja za koju je ili κ(s) > 0 ili κ(s) < 0, za sve s I. Na slici 2.2 prikazana je ovalna krivulja c(t) = (cos t, sin(sin(sin t))).